ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)

ကွင်း (ring) ဆိုသည်မှာ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းတည်ဆောက်ပုံတွင် အပေါင်း (addition) နှင့် မြှောက်ခြင်း (multiplication) တွက်ချက်မှုတို့ကို အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closure property) ရှိရန် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ထို့ပြင် ၎င်းတွက်ချက်မှုနှစ်ခုသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိများနှင့်ပတ်သက်၍ အချင်းချင်း ကိုက်ညီမှု ရှိကြသည်။ ကွင်းတစ်ခုအတွက် အခြေခံအကျဆုံး ဥပမာတစ်ခုမှာ သာမန် ကိန်းများပေါင်းခြင်း၊ မြှောက်ခြင်းတို့နှင့် တွဲဖက်ထားသော ကိန်းပြည့်များ (integers) အစု $\mathbb {Z}$ ပင် ဖြစ်သည်။ ^[၁] ကွင်းသီအိုရီ (ring theory) သည် အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) ၏ ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းဘာသာရပ်သည် ကွင်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။

အမည်ပေးခြင်း

ကွင်းဟူသော သဘောတရားကို ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) က စတင်ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ သို့သော် ကွင်း ဟူသော အမည်နာမကိုမူ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။^[၂]^[၃] အချို့သော သီးသန့်အခြေအနေများတွင် ကွင်း ဟူသော အမည်အပြင် ဒိုမိန်း (domain) ဟူသော အသုံးအနှုန်းကိုလည်း ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် သုံးစွဲကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် စာပေကျမ်းဂန်များတွင် အင်တီဂရယ် ကွင်း (integral ring) ဟူသော စကားလုံးထက် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (integral domain) ဟူသော အသုံးအနှုန်းကို ပိုမိုတွေ့ရှိရသည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ

သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲများနှင့် ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်များအပေါ် မူတည်၍ ကွင်း၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မှာ အနည်းငယ် ကွဲလွဲမှုများ ရှိနိုင်သည်။ တစ်ခါတစ်ရံတွင် အခန်းကဏ္ဍတစ်ခုနှင့်တစ်ခုကြား၌ပင် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် ကွာခြားသွားတတ်သည်။ အလားတူပင် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များမှာလည်း အနည်းငယ် ကွဲလွဲနိုင်သည်။ ထို့အပြင် တည်ဆောက်ပုံပိုင်းများနှင့် မူလတည်ဆောက်ပုံများ၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်များမှာလည်း ပြောင်းလဲမှုများ ရှိတတ်သည်။ သင်္ချာနည်းကျအားဖြင့် ဆိုရလျှင် ဤသို့ ကွဲပြားနေသော ကွင်းသဘောတရားများသည် ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (category theory) အရ ကွဲပြားသော ကတ်တဂိုရီများ (categories) ပင် ဖြစ်ကြသည်။

ကွင်း

ကွင်း (ring) $(R,+,\cdot )$ ဆိုသည်မှာ အစု (set) $R$ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် $+$ နှင့် $\cdot$ ဟူသော နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operations) နှစ်ခု ပါဝင်သည်။ ယင်းတွက်ချက်မှုများသည် ကွင်း နဂိုမှန်အဆိုများ (ring axioms) ဟုခေါ်သော အောက်ပါ ဆက်သွယ်ချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။

$(R,+)$ သည် အပေါင်း (addition) $+$ အောက်တွင် အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအုပ်စု၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) ကို ကွင်း $R$ ၏ သုည အစုဝင်အဖြစ် $0$ ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။

$(R,\cdot )$ သည် မြှောက်ခြင်း (multiplication) $\cdot$ အောက်တွင် ဆီမီးအုပ်စု (semigroup) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအမြှောက်လက္ခဏာကို အများအားဖြင့် ချန်လှပ်၍ ရေးသားလေ့ရှိသည်။

$(R,+,\cdot )$ သည် အောက်ဖော်ပြပါ ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (distributive laws) ပြည့်စုံရမည်။ $R$ အတွင်းရှိ $a,b,c$ အားလုံးအတွက်၊

a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)=ab+ac

နှင့်

(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)=ac+bc

တို့ ဖြစ်ကြသည်။ မြှောက်ခြင်းနှင့်ပတ်သက်၍ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (commutative property) ပြည့်စုံသော ကွင်းကို ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) ဟု ခေါ်သည်။ ထိုသို့မဟုတ်ပါက ၎င်းကို ဖလှယ်၍မရသော ကွင်း (non-commutative ring) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (ring with unity)

