စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် စုံမသဘာဝ (Parity) သည် ပေးထားသော ကိန်းပြည့် (integer) တစ်လုံးမှာ စုံကိန်းလား သို့မဟုတ် မကိန်းလား ဆိုသည်ကို ညွှန်ပြသော ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်

စုံမသဘာဝကို အခြေခံအားဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း နှစ်မျိုး ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။

စုံကိန်း (Even number) အဖြစ် သတ်မှတ်ရန်မှာ ကိန်းပြည့် $n \in ℤ$ သည် $2$ ၏ ဆတိုးကိန်းများ (multiples) အနက်မှ တစ်ခုဖြစ်ရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $n = 2 k$ ဖြစ်စေသည့် ကိန်းပြည့် $k \in ℤ$ တစ်ခုခု တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်း 14 သည် $14 = 2 (7)$ ဟု ရေးသားနိုင်သောကြောင့် စုံကိန်း ဖြစ်ပြီး ဤနေရာတွင် $k = 7$ ဖြစ်သည်။ ယူကလစ် (Euclid) ၏ အဲလီမင့်စ် (Elements) ကျမ်းတွင် ၎င်းကို ညီမျှသော အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ခွဲခြား၍ရသော ကိန်းအဖြစ် ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည်။
မကိန်း (Odd number) အဖြစ် သတ်မှတ်ရန်မှာ ကိန်းပြည့်တစ်လုံးသည် စုံကိန်း မဖြစ်ရပါ။ ဆိုလိုသည်မှာ $n = 2 k + 1$ ဖြစ်စေသည့် ကိန်းပြည့် $k \in ℤ$ တစ်ခုခု တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်း 17 သည် $17 = 2 (8) + 1$ ဟု ရေးသားနိုင်သောကြောင့် မကိန်း ဖြစ်ပြီး ဤနေရာတွင် $k = 8$ ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်က ၎င်းကို ညီမျှသော အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ခွဲခြား၍မရနိုင်သော ကိန်း သို့မဟုတ် စုံကိန်းနှင့် ယူနစ် (unit) တစ်ခုကွာဟသော ကိန်းအဖြစ် ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည်။

ကိန်းပြည့်များ၏ စုံမသဘာဝ ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties of Integer Parity)

အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Algebraic Properties)

ကိန်း $2$ သည် တစ်ခုတည်းသော စုံကိန်းဖြစ်သည့် သုဒ္ဓကိန်း (prime number) ဖြစ်သည်။
စုံကိန်းပြည့်များအစု $2 ℤ$ သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရ (multiplicative identity) မပါဝင်သော ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။
စုံကိန်းပြည့်များအစုတွင် $2 e = 2$ ညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေမည့် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် $e$ မရှိပါ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၎င်းညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေသော ကိန်း $1$ မှာ မကိန်း ဖြစ်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။
စုံကိန်းပြည့်များအစု $2 ℤ$ သည် ကိန်းပြည့်များအစု $ℤ$ ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုကိုသာ ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ထပ်တူရပါသော ကွင်း (unital ring) မဖြစ်နိုင်ပါ။
$2 ℤ$ သည် $ℤ$ ၏ အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ် (maximal ideal) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။
ထို့ကြောင့် စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) ဖြစ်သော $ℤ / 2 ℤ$ သည် အစုဝင် နှစ်ခုသာပါဝင်သော အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် (finite field) တစ်ခု ဖြစ်သည်။
မကိန်းပြည့်များအစုသည် ကွင်း (ring) တစ်ခုကို လုံးဝ မဖွဲ့စည်းနိုင်ပါ။
မကိန်းပြည့် နှစ်လုံးကို ပေါင်းလိုက်ပါက ရလဒ်သည် မကိန်း မဟုတ်ဘဲ စုံကိန်းသာ ဖြစ်သွားသည့်အတွက် မကိန်းများသည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုအောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closure property) မရှိပါ။ ဤသို့ အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ မရှိခြင်းကပင် မကိန်းများကို ကွင်းတစ်ခု ဖွဲ့စည်းခွင့် မရအောင် ပိတ်ပင်ထားသည်။
တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာအနေဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း လေ့လာတွေ့ရှိနိုင်သည်။
- စုံကိန်း နှင့် စုံကိန်း ပေါင်းပါက စုံကိန်း ရရှိသည်။ $4 + 6 = 10$
- မကိန်း နှင့် မကိန်း ပေါင်းပါက စုံကိန်း ရရှိသည်။ $3 + 5 = 8$
- စုံကိန်း နှင့် မကိန်း ပေါင်းပါက မကိန်း ရရှိသည်။ $4 + 3 = 7$
- စုံကိန်း နှင့် မည်သည့်ကိန်းပြည့်ကိုမဆို မြှောက်ပါက စုံကိန်း ရရှိသည်။ $4 \times 3 = 12$

အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Set-theoretic Properties)

ကိန်းပြည့်အားလုံး၏ အရေအတွက်နှင့် စုံကိန်းပြည့်များ၏ အရေအတွက်တို့မှာ တူညီကြသည်။
စုံကိန်းများအစု $2 ℤ$ သည် ကိန်းပြည့်များအစုနည်းတူ ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ (countably infinite) ဖြစ်သည်။

ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ရှုထောင့် (Categorical Perspective)

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ကိန်းပြည့်များကို အောက်ပါအတိုင်း ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာနိုင်သည်။

ကိန်းပြည့်များကို ပုံမှန်အားဖြင့် ကြိုတင်အစဉ်ကျသောအစုများ (preorders) ထဲမှ အစု $(ℤ, \leq)$ အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။
ထို့ကြောင့် ယင်းအစုကို ပါးလွှာသော ကတ်တဂိုရီ (thin category) တစ်ခုအနေဖြင့် သတ်မှတ်နိုင်သည်။
စုံကိန်းနှင့် မကိန်းများ၏ ပြည့်ဝသော ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ပါဝင်မှုများ (inclusions) ကို အောက်ပါ ပုံကြမ်းအတိုင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။

\begin{matrix} (ℤ, \leq) & \overset{even}{↪} & (ℤ, \leq) \\ n & \mapsto & 2 n \end{matrix} \begin{matrix} (ℤ, \leq) & \overset{odd}{↪} & (ℤ, \leq) \\ n & \mapsto & 2 n + 1 \end{matrix}

မည်သည့် $n$ ကိုမဆို ၎င်း၏ အောက်ဆုံးကိန်းပြည့် (floor) $⌊ n / 2 ⌋$ သို့ ပို့ပေးသော ဖန်တာ (functor) တစ်ခု ရှိသည်။

\begin{matrix} (ℤ, \leq) & \overset{⌊ - / 2 ⌋}{⟶} & (ℤ, \leq) \\ n & \mapsto & ⌊ n / 2 ⌋ \end{matrix}

ဤဖန်တာသည် $n$ ကို ရာရှင်နယ်ကိန်း (rational number) $n / 2$ ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော အကြီးဆုံးကိန်းပြည့်ထံသို့ ပို့ပေးခြင်း ဖြစ်သည်။
ထိုဖန်တာများသည် တွဲဖက် သုံးခုတွဲ (adjoint triple) ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖွဲ့စည်းကြသည်။

even ⊣ ⌊ - / 2 ⌋ ⊣ odd

၎င်းတို့သည် $(ℤ, \leq)$ အပေါ်တွင် အောက်ပါ တွဲဖက် အသွင်သတ်မှတ်ချက် (adjoint modality) ကို လှုံ့ဆော်ပေးသည်။

Even ⊣ Odd

ဤနေရာတွင် $Even := 2 ⌊ - / 2 ⌋$ သည် မည်သည့်ကိန်းပြည့်ကိုမဆို ၎င်း၏ စုံကိန်း အောက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး (floor value) သို့ ပို့ပေးသည်။
ထို့အတူ $Odd := 2 ⌊ - / 2 ⌋ + 1$ သည် မည်သည့်ကိန်းပြည့်ကိုမဆို ၎င်း၏ မကိန်း အထက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး (ceiling value) သို့ ပို့ပေးသည်။
မကိန်းပြည့်တစ်ခုဖြစ်သော $n = 7$ ကို ဥပမာအဖြစ် လေ့လာကြည့်မည်။ အောက်ဆုံးကိန်းပြည့် ဖန်တာကို အသုံးပြုပါက $⌊ 7 / 2 ⌋ = ⌊ 3.5 ⌋ = 3$ ရရှိသည်။ ၎င်းအပေါ်သို့ စုံကိန်း အော်ပရေတာ (operator) $2 ⌊ n / 2 ⌋$ ကို အသုံးပြုပါက $2 (3) = 6$ ရရှိသည်။ ဤလုပ်ငန်းစဉ်သည် ကိန်း 7 ကို ၎င်းထက်ငယ်သော အနီးစပ်ဆုံး စုံကိန်းပြည့်ထံသို့ ပို့ပေးခြင်း ဖြစ်သည်။ မကိန်း အော်ပရေတာ $2 ⌊ n / 2 ⌋ + 1$ ကို အသုံးပြုပါက $2 (3) + 1 = 7$ ရရှိသည်။ ဤလုပ်ငန်းစဉ်သည် ကိန်း 7 ကို ၎င်း၏ မူလတန်ဖိုးထံသို့သာ ပြန်လည်ပို့ပေးခြင်း ဖြစ်သည်။

