တန်ဆာ မြှောက်လဒ်

တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (tensor product) သည် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures) ရှိ အစုဝင်များ (elements) အား မြှောက်ရန်အတွက် အခြေခံ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ (mathematical structure) ဖြစ်သည်။ မူလက မျဉ်းဖြောင့်အစုံ အက္ခရာသင်္ချာ (multilinear algebra) နှင့် စကေလာ (scalar) ကွင်းများ (rings) ကြား ကူးပြောင်းရန် ဖန်တီးခဲ့သော်လည်း ယခုအခါ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra)၊ ဂျီဩမေတြီ (geometry) နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) တို့တွင် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။

တန်ဆာ မြှောက်လဒ် တည်ဆောက်ပုံ (The Construction of the Tensor Product)

တန်ဆာ မြှောက်လဒ် $M\otimes _{R}N$ ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် ယူနစ်ရှိ ကွင်း (unital ring) $R$၊ ညာ $R$-မော်ဂျူး (right $R$-module) $M$ နှင့် ဘယ် $R$-မော်ဂျူး (left $R$-module) $N$ တို့ လိုအပ်သည်။ ၎င်းသည် $M$ နှင့် $N$ မှ အစုဝင်များ၏ မြှောက်လဒ်များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် အလွတ်လပ်ဆုံး အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group) ဖြစ်သည်။

ပုံစံတကျအားဖြင့် $M\otimes _{R}N$ ကို ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (Cartesian product) $M\times N$ မှ ထုတ်လုပ်သော လွတ်လပ်သည့် အဘီလီယန်အုပ်စု (free abelian group) ၏ စားလဒ် (quotient) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အောက်ပါ အစုဝင်များဖြင့် ထုတ်လုပ်ခံ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) ကို မော်ဂျူလို (modulo) ပြုလုပ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။

• $(m_{1}+m_{2},n)-(m_{1},n)-(m_{2},n)$
• $(m,n_{1}+n_{2})-(m,n_{1})-(m,n_{2})$
• $(mr,n)-(m,rn)$

ထိုဆက်သွယ်ချက်များသည် $M$ ရှိ $m,m_{1},m_{2}$၊ $N$ ရှိ $n,n_{1},n_{2}$ နှင့် $R$ ရှိ $r$ တို့အတွက်ဖြစ်သည်။ စုံတွဲ $(m,n)$ ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (equivalence class) ကို ရိုးရှင်းသော တန်ဆာ (simple tensor) ဟုခေါ်ပြီး $m\otimes n$ ဖြင့် ပြသည်။ ဤဆက်သွယ်ချက်များက $\otimes$ ကို အပေါင်းအပေါ် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributivity) ရှိစေကာ $R$ မှ စကေလာများကို လွတ်လပ်စွာ ဖြတ်သန်းခွင့်ပြုသည်။ $M\otimes _{R}N$ ၏ ယေဘုယျ အစုဝင်သည် ရိုးရှင်းသော တန်ဆာများ၏ အဆုံးရှိ ပုံစံတကျပေါင်းလဒ်များ (finite formal sums) ဖြစ်သည်။ သုညပါဝင်သော တန်ဆာတိုင်းသည် သုညသို့ ပြိုကျသွားသည်။ ထို့ကြောင့် $m\otimes 0=0$ နှင့် $0\otimes n=0$ ဖြစ်သည်။

စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိနှင့် မျှခြေရှိသော ပုံဖော်မှုများ (The Universal Property and Balanced Maps)

တန်ဆာ မြှောက်လဒ်၏ စွမ်းအားသည် ၎င်း၏ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) ပေါ်တွင် မူတည်သည်။ $L$ သည် အဘီလီယန်အုပ်စုဖြစ်ပြီး ပုံဖော်မှု (map) $\varphi :M\times N\to L$ သည် ကိန်းရှင်တစ်ခုချင်းစီအတွက် အပေါင်းအခြေခံ (additive) ဖြစ်ကာ $\varphi (mr,n)=\varphi (m,rn)$ ကို ပြည့်စုံပါက ၎င်းကို $R$-မျှခြေရှိသော ပုံဖော်မှု (R-balanced map) ဟုခေါ်သည်။