ဆီမီးအုပ်စု $(R,\cdot )$ တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက်အကျုံးဝင်သော ထပ်တူရအစုဝင် $1$ ပါဝင်ခဲ့လျှင် ယင်းကို မိုနွိုက် (monoid) တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ထိုအခါ $(R,+,\cdot )$ ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) ဟု ခေါ်သည်။ ဘယ်ဘက် သို့မဟုတ် ညာဘက် တစ်ဖက်တည်းအတွက်သာ ထပ်တူရအစုဝင် ပါဝင်သော ကွင်းများကို ကွင်းသီအိုရီ (ring theory) တွင် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများအဖြစ် မသတ်မှတ်ပေ။

အချို့သော စာရေးသူများသည် ကွင်းတစ်ခုဆိုလျှင် အခြေခံအားဖြင့် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိရှိပြီး ယူနစ်ပါဝင်သော ကွင်းဟုသာ နားလည်ထားကြသည်။ ယူနစ်မပါဝင်သော အခြားကွင်းများကိုမူ ဆူဒိုကွင်း (pseudo-ring) ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ အင်္ဂလိပ်ဘာသာရပ်တွင် ယင်းကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိမရှိသော ကွင်း (non-unital ring) သို့မဟုတ် အက္ခရာ 'i' ကို ဖယ်ရှားထားသည့် rng ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ (category of unital rings) တွင် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (ring homomorphisms) သည် ၎င်းယူနစ်များကို မပြောင်းလဲစေဘဲ ထိန်းသိမ်းထားရမည်။

မည်သည့် ကွင်းကိုမဆို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းတစ်ခုအတွင်းသို့ ထည့်သွင်း (embed) နိုင်သည်။

ကွင်းတစ်ခုတွင် ထပ်တူရအစုဝင် $1$ နှင့် သုညအစုဝင် $0$ တို့ တူညီနေပါက မည်သည့်အစုဝင် $x$ အတွက်မဆို $x=x\cdot 1=x\cdot 0=0$ ဖြစ်သွားမည်။ ထိုသို့ အစုဝင် သုည တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သောကွင်းကို သုည ကွင်း (zero ring) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းကို အကြမ်းအားဖြင့် သုညဂဏန်း $0$ ဖြင့်ပင် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။

ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring with unity)

ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) ဘာသာရပ်တွင် ကွင်းများကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်းများ (commutative rings with unity) အဖြစ်သာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ကြသည်။

ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် ကွင်းပိုင်း (ring homomorphism and subring)

ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (ring homomorphism) ဆိုသည်မှာ ကွင်း $R$ မှ ကွင်း $S$ သို့ ဆက်သွယ်ထားသော ပုံဖော်မှု $f$ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းပုံဖော်မှုသည် အပေါင်းနှင့် မြှောက်ခြင်း တွက်ချက်မှုများကို ထိန်းသိမ်းထားရမည်။ ထို့ပြင် ထပ်တူရအစုဝင်ကိုလည်း မပြောင်းလဲစေရပေ။

အတိအကျဆိုရလျှင် မည်သည့် $x,y\in R$ အတွက်မဆို $f(x+y)=f(x)+f(y)$ နှင့် $f(xy)=f(x)f(y)$ ဖြစ်ရမည်။ ထို့အပြင် $f(1)=1$ ဖြစ်ရမည်။ ပုံဖော်မှု $f$ သည် အဘီလီယန်အုပ်စုများဆိုင်ရာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်လည်း ဖြစ်သောကြောင့် $f(x-y)=f(x)-f(y)$ နှင့် $f(-x)=-f(x)$ အစရှိသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့်လည်း ပြည့်စုံသည်။ ထို့ပြင် $f(0)=0$ လည်း ဖြစ်သည်။

ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် နှစ်ခုဖြစ်သော $f:R\rightarrow S$ နှင့် $g:S\rightarrow T$ တို့ကို ပေါင်းစပ်လိုက်လျှင်လည်း နောက်ထပ် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဖြစ်သည့် $g\circ f:R\rightarrow T$ ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။

ကွင်းပိုင်း (subring) ဆိုသည်မှာ မူလကွင်း $R$ ၏ အစုပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအစုပိုင်းသည် အပေါင်းနှင့် မြှောက်ခြင်း တွက်ချက်မှုများအောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closure property) ရှိရမည်။ ထို့ပြင် မူလကွင်း၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) လည်း ၎င်းအစုပိုင်းထဲတွင် ပါဝင်ရမည်။ ထိုအခါ ကွင်းပိုင်းမှ မူလကွင်းသို့ ဆက်သွယ်ထားသော ထပ်တူကျ ပုံဖော်မှုသည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။

အိုင်ဒီးလ်နှင့် စားလဒ်ကွင်း (ideal and quotient ring)

အိုင်ဒီးလ် (ideal) ${\mathfrak {a}}$ ဆိုသည်မှာ ကွင်း $R$ ၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မည်သည့် $x\in R$ နှင့် $y\in {\mathfrak {a}}$ အတွက်မဆို ၎င်းတို့နှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ် $xy$ သည် ${\mathfrak {a}}$ ထဲတွင် ပါဝင်ရမည်။ တနည်းအားဖြင့်ဆိုရသော် $R{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}$ ဖြစ်ရမည်။

အိုင်ဒီးလ် ${\mathfrak {a}}$ ကို အသုံးပြု၍ စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ အချို့က ၎င်းကို အကြွင်းအတန်းအစားကွင်း (residue-class ring) ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ မူလကွင်း $R$ အတွင်းရှိ မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုသည် စားလဒ်အုပ်စု $R/{\mathfrak {a}}$ အပေါ်သို့ ထူးခြားစွာသီးသန့် တည်ရှိနေသော မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုအဖြစ် သက်ရောက်သည်။ ထိုသို့ သက်ရောက်လာခြင်းကြောင့် $R/{\mathfrak {a}}$ သည် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ၎င်းစားလဒ်ကွင်း၏ အစုဝင်များသည် မူလကွင်း $R$ အတွင်းရှိ ${\mathfrak {a}}$ ၏ ကိုဆက် (coset) များ ဖြစ်ကြသည်။ ကွင်း $R$ မှ အစုဝင် $x$ အသီးသီးကို သက်ဆိုင်ရာ ကိုဆက် $x+{\mathfrak {a}}$ ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ပုံဖော်မှု $\phi :R\rightarrow R/{\mathfrak {a}}$ သည် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်သော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

မူလကွင်း $R$ အတွင်း၌ ${\mathfrak {a}}$ ကို ငုံထားသော အိုင်ဒီးလ် ${\mathfrak {b}}$ များ ရှိကြသည်။ ထို့အတူ စားလဒ်ကွင်း $R/{\mathfrak {a}}$ အတွင်း၌လည်း အိုင်ဒီးလ် ${\overline {\mathfrak {b}}}$ များ ရှိကြသည်။ ထိုအိုင်ဒီးလ် နှစ်မျိုးကြားတွင် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု တိုက်ရိုက်ကိုက်ညီမှု ရှိပြီး ${\mathfrak {b}}=\phi ^{-1}({\overline {\mathfrak {b}}})$ ဟူသော ဆက်သွယ်ချက်ဖြင့် အစဉ်လိုက်မပျက် ကိုက်ညီနေမည်ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် $f:R\rightarrow S$ တွင်မဆို ကာနယ် (kernel) $f^{-1}(0)$ ကို ရှာဖွေနိုင်သည်။ ထိုကာနယ်သည် မူလကွင်း $R$ ၏ အိုင်ဒီးလ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် $f$ ၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်ကွင်း $S$ ၏ ကွင်းပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် $f$ ကြောင့် ကာနယ်အိုင်ဒီးလ်ကို အသုံးပြုထားသော စားလဒ်ကွင်းနှင့် $f$ ၏ ပုံရိပ်တို့ကြားတွင် ကွင်း အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ထပ်တူညီမှု ရရှိသည်။ သင်္ချာဖော်ပြချက်များတွင် $x\equiv y{\pmod {\mathfrak {a}}}$ ဟူသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို မကြာခဏ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ ယင်း၏ အဓိပ္ပာယ်မှာ $x-y$ သည် အိုင်ဒီးလ် ${\mathfrak {a}}$ ထဲတွင် ပါဝင်သည်ဟု ဆိုလိုခြင်း ဖြစ်သည်။