စုံမသဘာဝ၏ ဒဿနိကဗေဒဆိုင်ရာ ရှုထောင့် - အဖိုနှင့် အမ (The Philosophical View of Parity: Masculine vs. Feminine)

ပိုက်သာဂိုရီယန်များ (Pythagoreans) သည် ကိန်းများကို အလွန်အမင်း ကိုးကွယ်ခြင်း အလေ့အထကို ကျင့်သုံးခဲ့ကြပြီး စုံကိန်းနှင့် မကိန်းများအတွက် သီးခြားဖြစ်သော လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ (gendered) နှင့် ဒဿနိကဗေဒဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (philosophical attributes) ကို သတ်မှတ်ပေးခဲ့ကြသည်။^[၁]

မကိန်းများ - အဖိုနှင့် မြင့်မြတ်ခြင်း (Odd Numbers: Masculine & Divine): ပိုက်သာဂိုရီယန်များသည် မကိန်းများကို အဖိုဂုဏ်သတ္တိများ (male attributes) ပိုင်ဆိုင်ထားသည်ဟု ယူဆခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်း $3$ ကို ပထမဆုံး စစ်မှန်သော အဖိုကိန်း (first true male number) အဖြစ် ရှုမြင်ခဲ့ကြပြီး တစ်ခုတည်းဖြစ်ခြင်း (unity) နှင့် ကွဲပြားမှု (diversity) တို့ဖြင့် ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားသော ညီညွတ်မျှတခြင်း (harmony) ကို ကိုယ်စားပြုသည့် ကိန်းတစ်ခုအဖြစ်လည်း သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင်လည်း ဤအမြင်သဘောထားနှင့် ဆက်စပ်၍ မကိန်းများ၌ မြင့်မြတ်မှု (divinity) ရှိသည်ဟူသော ခိုင်မာသည့် ယူဆချက်တစ်ခု ရှိခဲ့ကြောင်း မှတ်တမ်းများအရ သိရသည်။ ၎င်းအပြင် ၎င်းတို့သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ လေ့လာတွေ့ရှိချက် (mathematical observation) တစ်ခုကို အခြေခံ၍ မကိန်းများကို အဓိကကျမှု (primacy) ပေးခဲ့ကြသည်။ မကိန်းနှစ်ခုပေါင်းပါက စုံကိန်းကို ရရှိသည်။ သို့သော် စုံကိန်းနှစ်ခုပေါင်းပါက စုံကိန်းသာလျှင် ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်သည်။^[၁]

စုံကိန်းများ - အမ (Even Numbers: Feminine): စုံကိန်းများကို အမဂုဏ်သတ္တိများ (female attributes) အဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ကိန်း $2$ ကို ပထမဆုံး စုံကိန်း သို့မဟုတ် အမကိန်း (first even or female number) အဖြစ် ယူဆခဲ့ကြပြီး ဒဿနိကဗေဒအရ ယင်းကို အမြင် သဘောထား (opinion) ဟူသော သဘောတရားနှင့် ဆက်စပ်ခဲ့ကြသည်။^[၁]

ထိမ်းမြားလက်ထပ်ခြင်း (Marriage): ကိန်း $5$ သည် ပထမဆုံး စစ်မှန်သော အဖိုကိန်းဖြစ်သည့် ကိန်း $3$ နှင့် ပထမဆုံး အမကိန်းဖြစ်သည့် ကိန်း $2$ တို့၏ ပေါင်းစည်းမှု (union) ကို ကိုယ်စားပြုသောကြောင့် ယင်းကို ထိမ်းမြားလက်ထပ်ခြင်းဆိုင်ရာ ကိန်းအဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။^[၁]

စုံမသဘာဝ၏ မြင်သာသော ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု - အစက်များနှင့် နိုမွန်များ (Visual Representation of Parity: Dots and Gnomons)

ပိုက်သာဂိုရီယန်များသည် ကိန်းများကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဖြန့်ကျက်မှု (geometric extension) ဖြင့် အလွန်အမင်း ဆက်စပ်ခဲ့ကြပြီး ၎င်းတို့ကို ပုံသဏ္ဌာန်ဖော် ကိန်းများ (figurate numbers) ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းများကို ဖြန့်ကျက်ထားခြင်းမရှိသော ယူနစ်များ (unextended units) သို့မဟုတ် အမှတ်များ၏ ပုံစံများ (patterns of points) အဖြစ် မြင်သာသော ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (visual representation) ဖြင့် ဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ ယင်းအမှတ်များကို အစက်များ (dots) အဖြစ် ရေးဆွဲလေ့ရှိသည်။ ဤပုံသဏ္ဌာန်များ တည်ဆောက်ပုံတွင် စုံမသဘာဝသည် အဓိကအခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်ခဲ့သည်။^[၁]