တန်ဆာ မြှောက်လဒ်သည် ထိုပုံဖော်မှုများအတွက် စကြဝဠာ အရာဝတ္ထု (universal object) ဖြစ်သည်။ $(m,n)\mapsto m\otimes n$ သို့ သဘာဝ ပရိုဂျက်ရှင်း (natural projection) ပုံဖော်ခြင်းသည် $R$-မျှခြေရှိသော ပုံဖော်မှုဖြစ်သည်။ မည်သည့် $L$ နှင့် $\varphi :M\times N\to L$ အတွက်မဆို $\Phi (m\otimes n)=\varphi (m,n)$ ဖြစ်စေမည့် တစ်ခုတည်းသော (unique) အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) $\Phi :M\otimes _{R}N\to L$ တည်ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် $M\times N$ မှ $L$ သို့ $R$-မျှခြေရှိသော ပုံဖော်မှုများနှင့် $M\otimes _{R}N$ မှ $L$ သို့ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ ကြားတွင် သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (natural bijection) တည်ရှိသည်။ ယင်းက ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်ပေါ်၌ မျှခြေရှိသော ပုံဖော်မှုသတ်မှတ်ရုံဖြင့် တန်ဆာ မြှောက်လဒ်အပေါ်ရှိ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို လွယ်ကူစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခွင့်ပြုသည်။

မော်ဂျူး တည်ဆောက်ပုံများနှင့် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Module Structures and Commutativity)

$M\otimes _{R}N$ သည် အဘီလီယန်အုပ်စု သက်သက်သာဖြစ်သည်။ ၎င်းကို မော်ဂျူးအဖြစ် ပြုလုပ်ရန် အခြေခံမော်ဂျူးများတွင် နောက်ထပ်တည်ဆောက်ပုံများ (additional structures) လိုအပ်သည်။ $M$ သည် $(S,R)$-ဘိုင်မော်ဂျူး (bimodule) ဖြစ်ပါက $M\otimes _{R}N$ သည် သက်ရောက်ချက် (action) $s(m\otimes n)=(sm)\otimes n$ ဖြင့် ဘယ် $S$-မော်ဂျူး ဖြစ်လာသည်။ အလားတူ $N$ သည် $(R,T)$-ဘိုင်မော်ဂျူး ဖြစ်လျှင် ညာ $T$-မော်ဂျူး ဖြစ်လာသည်။

အခြေခံ ကွင်း $R$ သည် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) ဖြစ်သောအခါ ဘယ်နှင့် ညာ $R$-မော်ဂျူးများကို $(R,R)$-ဘိုင်မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် $M$ နှင့် $N$ နှစ်ခုစလုံး $R$-မော်ဂျူးများဖြစ်လျှင် $M\otimes _{R}N$ သည်လည်း $R$-မော်ဂျူး ဖြစ်လာသည်။ ဤအခြေအနေတွင် $R$-မျှခြေရှိသော ပုံဖော်မှုများသည် $R$-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ပုံဖော်မှုများ (R-bilinear maps) ဖြစ်ကြသည်။ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိက ယင်းပုံဖော်မှုများနှင့် $R$-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကြား ဆက်စပ်မှုကို ပေးသည်။

ဖလှယ်ရ ကွင်းအပေါ်ရှိ တန်ဆာ မြှောက်လဒ်သည် အချိုးညီမှု (symmetry) $M\otimes _{R}N\cong N\otimes _{R}M$ ကို လိုက်နာသည်။ ဤနေရာတွင် $m\otimes n\mapsto n\otimes m$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တိကျသော ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (strict associativity) လည်း ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် ကွင်းစကွင်းပိတ်မလိုဘဲ $M\otimes _{R}N\otimes _{R}L$ ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ $A$ နှင့် $B$ တို့သည် $R$-အက္ခရာသင်္ချာများ (R-algebras) ဖြစ်လျှင် တန်ဆာ မြှောက်လဒ် $A\otimes _{R}B$ သည် ရိုးရှင်းသော တန်ဆာများပေါ်၌ မြှောက်ခြင်း (multiplication) $(a\otimes b)(a'\otimes b')=aa'\otimes bb'$ ဖြင့် $R$-အက္ခရာသင်္ချာ အသစ်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။

တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်များနှင့် တန်ဆာ မြှောက်လဒ်များ၏ ဂဏန်းသင်္ချာ (Direct Sums and Arithmetic of Tensor Products)

တန်ဆာ မြှောက်လဒ်သည် တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (direct sum) အပေါ် ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ ထို့ကြောင့် $M\otimes _{R}(\bigoplus N_{i})\cong \bigoplus (M\otimes _{R}N_{i})$ ဖြစ်သည်။ တွက်ချက်မှုများအရ $\mathbb {Z}$-မော်ဂျူးများအဖြစ် ရှုမြင်သော ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group) နှစ်ခုအတွက် $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /d\mathbb {Z}$ ကို ရရှိသည်။ ဤတွင် $d$ သည် $m$ နှင့် $n$ ၏ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း (greatest common divisor) ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် $\mathbb {Q}$ ကဲ့သို့ စား၍ရသော အဘီလီယန်အုပ်စု (divisible abelian group) နှင့် အလိမ် အဘီလီယန်အုပ်စု (torsion abelian group) တို့၏ တန်ဆာ မြှောက်လဒ်သည် သုည မော်ဂျူး (zero module) ဖြစ်သွားသည်။ အလိမ် အဘီလီယန်အုပ်စုတွင် အစုဝင်တိုင်းသည် အဆုံးရှိ အစီအစဉ် (finite order) ရှိကြသည်။

