မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ

သင်္ချာတွင် မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ (modular arithmetic) သည် ကိန်းပြည့်များ (integers) အတွက် ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများ (arithmetic operations) စနစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပုံမှန် တွက်ချက်မှုများနှင့် ကွဲပြားသည်။ မော်ဂျူးလပ်စ် (modulus) ဟုခေါ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် တန်ဖိုးတစ်ခုသို့ ရောက်ရှိချိန် သို့မဟုတ် ကျော်လွန်ချိန်တွင် ကိန်းများသည် မူလနေရာသို့ ပြန်လည်လှည့်ပတ်သွားခြင်း ဖြစ်သည်။ မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာကို အသုံးပြုထားသော ကိန်းသီအိုရီ (number theory) ဆိုင်ရာ ခေတ်သစ် ချဉ်းကပ်မှုကို ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် က 1801 ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏ ဒစ်ကွီဇီရှန်းနက်စ် အရစ်သမက်တီကေး (Disquisitiones Arithmeticae) ကျမ်းတွင် ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။^[၁]

မော်ဂျူလို $m$ ပါဝင်သော မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာတွင် အပေါင်း၊ အမြှောက်နှင့် အနုတ် ရလဒ်များကို $m$ ဖြင့် စားရာမှရရှိသော အကြွင်းဖြင့် စနစ်တကျ အစားထိုးခြင်း ပါဝင်သည်။ မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ၏ ထူးခြားသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ တွက်ချက်မှု၏ ရလဒ်သည် $m$ ဖြင့် စားခြင်းကို တွက်ချက်မှုအဆင့်တိုင်း၏ နောက်တွင် ပြုလုပ်သည်ဖြစ်စေ တွက်ချက်မှုအားလုံး ပြီးဆုံးချိန်တွင် တစ်ကြိမ်တည်း ပြုလုပ်သည်ဖြစ်စေ မူတည်ခြင်းမရှိခြင်း ဖြစ်သည်။

ဥပမာ (Example)

မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာကို ပြသနေသည့် ရင်းနှီးကျွမ်းဝင်သော ဥပမာတစ်ခုမှာ 12 နာရီပါ နာရီတစ်ခုပေါ်ရှိ နာရီလက်တံ ဖြစ်သည်။ နာရီလက်တံသည် ယခု 7 သို့ ညွှန်ပြနေပါက 8 နာရီ ကြာပြီးနောက်တွင် 3 သို့ ညွှန်ပြမည် ဖြစ်သည်။ ပုံမှန် အပေါင်းတွက်ချက်မှု (addition) သည် $7 + 8 = 15$ ရလဒ်ကို ရရှိစေမည် ဖြစ်သော်လည်း နာရီလက်တံသည် 12 နာရီတိုင်းတွင် တစ်ပတ်လည်သောကြောင့် နာရီမျက်နှာပြင်ပေါ်တွင် 15 ကို 3 အဖြစ် ဖတ်ရှုရသည်။ 15 သည် မော်ဂျူလို 12 အရ 3 နှင့် ထပ်တူညီသည် (congruent) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး $15 \equiv 3 (\mod 12)$ ဟု ရေးသားသည်။ ထို့ကြောင့် $7 + 8 \equiv 3 (\mod 12)$ ဖြစ်သည်။

အလားတူစွာ 16 နာရီ ပြောင်းလဲမှုသည် 4 နာရီနှင့် ထပ်တူညီပြီး $2 \times 8 \equiv 4 (\mod 12)$ ဟူသော ထပ်တူညီမှု ဖြစ်သည်။ အတိအကျ 12 နာရီ ကြာပြီးနောက်တွင် လက်တံသည် ၎င်းစတင်ခဲ့သောနေရာသို့ ပြန်ရောက်ရှိသွားသောကြောင့် 12 သည် 0 ဖြစ်မှုရှိသည်။ ယင်းကို $12 \equiv 0 (\mod 12)$ ဟု ရေးသားသည်။