သုညစားကိန်းများ၊ သုညဖြစ်နိုင်စွမ်းရှိ အစုဝင်များနှင့် ယူနစ်များ (zero-divisors, nilptent elements and units)

ကွင်း $R$ တစ်ခုအတွင်းရှိ သုညစားကိန်း (zero-divisor) ဆိုသည်မှာ သုညကို စားနိုင်သော အစုဝင် $x$ ကို ဆိုလိုသည်။ အတိအကျဆိုရလျှင် $xy=0$ ဖြစ်စေမည့် သုညမဟုတ်သော အစုဝင် $y$ သည် ကွင်း $R$ အတွင်း တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ သုညမဟုတ်သော သုညစားကိန်းများ လုံးဝမပါဝင်သည့်အပြင် $1\neq 0$ ဂုဏ်သတ္တိနှင့်လည်း ပြည့်စုံသော ကွင်းများကို အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (integral domain) ဟု ခေါ်သည်။

ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းပြည့်များအစု $\mathbb {Z}$ နှင့် ပိုလီနိုမီရယ်ကွင်း $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ တို့သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဤနေရာတွင် $k$ သည် ဖီးလ်ဒ် (field) တစ်ခုဖြစ်ပြီး $x_{i}$ တို့မှာ ကိန်းရှင်များ (indeterminates) ဖြစ်ကြသည်။

အကယ်၍ အပေါင်းကိန်းပြည့် $n>0$ တစ်ခုခုအတွက် $x^{n}=0$ ဖြစ်နေခဲ့လျှင် ထိုအစုဝင် $x\in R$ ကို သုညဖြစ်နိုင်စွမ်းရှိ အစုဝင် (nilpotent element) ဟု ခေါ်သည်။ ကွင်းသည် သုညကွင်း $R=0$ မဟုတ်ခဲ့လျှင် သုညဖြစ်နိုင်စွမ်းရှိ အစုဝင်တိုင်းသည် သုညစားကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော် ယေဘုယျအားဖြင့် ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်အဆိုမှာမူ အမြဲတမ်း မမှန်ကန်ပေ။

ကွင်း $R$ အတွင်းရှိ ယူနစ် (unit) ဆိုသည်မှာ $1$ ကို စားနိုင်သော အစုဝင် $x$ ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $xy=1$ ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် $y$ တစ်ခုခု ကွင်း $R$ အတွင်း ရှိနေခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုအခါ အစုဝင် $y$ ၏တန်ဖိုးသည် $x$ အပေါ်မူတည်၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) ထွက်ပေါ်လာမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $x^{-1}$ ဟု သင်္ကေတပြု ရေးသားသည်။ ကွင်း $R$ အတွင်းရှိ ယူနစ်များအားလုံး စုပေါင်း၍ မြှောက်ခြင်းအခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။

ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ်နှင့် ဖီးလ်ဒ် (principal ideal and field)

$a\in R$ အတွက် အစုဝင် $x\in R$ ၏ ဆတိုးကိန်းများဖြစ်သော $ax$ အားလုံး စုပေါင်း၍ ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် (principal ideal) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ ၎င်းကို $(x)$ သို့မဟုတ် $Rx$ ဟူ၍ သင်္ကေတပြု ဖော်ပြကြသည်။ အကယ်၍ $x$ သည် ယူနစ်ဖြစ်ပါက $(x)=R=(1)$ ဖြစ်မည်ဖြစ်ပြီး ထိုအခြေအနေ၏ ပြောင်းပြန်အဆိုလည်း မှန်ကန်သည်။ သုည အိုင်ဒီးလ် $(0)$ ကို အများအားဖြင့် $0$ ဟူ၍သာ လွယ်ကူစွာ ရေးသားလေ့ရှိကြသည်။