မကိန်းများကို နိုမွန်များအဖြစ် ဖော်ပြခြင်း - စတုရန်းများ (Odd Numbers as "Gnomons": Squares): အစဉ်လိုက်ဖြစ်သော နှစ်ထပ်ကိန်းများ (successive perfect squares) ကို မကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ် (sequence) ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်ကြောင်းကို ပိုက်သာဂိုရီယန်များ သတိပြုမိခဲ့ကြသည်။ မြင်သာသော ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုအရ ၎င်းတို့သည် မကိန်းတစ်ခုစီကို နိုမွန် (gnomon) နှင့် ဆင်တူသော အစက်များ၏ ပုံစံတစ်ခုအဖြစ် ဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ နိုမွန်ဆိုသည်မှာ ဘေဘီလုံလူမျိုးတို့၏ အရိပ်ဖြင့်အချိန်တိုင်းသော နာရီ (Babylonian shadow clock) တစ်မျိုး ဖြစ်သည်။ တည်ရှိပြီးဖြစ်သော စတုရန်းပုံစံ အစက်များ၏ အနားနှစ်ဖက်တစ်လျှောက်တွင် မကိန်းအရေအတွက်ရှိသော အစက်များဖြင့်ဖွဲ့စည်းထားသည့် နိုမွန်တစ်ခုကို ထပ်မံချထားလိုက်ပါက နောက်ထပ် ပိုကြီးသော စတုရန်းတစ်ခုကို တိကျစွာ ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤကဲ့သို့ မြင်သာသော ဖြစ်စဉ် (visual phenomenon) ကြောင့်ပင် နိုမွန်ဟူသော စကားလုံးကို မကိန်းများအတွက် အမည်တစ်ခုအဖြစ် အသုံးပြုလာခဲ့ကြသည်။^[၁]
ဥပမာအားဖြင့် $1$ ၊ $3$ ၊ $5$ ၊ $7$ အစရှိသည့် ကိန်းစဉ်ကို ပေါင်းထည့်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အစက် 1 စက်သည် $1^{2}$ ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ နောက်ထပ် မကိန်းတစ်ခုဖြစ်သော အစက် 3 စက်ပါဝင်သည့် နိုမွန်ကို ပေါင်းထည့်လိုက်ပါက $1 + 3 = 4$ စက် ရရှိပြီး ၎င်းသည် $2^{2}$ ဖြစ်သည်။ အလားတူစွာ အစက် 5 စက်ကို ထပ်မံပေါင်းထည့်ပါက $1 + 3 + 5 = 9$ စက် ရရှိပြီး ၎င်းသည် $3^{2}$ ဖြစ်သည်။

စုံကိန်းများကို ထောင့်မှန်စတုဂံကိန်းများအဖြစ် ဖော်ပြခြင်း (Even Numbers as "Oblong Numbers"): ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် စုံကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ်ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းသည် မတူညီသော မြင်သာသည့် ပုံသဏ္ဌာန်တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ရရှိလာသော အစက်ပုံစံများကို ဂရိလူမျိုးတို့က ထောင့်မှန်စတုဂံကိန်းများ (oblong numbers) ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့ကြပြီး ယင်းကိန်းတစ်ခုစီသည် တြိဂံကိန်း (triangular number) တစ်ခု၏ ဆတိုးနှစ်ဆ တိကျစွာဖြစ်ကြောင်းကို လေ့လာတွေ့ရှိခဲ့ကြသည်။^[၁]
ဥပမာအားဖြင့် 2၊ 4၊ 6 အစရှိသည့် ကိန်းစဉ်ကို ပေါင်းထည့်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အစက် 2 စက်မှ စတင်မည်။ နောက်ထပ် စုံကိန်းတစ်ခုဖြစ်သော အစက် 4 စက်ကို ပေါင်းထည့်လိုက်ပါက $2 + 4 = 6$ စက် ရရှိသည်။ ဤအစက် 6 စက်သည် $2 \times 3$ အရွယ်အစားရှိသော ထောင့်မှန်စတုဂံပုံ ဇယားကွက်တစ်ခုကို တိကျစွာ ဖြစ်ပေါ်စေသည်။

ကိုးကား

F. William Lawvere, Adjoint Cylinders, message to Categories Mailing List (November 2000)
Euclid, Elements Book VII (~400-300 BC) translated by Thomas L. Heath (1956) Perseus Digital Library

1 2 3 4 5 6 7 Boyer၊ Carl B.; Merzbach၊ Uta C. (2011)၊ "4"၊ A History of Mathematics (3rd ed.)၊ Hoboken, NJ: John Wiley & Sons၊ ISBN 978-0-470-52548-7

[Boyer-1] 1 2 3 4 5 6 7 Boyer၊ Carl B.; Merzbach၊ Uta C. (2011)၊ "4"၊ A History of Mathematics (3rd ed.)၊ Hoboken, NJ: John Wiley & Sons၊ ISBN 978-0-470-52548-7

[၁]