ထပ်တူညီမှု (Congruence)

မော်ဂျူးလပ်စ် ဟုခေါ်သော ကိန်းပြည့် $m \geq 1$ တစ်ခုကို ပေးထားရာတွင် ကိန်းပြည့်နှစ်ခုဖြစ်သော $a$ နှင့် $b$ တို့၏ ခြားနားခြင်းရလဒ် (difference) $a - b$ သည် $m$ ၏ ကိန်းပြည့် ဆတိုးကိန်း (multiple) ဖြစ်ပါက အဆိုပါကိန်းပြည့်နှစ်ခုသည် မော်ဂျူလို $m$ အရ ထပ်တူညီသည်ဟု ဆိုသည်။ တနည်းအားဖြင့် $a - b = k m$ ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့် $k$ တစ်ခု တည်ရှိပါက ထပ်တူညီသည်ဟု ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ မော်ဂျူလို $m$ ထပ်တူညီမှုသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (congruence relation) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းမှာ အပေါင်း၊ အနုတ်နှင့် အမြှောက်တို့နှင့် ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိသော ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုလိုသည်။ မော်ဂျူလို $m$ ထပ်တူညီမှုကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။

a \equiv b (\mod m) .

ကွင်းစကွင်းပိတ်များသည် $(\mod m)$ ကို ညီမျှခြင်းတစ်ခုလုံးအပေါ် သက်ရောက်ကြောင်း ဆိုလိုသည်။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) ကို မော်ဂျူလို တွက်ချက်မှု (modulo operation) $b mod m$ နှင့် ရောထွေးမှုမရှိသင့်ပေ။ အဆိုပါ မော်ဂျူလို တွက်ချက်မှုသည် $0 \leq r < m$ နှင့် $r \equiv b (\mod m)$ ဖြစ်စေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) အကြွင်း $r$ ကို ရည်ညွှန်းသည်။ $a \equiv b (\mod m)$ ဆက်သွယ်ချက်သည် $a mod m = b mod m$ နှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည် (equivalent)။

$a \equiv b (\mod m)$ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်ကို ယူကလစ် စားခြင်း (Euclidean division) နှင့် ၎င်း၏ ဆက်စပ်မှုကို ပြသရန် အောက်ပါအတိုင်း ရှင်းလင်းစွာ ပြန်လည်ရေးသားနိုင်သည်။ $\exists k \in ℤ a = k m + b$ ဤသည်မှာ $a$ နှင့် $b$ တို့ကို $m$ ဖြင့် စားသောအခါ အကြွင်းတူညီကြောင်း အတည်ပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော မည်သည့်ကိန်းပြည့်ကိုမဆို သီအိုရီအရ မော်ဂျူးလပ်စ်အဖြစ် အသုံးပြုနိုင်သည်။ အကြောင်းမှာ ကိန်းတစ်ခုသည် $m$ ဖြင့် အတိအကျ စား၍ရနိုင်ပါက $- m$ ဖြင့်လည်း အတိအကျ စား၍ရနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော် စံအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များတွင် မော်ဂျူးလပ်စ် $m$ ကို အပေါင်းကိန်းအဖြစ်သာ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။

ဥပမာများ (Examples)

မော်ဂျူးလပ်စ် 12 တွင် ခြားနားခြင်းရလဒ်သည် $38 - 14 = 24 = 2 \times 12$ ဖြစ်သောကြောင့် $38 \equiv 14 (\mod 12)$ ဖြစ်သည်ဟု အတည်ပြုနိုင်သည်။ အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီစွာဖြင့် 38 နှင့် 14 တို့ကို 12 ဖြင့် စားသောအခါ တူညီသော အကြွင်း 2 ကို ရရှိသည်။