$1\neq 0$ ဖြစ်ပြီး သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းသည် ယူနစ်ဖြစ်နေသော ကွင်း $R$ ကို ဖီးလ်ဒ် (field) ဟု ခေါ်သည်။ ဖီးလ်ဒ်တိုင်းသည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော် ပြောင်းပြန်အားဖြင့် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းတိုင်းသည် ဖီးလ်ဒ်များ မဟုတ်ကြပေ။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းပြည့်အစု $\mathbb {Z}$ သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းဖြစ်သော်လည်း ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု မဟုတ်ပေ။

ဖီးလ်ဒ်နှင့် အိုင်ဒီးလ်များ၏ ဆက်စပ်မှု (Relationship between fields and ideals)

ကွင်း $R$ သည် သုညကွင်းမဟုတ်ပါစေနှင့် ( $R\neq 0$ ) ။ သို့ဆိုလျှင် အောက်ပါအချက်များသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီမှု (equivalent) ရှိကြသည်။

$i)$ ကွင်း $R$ သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။
$ii)$ ကွင်း $R$ တွင် $0$ နှင့် $(1)$ မှလွဲ၍ အခြားမည်သည့် အိုင်ဒီးလ်မျှ မရှိပေ။
$iii)$ ကွင်း $R$ မှ သုညမဟုတ်သော ကွင်း $S$ သို့ ဆက်သွယ်ထားသည့် မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆို အင်ဂျက်တစ် (injective) ဖြစ်သည်။

သက်သေပြချက်။ ။

$i)\Rightarrow ii)$ သုညမဟုတ်သော အိုင်ဒီးလ် ${\mathfrak {a}}\neq 0$ တစ်ခုသည် ကွင်း $R$ အတွင်း ရှိသည်ဟု ယူဆပါ။ ထိုအခါ ${\mathfrak {a}}$ တွင် သုညမဟုတ်သော အစုဝင် $x$ တစ်ခု ပါဝင်နေမည်ဖြစ်သည်။ ကွင်း $R$ သည် ဖီးလ်ဒ်ဖြစ်သောကြောင့် ထို $x$ သည် ယူနစ်ဖြစ်လာသည်။ သို့ဖြစ်၍ ${\mathfrak {a}}\supseteq (x)=(1)$ ဖြစ်လာပြီး အဆုံးတွင် ${\mathfrak {a}}=(1)$ ဟူ၍ ရရှိသည်။

$ii)\Rightarrow iii)$ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် $\phi :R\rightarrow S$ တစ်ခု ရှိသည်ဟု ယူဆပါ။ ထိုအခါ ကာနယ် $\operatorname {ker} (\phi )$ သည် ကွင်း $R$ ၏ အိုင်ဒီးလ်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ပစ်မှတ်ကွင်း $S$ သည် သုညကွင်းမဟုတ်သောကြောင့် အဆိုပါ ကာနယ်သည် $(1)$ နှင့် မညီနိုင်ပေ။ သို့ဖြစ်၍ ယူဆချက် $ii)$ အရ $\operatorname {ker} (\phi )=0$ သာ ဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် $\phi$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သွားသည်။

$iii)\Rightarrow i)$ ကွင်း $R$ မှ ယူနစ်မဟုတ်သော အစုဝင် $x$ တစ်ခုကို ရွေးချယ်ပါ။ ထိုအခါ $(x)\neq (1)$ ဖြစ်သောကြောင့် စားလဒ်ကွင်း $S=R/(x)$ သည် သုညကွင်း ဖြစ်မလာနိုင်ပေ။ ထို့နောက် ကာနယ် $(x)$ ရှိသော သဘာဝ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် $\phi :R\rightarrow S$ ကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ယူဆချက် $iii)$ အရ အဆိုပါ ပုံဖော်မှု $\phi$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။ သို့ဖြစ်၍ ကာနယ်ဖြစ်သော $(x)=0$ ဖြစ်လာပြီး အဆုံးတွင် $x=0$ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ ဤသို့ဖြင့် သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းသည် ယူနစ်ဖြစ်ရမည်ဖြစ်၍ ဖီးလ်ဒ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် ကိုက်ညီသွားသည်။