စကေလာများ တိုးချဲ့ခြင်း (Extension of Scalars)

$R$ သည် $S$ ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) ဖြစ်ပါက ဘယ် $R$-မော်ဂျူး $N$ ကို $S\otimes _{R}N$ ဖွဲ့စည်းခြင်းဖြင့် ဘယ် $S$-မော်ဂျူးအဖြစ်သို့ အထက်သို့ပင့်တင် (lift) နိုင်သည်။ ၎င်းသည် လွတ်လပ်သော မော်ဂျူးများ (free modules) ကို ထိန်းသိမ်းထားရာ $N$ သည် အဆင့် (rank) $n$ ရှိသော လွတ်လပ်သည့် $R$-မော်ဂျူးဖြစ်လျှင် $S\otimes _{R}N$ သည်လည်း တူညီသောအဆင့်ရှိ လွတ်လပ်သော $S$-မော်ဂျူးဖြစ်သည်။ ဤသဘောတရားသည် ဒေသအလိုက်ဖြစ်စေခြင်း (localization) နှင့် ဆက်စပ်နေသည်။ မော်ဂျူးတစ်ခုကို အခြေခံ ကွင်း၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ကွင်း (ring of fractions) နှင့် တန်ဆာ မြှောက်ခြင်းသည် ထိုမော်ဂျူး၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ကွင်းကို ဖန်တီးခြင်းပင်ဖြစ်သည်။

ဖန်တာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ- တိကျမှုနှင့် တိကျမှုထိန်းသိမ်းပေးခြင်း (Functorial Properties: Exactness and Flatness)

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) အရ ညာ $R$-မော်ဂျူး $D$ သတ်မှတ်ခြင်းက $D\otimes _{R}\_$ ကို ဘယ်မော်ဂျူးများ ကတ်တဂိုရီ (category of left modules) မှ အဘီလီယန်အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ (category of abelian groups) သို့ လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) ဖြစ်စေသည်။ ဤဖန်တာသည် ညာတိကျသော (right exact) ဖြစ်၍ $L\to M\to N\to 0$ ကဲ့သို့သော တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း (exact sequence) ကို $D\otimes _{R}L\to D\otimes _{R}M\to D\otimes _{R}N\to 0$ အဖြစ် ထိန်းသိမ်းပေးသည်။

သို့သော် ၎င်းသည် ယေဘုယျအားဖြင့် ဘယ်တိကျမှု (left exactness) မရှိပါ။ အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်မှု (injectivity) ကို ထိန်းသိမ်းပေးသော $D$ ကို တိကျမှုထိန်းသိမ်းပေး မော်ဂျူး (flat module) ဟုခေါ်သည်။ လွတ်လပ်သော မော်ဂျူးများနှင့် ပရိုဂျက်တစ် မော်ဂျူးများ (projective modules) သည် အမြဲတမ်း တိကျမှုကို ထိန်းသိမ်းပေးသည်။ ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း (principal ideal domain) ပေါ်တွင် ထိုသို့ဖြစ်ခြင်းသည် အလိမ်ကင်းစင် မော်ဂျူး (torsion-free module) ဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။

ညာ $R$-မော်ဂျူး $A$၊ $(R,S)$-ဘိုင်မော်ဂျူး $B$ နှင့် ညာ $S$-မော်ဂျူး $C$ တို့အတွက် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) ${\text{Hom}}_{S}(A\otimes _{R}B,C)\cong {\text{Hom}}_{R}(A,{\text{Hom}}_{S}(B,C))$ တည်ရှိသည်။ ယင်းက မော်ဂျူးများ၏ တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) နှင့် ဟိုမိုလော်ဂျီ (homology) သဘာဝကို ပြဋ္ဌာန်းပေးသည်။

ဗက်တာရပ်ဝန်းများနှင့် ခရိုနက်ကာ မြှောက်လဒ် (Vector Spaces and the Kronecker Product)

အခြေခံ ကွင်းသည် ဖီးလ်ဒ် (field) $F$ ဖြစ်လျှင် မော်ဂျူးအားလုံးသည် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (vector spaces) ဖြစ်ကြသည်။ $V$ နှင့် $W$ သည် အတိုင်းအတာ (dimension) $n$ နှင့် $m$ ရှိသော ရပ်ဝန်းများဖြစ်လျှင် တန်ဆာ မြှောက်လဒ် $V\otimes _{F}W$ သည် အတိုင်းအတာ $nm$ ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) $\{v_{i}\}$ နှင့် $\{w_{j}\}$ တို့မှ $\{v_{i}\otimes w_{j}\}$ ကို ထိုတန်ဆာ မြှောက်လဒ်၏ အခြေအစုအဖြစ် ရရှိသည်။

မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများ (linear maps) $\varphi :V\to X$ နှင့် $\psi :W\to Y$ တို့သည်လည်း တန်ဆာ မြှောက်လဒ် $\varphi \otimes \psi$ အဖြစ် ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ ယင်းတို့ကို ကိန်းအုံများ (matrices) $A$ ($r\times n$) နှင့် $B$ ($s\times m$) ဖြင့် ကိုယ်စားပြုလျှင် $\varphi \otimes \psi$ ၏ ကိန်းအုံသည် $rs\times nm$ အတိုင်းအတာရှိသော ခရိုနက်ကာ မြှောက်လဒ် (Kronecker product) $A\otimes B$ ဖြစ်သည်။ ယင်း၏ $(i,j)$ ကြိမ်မြောက် အကွက်တိုင်းသည် $B$ ကို စကေလာ $a_{ij}$ ဖြင့် မြှောက်ထားခြင်းဖြစ်သည်။

တန်ဆာ၊ အချိုးညီ နှင့် ပြင်ပ အက္ခရာသင်္ချာများ (Tensor, Symmetric, and Exterior Algebras)

ဖလှယ်ရ ကွင်း $R$ ပေါ်ရှိ $M$ ကို မိမိကိုယ်တိုင်နှင့် ထပ်ကျော့နည်းဖြင့် (iteratively) တန်ဆာ မြှောက်ခြင်းဖြင့် မြင့်မားသော တည်ဆောက်ပုံများ ရရှိသည်။ ဥပမာ $M$ ၏ $k$ ကြိမ်မြောက် တန်ဆာ ထပ်ကိန်း (tensor power) ကို ${\mathcal {T}}^{k}(M)$ ဖြင့် ပြသည်။ ထိုတန်ဆာ ထပ်ကိန်းအားလုံးကို တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်ယူပါက တန်ဆာ အက္ခရာသင်္ချာ (tensor algebra) ${\mathcal {T}}(M)$ ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဖလှယ်၍မရသော စကြဝဠာ ပိုလီနိုမီရယ် အက္ခရာသင်္ချာအဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။

${\mathcal {T}}(M)$ အပေါ် ဆက်သွယ်ချက်များ ကန့်သတ်ခြင်းဖြင့် အခြားအက္ခရာသင်္ချာများ ဆင်းသက်ရရှိသည်။

• အချိုးညီ အက္ခရာသင်္ချာ (symmetric algebra) ${\mathcal {S}}(M)$ ကို $m_{1}\otimes m_{2}-m_{2}\otimes m_{1}$ မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော အိုင်ဒီးလ် (ideal) ဖြင့် စားလဒ်ရှာ၍ ဖွဲ့စည်းသည်။ အစုဝင်အားလုံးကို ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ ရှိစေသည်။ အတိုင်းအတာ $n$ ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်လျှင် ကိန်းရှင် $n$ ခုပါသော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) နှင့် ထပ်တူညီကာ အတိုင်းအတာကို ${\binom {k+n-1}{n-1}}$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။
• ပြင်ပ အက္ခရာသင်္ချာ (exterior algebra) $\bigwedge (M)$ ကို $m\otimes m$ ဖြင့် စားလဒ်ရှာ၍ ဖွဲ့စည်းကာ ဖလှယ်ရဆန့်ကျင်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိ (anticommutativity) ရှိစေသည်။ ဤနေရာတွင် $m_{1}\wedge m_{2}=-m_{2}\wedge m_{1}$ ဖြစ်သည်။ အတိုင်းအတာ $n$ ရှိသော ရပ်ဝန်းအတွက် အတိုင်းအတာမှာ ${\binom {n}{k}}$ ဖြစ်ပြီး $k>n$ အတွက်မူ သုညဖြစ်သည်။

ယင်းသည် အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုးများ သီအိုရီ (theory of determinants) နှင့် ဆက်စပ်နေသည်။ အတိုင်းအတာ $n$ ရှိ ရပ်ဝန်းအတွက် အမြင့်ဆုံး သုညမဟုတ်သော ပြင်ပထပ်ကိန်း $\bigwedge ^{n}(V)$ သည် အတိုင်းအတာ ၁ သာရှိသည်။ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) $\varphi :V\to V$ တိုင်းသည် ထိုရပ်ဝန်းပေါ်တွင် စကေလာတစ်ခုအဖြစ် လှုံ့ဆော်ပေးပြီး ထိုစကေလာသည် ၎င်း၏ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (determinant) ပင်ဖြစ်သည်။

ကိုးကား

• Dummit၊ David S.; Foote၊ Richard M. (2004)၊ Abstract Algebra (3rd ed.)၊ John Wiley & Sons