ထပ်တူညီမှု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်သည် အနုတ်တန်ဖိုးများအပေါ်တွင်လည်း တူညီစွာ သက်ရောက်မှုရှိသည်။

\begin{matrix} 2 & \equiv - 3 (\mod 5) \\ - 8 & \equiv 7 (\mod 5) \\ - 3 & \equiv - 8 (\mod 5) . \end{matrix}

အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ (Basic properties)

ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်သည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်တစ်ခု၏ အခြေအနေအားလုံးကို ပြည့်စုံစေသည်။

ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိ (Reflexivity) - $a \equiv a (\mod m)$ ဖြစ်သည်။
အချိုးညီမှု (Symmetry) - $a \equiv b (\mod m)$ သည် $b \equiv a (\mod m)$ ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။
ကူးပြောင်းနိုင်သော ဂုဏ်သတ္တိ (Transitivity) - $a \equiv b (\mod m)$ နှင့် $b \equiv c (\mod m)$ ဖြစ်ပါက $a \equiv c (\mod m)$ ဖြစ်သည်။

$a_{1} \equiv b_{1} (\mod m)$ နှင့် $a_{2} \equiv b_{2} (\mod m)$ ဖြစ်ပါက သို့မဟုတ် $a \equiv b (\mod m)$ ဖြစ်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။^[၂]

မည်သည့်ကိန်းပြည့် $k$ အတွက်မဆို $a + k \equiv b + k (\mod m)$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်း (translation) ဖြစ်သည်။
မည်သည့်ကိန်းပြည့် $k$ အတွက်မဆို $k a \equiv k b (\mod m)$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အရွယ်ပြောင်းခြင်း (scaling) ဖြစ်သည်။
သုညမဟုတ်သော မည်သည့်ကိန်းပြည့် $k$ အတွက်မဆို $k a \equiv k b (\mod k m)$ ဖြစ်သည်။
$a_{1} + a_{2} \equiv b_{1} + b_{2} (\mod m)$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေါင်းခြင်း ဖြစ်သည်။
$a_{1} - a_{2} \equiv b_{1} - b_{2} (\mod m)$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် နုတ်ခြင်း (subtraction) ဖြစ်သည်။
$a_{1} a_{2} \equiv b_{1} b_{2} (\mod m)$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်း (multiplication) ဖြစ်သည်။
အနုတ်ကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့် (non-negative integer) $k$ မည်သည့်အတွက်မဆို $a^{k} \equiv b^{k} (\mod m)$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း (exponentiation) ဖြစ်သည်။
ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (integer coefficients) ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) $p (x)$ မည်သည့်အတွက်မဆို $p (a) \equiv p (b) (\mod m)$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် တန်ဖိုးရှာခြင်း (polynomial evaluation) ဖြစ်သည်။

ထပ်ကိန်းတင်ခြင်းအတွက် $k^{a} \equiv k^{b} (\mod m)$ သည် ယေဘုယျအားဖြင့် မှားယွင်းသည်။ သို့ရာတွင် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းပြည့်များဖြစ်သည့် $c$ နှင့် $d$ တို့အတွက် $c \equiv d (\mod φ (m))$ ဖြစ်ပါက $a^{c} \equiv a^{d} (\mod m)$ ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် $φ$ သည် အွိုင်လာ၏ တိုးရှန့် ဖန်ရှင် (Euler's totient function) ဖြစ်သည်။ ဤအချက်သည် $a$ သည် $m$ နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓ (coprime) ဖြစ်သည်ဟူသော အခြေအနေအောက်တွင်သာ မှန်ကန်သည်။

$a \equiv b (\mod m n)$ ဖြစ်ပါက $a \equiv b (\mod m)$ နှင့် $a \equiv b (\mod n)$ ဖြစ်သည်။

ဘုံကိန်းပိုင်းများ ချေဖျက်ခြင်းအတွက် အောက်ပါ စည်းမျဉ်းများ ရှိသည်။

$a + k \equiv b + k (\mod m)$ ဖြစ်ပါက $a \equiv b (\mod m)$ ဖြစ်သည်။
$k a \equiv k b (\mod m)$ ဖြစ်ပြီး $k$ သည် $m$ နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်ပါက $a \equiv b (\mod m)$ ဖြစ်သည်။
$k a \equiv k b (\mod k m)$ ဖြစ်ပြီး $k \neq 0$ ဖြစ်ပါက $a \equiv b (\mod m)$ ဖြစ်သည်။

မော်ဂျူလာ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (modular multiplicative inverse) ကို အောက်ပါ စည်းမျဉ်းများဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

တည်ရှိမှု (Existence) - $a$ သည် $m$ နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်ခြင်းသည် $a a^{- 1} \equiv 1 (\mod m)$ ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့် $a^{- 1}$ တည်ရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။
$a \equiv b (\mod m)$ ဖြစ်ပြီး $a^{- 1}$ တည်ရှိပါက $a^{- 1} \equiv b^{- 1} (\mod m)$ ဖြစ်သည်။
$a x \equiv b (\mod m)$ ဖြစ်ပြီး $a$ သည် $m$ သို့ နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်ပါက ဤမျဉ်းဖြောင့် ထပ်တူညီမှု (linear congruence) အတွက် အဖြေကို $x \equiv a^{- 1} b (\mod m)$ အဖြစ် ဖော်ပြသည်။

မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် $x \equiv a^{- 1} (\mod m)$ ကို တိုးချဲ့ ယူကလစ် အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း (Extended Euclidean algorithm) အသုံးပြု၍ ဘေဇူး ညီမျှခြင်း (Bézout's equation) $a x + m y = 1$ ကို ဖြေရှင်းခြင်းဖြင့် လျင်မြန်စွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ အထူးသဖြင့် $p$ သည် သုဒ္ဓကိန်း (prime) ဖြစ်ပါက $0 < a < p$ အားလုံးအတွက် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်တစ်ခု တည်ရှိသည်။

ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties)

ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ် (Fermat's little theorem) - $p$ သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ပြီး $a$ ကို စား၍မပြတ်ပါက $a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)$ ဖြစ်သည်။
အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ် (Euler's theorem) - $a$ နှင့် $m$ တို့သည် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်ပါက $a^{φ (m)} \equiv 1 (\mod m)$ ဖြစ်သည်။ အကျိုးဆက်အနေဖြင့် $a^{- 1} \equiv a^{φ (m) - 1} (\mod m)$ ဖြစ်သည်။
ဝီလ်ဆင်၏ သီအိုရမ် (Wilson's theorem) - ကိန်းပြည့် $p > 1$ သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ခြင်းသည် $(p - 1)! \equiv - 1 (\mod p)$ ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။
တရုတ် အကြွင်း သီအိုရမ် (Chinese remainder theorem) - ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော $a, b$ နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓ အပေါင်းကိန်းပြည့်များဖြစ်သော $m, n$ မည်သည့်အစုံအတွက်မဆို $x \equiv a (\mod m)$ နှင့် $x \equiv b (\mod n)$ ဖြစ်စေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော $x (\mod m n)$ တည်ရှိသည်။ အမှန်တကယ်အားဖြင့် $x \equiv b m_{n}^{- 1} m + a n_{m}^{- 1} n (\mod m n)$ ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် $m_{n}^{- 1}$ သည် $m (\mod n)$ ၏ ပြောင်းပြန်ဖြစ်ပြီး $n_{m}^{- 1}$ သည် $n (\mod m)$ ၏ ပြောင်းပြန် ဖြစ်သည်။
လာဂေါင့်၏ သီအိုရမ် (Lagrange's theorem) - $p$ သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ပြီး $f (x) = a_{0} x^{d} + ... + a_{d}$ သည် ကိန်းပြည့် ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခုဖြစ်ကာ $p$ သည် $a_{0}$ ကို စား၍မပြတ်ပါက $f (x) \equiv 0 (\mod p)$ ထပ်တူညီမှုတွင် ကိန်းရင်း အများဆုံး $d$ ခု ရှိသည်။
မော်ဂျူလို $m$ ၏ ပရစ်မစ်တစ် ကိန်းရင်း (Primitive root modulo m) - ကိန်း $g$ သည် မော်ဂျူလို $m$ ၏ ပရစ်မစ်တစ် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်ရန် $m$ နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သော $a$ တိုင်းအတွက် $g^{k} \equiv a (\mod m)$ ဖြစ်စေမည့် $k$ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့် $m \geq 2$ အတွက် ပရစ်မစ်တစ် ကိန်းရင်း တည်ရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ $m$ သည် $2, 4, p^{k}$ သို့မဟုတ် $2 p^{k}$ နှင့် ညီမျှခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ထိုအခြေအနေတွင် $p$ သည် မကိန်း သုဒ္ဓကိန်း ဖြစ်ပြီး $k$ သည် အပေါင်းကိန်းပြည့် ဖြစ်သည်။
နှစ်ထပ်ကိန်း အကြွင်း (Quadratic residue) - $x^{2} \equiv a (\mod m)$ ဖြစ်စေမည့် $x$ တည်ရှိပါက ကိန်းပြည့် $a$ ကို မော်ဂျူလို $m$ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်း အကြွင်းဟု ခေါ်သည်။ အွိုင်လာ စံသတ်မှတ်ချက် (Euler's criterion) အရ $p$ သည် $a$ ကို စား၍မပြတ်သော မကိန်း သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ပါက $a$ သည် မော်ဂျူလို $p$ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်း အကြွင်းဖြစ်ခြင်းသည် $a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 (\mod p)$ ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုဖော်ပြသည်။

ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (Congruence classes)

ကိန်းပြည့် $a$ ၏ မော်ဂျူလို $m$ ရှိ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (equivalence class) သည် $a + k m$ ပုံစံရှိ ကိန်းပြည့်အားလုံး၏ အစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $a (\mod m)$ ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား သို့မဟုတ် အကြွင်းအတန်းအစား (residue class) ဟု ခေါ်ပြီး $\overline{a}$ သို့မဟုတ် $[a]$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။

မော်ဂျူလို $m$ ၏ အကြွင်းအတန်းအစားတစ်ခုစီတွင် $0 \leq r < | m |$ အပိုင်းအခြား (range) အတွင်းရှိ ကိုယ်စားပြု ကိန်းပြည့် အတိအကျ တစ်ခု ပါဝင်သည်။ အကျိုးဆက်အနေဖြင့် $a mod m$ သည် $a (\mod m)$ ၏ အကြွင်း ဟုခေါ်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် ကိန်းပြည့် $r$ ကို ဖော်ပြသည်။ အစုများကို အသုံးပြုခြင်းထက် ကိုယ်စားပြုကိန်းတစ်ခုတည်းကို အသုံးပြုခြင်းက ပိုမိုရိုးရှင်းသောကြောင့် $a \equiv b (\mod m)$ ကို ဖော်ပြရန် $a mod m = b mod m$ အဖြစ် မကြာခဏ ရေးသားလေ့ရှိသည်။

အကြွင်း စနစ်များ (Residue systems)

မော်ဂျူလို $m$ အကြွင်းအတန်းအစား တစ်ခုစီကို ၎င်း၏ အစုဝင်များထဲမှ မည်သည့်အစုဝင် တစ်ခုကမဆို ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။ ကိန်းပြည့်တိုင်းသည် မော်ဂျူလို $m$ အကြွင်းအတန်းအစား တစ်ခုတည်းတွင်သာ ပါဝင်သည်။^[၃]

${0, 1, 2, \dots, m - 1}$ အစုကို မော်ဂျူလို $m$ ၏ အငယ်ဆုံး အကြွင်း စနစ် (least residue system modulo $m$ ) ဟု ခေါ်သည်။ မည်သည့် ကိန်းနှစ်ခုမျှ မော်ဂျူလို $m$ အရ ထပ်တူမညီသော ကိန်းပြည့် $m$ ခု ပါဝင်သည့် မည်သည့်အစုမဆိုသည် အကြွင်းအတန်းအစားတစ်ခုစီ၏ ကိုယ်စားပြုကိန်း အတိအကျ တစ်ခုစီ ပါဝင်သော မော်ဂျူလို $m$ ၏ ပြည့်စုံသော အကြွင်း စနစ် (complete residue system modulo $m$ ) ဖြစ်သည်။^[၄] ဥပမာအားဖြင့် မော်ဂျူလို 4 ၏ ပြည့်စုံသော အကြွင်း စနစ်များတွင် အငယ်ဆုံး အကြွင်း စနစ် ${0, 1, 2, 3}$ အပြင် ${- 13, 4, 17, 18}$ ကဲ့သို့သော အစုများလည်း ပါဝင်သည်။

လျှော့ချထားသော အကြွင်း စနစ်များ (Reduced residue systems)

အွိုင်လာ၏ တိုးရှန့် ဖန်ရှင် $φ (m)$ ကို ပေးထားရာတွင် $m$ နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်ပြီး အချင်းချင်း မော်ဂျူလို $m$ ထပ်တူမညီသော ကိန်းပြည့် $φ (m)$ ခု ပါဝင်သည့် မည်သည့်အစုမဆိုသည် မော်ဂျူလို $m$ ၏ လျှော့ချထားသော အကြွင်း စနစ် (reduced residue system modulo $m$ ) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။^[၅]

မော်ဂျူလို $m$ ရှိသော ကိန်းပြည့်များ (Integers modulo m)

မော်ဂျူလို $m$ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများအားလုံး၏ အစုသည် ကွင်း (ring) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို မော်ဂျူလို $m$ ရှိသော ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း (ring of integers modulo $m$ ) ဟု ခေါ်သည်။ ယင်းကို $ℤ / m ℤ$ ၊ $ℤ / (m)$ ၊ $ℤ / m$ ၊ သို့မဟုတ် $ℤ_{m}$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။^[၆]

$m > 0$ အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

ℤ / m ℤ = {{\overline{0}}_{m}, {\overline{1}}_{m}, \dots, {\overline{m - 1}}_{m}}

ပေါင်းခြင်း၊ နုတ်ခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

${\overline{a}}_{m} + {\overline{b}}_{m} = {\overline{(a + b)}}_{m}$
${\overline{a}}_{m} - {\overline{b}}_{m} = {\overline{(a - b)}}_{m}$
${\overline{a}}_{m} {\overline{b}}_{m} = {\overline{(a b)}}_{m}$

ဤတွက်ချက်မှုများအောက်တွင် $ℤ / m ℤ$ သည် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) တစ်ခုဖြစ်ပြီး အိုင်ဒီးလ် (ideal) $m ℤ$ ဖြင့် $ℤ$ ၏ စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပေါင်းခြင်း တွက်ချက်မှုအောက်တွင် $ℤ / m ℤ$ သည် ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group) တစ်ခု ဖြစ်သည်။^[၇]

မော်ဂျူလို $m$ ရှိသော ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းသည် ဖီးလ်ဒ် (field) တစ်ခု ဖြစ်ခြင်းသည် $m$ သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ $k > 1$ အတွက် $m = p^{k}$ ဖြစ်ပါက $ℤ / m ℤ$ တွင် သုညစားကိန်းများ (zero-divisors) ပါဝင်ပြီး အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် (finite field) $G F (m)$ နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် (isomorphic) မဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအဖြစ် ပြည့်စုံမှုမရှိပေ။

$(ℤ / m ℤ)^{\times}$ ဖြင့် ဖော်ပြသော မော်ဂျူလို $m$ ရှိသော ကိန်းပြည့်များ၏ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု (multiplicative group of integers modulo $m$ ) တွင် $a$ သည် $m$ သို့ နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သည့် ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ ${\overline{a}}_{m}$ ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းအောက်တွင် အစဉ် (order) $φ (m)$ ပါရှိသည့် အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။

ကိုးကား

↑ Gray (2018), p. 143.
↑ Lehoczky & Rusczyk (2006), p. 44.
↑ Pettofrezzo & Byrkit (1970), p. 90.
↑ Long (1972), p. 78.
↑ Long (1972), p. 85.
↑ Denton (2013).
↑ Sengadir (2009), p. 293.

Apostol၊ Tom M. (1976)၊ Introduction to Analytic Number Theory၊ Undergraduate Texts in Mathematics၊ New York: Springer-Verlag၊ doi:10.1007/978-1-4757-5579-4၊ ISBN 978-0-387-90163-3၊ MR 0434929၊ Zbl 0335.10001
Berggren၊ John L.၊ "Modular arithmetic"၊ Encyclopædia Britannica
Bullynck၊ Maarten (2013)၊ Modular Arithmetic before C. F. Gauss: Systematisations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany (PDF)၊ 2 November 2013 တွင် မူရင်း (PDF) အား မော်ကွန်းတင်ပြီး၊ 2018-02-03 တွင် ပြန်စစ်ပြီး
Denton၊ Tom (2013-11-16)၊ "2.3: Integers Modulo n"၊ Mathematics LibreTexts၊ 2020-08-12 တွင် ပြန်စစ်ပြီး
Garey၊ M. R.; Johnson၊ D. S. (1979)၊ Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness၊ San Francisco: W. H. Freeman၊ ISBN 0716710447
Gioia၊ Anthony (2001)၊ Number Theory: An Introduction (Reprint ed.)၊ Mineola, NY: Dover၊ ISBN 0-486-41449-3
Gray၊ Jeremy (2018)၊ A History of Abstract Algebra: From Algebraic Equations to Modern Algebra၊ Cham, Switzerland: Springer International Publishing၊ doi:10.1007/978-3-319-94773-0၊ ISBN 978-3-319-94772-3၊ MR 3889814၊ Zbl 1406.01001
Lehoczky၊ Sandor; Rusczyk၊ Richard (2006)၊ Patrick၊ David (ed.)၊ The Art of Problem Solving၊ 1 (7th ed.)၊ Alpine, CA: AoPS Incorporated၊ ISBN 0977304566
Long၊ Calvin T. (1972)၊ Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.)၊ Lexington, MA: D. C. Heath and Company
Pettofrezzo၊ Anthony J.; Byrkit၊ Donald R. (1970)၊ Elements of Number Theory၊ Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall၊ ISBN 978-0-13-268300-5
Rosetta Code (2020)၊ "Euler's sum of powers conjecture"၊ rosettacode.org၊ 2020-11-11 တွင် ပြန်စစ်ပြီး
Sengadir၊ T. (2009)၊ Discrete Mathematics and Combinatorics၊ Chennai, India: Pearson Education India၊ ISBN 978-81-317-1405-8
Weisstein၊ Eric W.၊ "Modular Arithmetic"၊ Wolfram MathWorld၊ 2020-08-12 တွင် ပြန်စစ်ပြီး

[1] Gray (2018), p. 143.

[2] Lehoczky & Rusczyk (2006), p. 44.

[3] Pettofrezzo & Byrkit (1970), p. 90.

[4] Long (1972), p. 78.

[5] Long (1972), p. 85.

[6] Denton (2013).

[7] Sengadir (2009), p. 293.

[၁]

[၂]

[၃]

[၄]

[၅]

[၆]

[၇]