တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်

သင်္ချာဘာသာရပ်ရှိ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (direct sum) ဟူသော ဝေါဟာရသည် ပြင်ပ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (external direct sum) နှင့် အတွင်း တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (internal direct sum) တို့ကို ရည်ညွှန်းသည်။ အဆိုပါ အခြေအနေ နှစ်ခုစလုံးတွင် တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်ကို အော်ပရေတာ (operator) $\oplus$ ဖြင့် ရေးသားသည်။

ပြင်ပ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (External direct sum)

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် ပြင်ပ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်သည် အဘီလီယန်အုပ်စုများ (abelian groups)၊ မော်ဂျူးများ (modules) နှင့် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (vector spaces) ၏ ဒွန်တွဲမြှောက်လဒ် (coproduct) အတွက် စံကိုယ်စားပြုမှုကို ရည်ညွှန်းသည်။ ဤဒွန်တွဲမြှောက်လဒ်ကို ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) တွင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) တစ်ခုအထိသာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ၎င်းကို တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (direct product) ၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) သို့မဟုတ် မော်ဂျူးပိုင်း (submodule) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။

အဆိုပါ အုပ်စုပိုင်း သို့မဟုတ် မော်ဂျူးပိုင်းတွင် သုညမဟုတ်သော အစုဝင်များ အဆုံးရှိသော (finitely many) အရေအတွက်သာ ပါဝင်သည့် အစီအစဉ်များ (tuples) ပါဝင်သည်။ အဆုံးရှိသော အစိတ်အပိုင်း အရေအတွက်သာ ပါဝင်သည့် အခြေအနေတွင် ဤတည်ဆောက်ပုံသည် တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ်နှင့် ရှင်းလင်းစွာ ထပ်တူကျသည်။ ရိုးရှင်းလွယ်ကူစေရန်အတွက် အောက်ပါဖော်ပြချက်များတွင် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၏ အခြေအနေကိုသာ ရှင်းလင်းသွားမည်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ဤသဘောတရားသည် အဘီလီယန်အုပ်စုများ၏ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်နှင့် မော်ဂျူးများ၏ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်အတွက်လည်း အလားတူ အလုပ်လုပ်သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

$K$ သည် ဖီးလ်ဒ် (field) တစ်ခုဖြစ်ပြီး $\left(V_{i}\right)_{i\in I}$ သည် $K$-ဗက်တာရပ်ဝန်းများ မိသားစု (family) တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့နောက်

$\bigoplus _{i\in I}V_{i}:={\Big \{}\left(v_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}V_{i}\;{\Big |}\;{\text{for almost all }}i\in I,v_{i}=0{\Big \}}$

ကို $(V_{i})_{i\in I}$ မိသားစု၏ ပြင်ပ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်ဟု ခေါ်သည်။ ဤနေရာတွင် $\textstyle \prod _{i\in I}V_{i}$ သည် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၏ တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ ဤအစုသည် ဗက်တာပေါင်းခြင်း (vector addition) နှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) တို့ကို သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်ပေးသည်။

အဆုံးရှိသော အခြေအနေတွင် ဥပမာအားဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။

$V_{1}\oplus V_{2}=\left\{\left(v_{1},v_{2}\right)\mid v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2}\right\}=V_{1}\times V_{2}$

ထို့ကြောင့် တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်နှင့် တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ်တို့အကြား ကွဲပြားချက်သည် အနန္တ အညွှန်းအစုများအတွက်သာလျှင် လိုအပ်သည်။

ထို့အပြင် အဆုံးရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်းများစွာပါဝင်သော ထိုကဲ့သို့ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်အတွက် ပေါင်းလဒ်၏ အတိုင်းအတာ (dimension) သည် ၎င်း၏ ပေါင်းကိန်းများ (summands) ၏ အတိုင်းအတာများ ပေါင်းလဒ်နှင့် ညီမျှသည်။

အတွင်း တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (Internal direct sum)

ဗက်တာရပ်ဝန်း $V$ ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်းများ (subspaces) မိသားစု $(U_{i})_{i\in I}$ တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ အကယ်၍ $v\in V$ တိုင်းကို ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခုစီမှ အစုဝင် အများဆုံးတစ်ခုကိုသာ ရွေးချယ်၍ ရပ်ဝန်းပိုင်းများ၏ အဆုံးရှိ အစုဝင်များ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် အစီအစဉ်တစ်ခုအထိ တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) ဖော်ပြနိုင်လျှင် $V$ ကို $U_{i}$ များ၏ အတွင်း တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် $U_{i}$ များကို $V$ ၏ တိုက်ရိုက် ခွဲခြမ်းမှု (direct decomposition) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ ထိုသို့ရွေးချယ်ရာတွင် အဆုံးရှိသော ရွေးချယ်မှုများမှလွဲ၍ ကျန်ရွေးချယ်မှုများအားလုံးသည် သုညဗက်တာများ (zero vectors) ဖြစ်ရမည်ဟု ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း အတိအကျ ဆိုနိုင်သည်။

ဗက်တာ $v\in V$ တိုင်းအတွက် $i\in I$ အားလုံး၌ $u_{i}\in U_{i}$ ဖြစ်ပြီး အဆုံးရှိသော $u_{i}$ များအတွက်သာလျှင် $u_{i}\neq 0$ ဖြစ်သည့် ဗက်တာများ မိသားစု $(u_{i})_{i\in I}$ တစ်ခုတည်းသာ တိကျစွာ တည်ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ဤတည်ရှိမှုသည် $v=\sum _{i\in I}u_{i}$ ဖြစ်စေရန်ဖြစ်သည်။

ပြင်ပပေါင်းလဒ်ကဲ့သို့ပင် အတွင်းပေါင်းလဒ်ကိုလည်း အောက်ပါအတိုင်း သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။

$V=\bigoplus _{i\in I}U_{i}$

သို့မဟုတ် အဆုံးရှိသော အခြေအနေအတွက် $V=U_{1}\oplus \dotsb \oplus U_{n}$ ဟု ဖော်ပြသည်။

ရပ်ဝန်းပိုင်းများ မိသားစုတစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ် $V=\sum _{i\in I}U_{i}$ သည် $j\in I$ အားလုံးအတွက် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ပြည့်စုံမှသာလျှင် တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် ဖြစ်မည်။

$U_{j}\cap \sum _{i\in I\setminus \{j\}}U_{i}=\{0\}$

ဆိုလိုသည်မှာ $U_{j}$ တစ်ခုစီအတွက် ကျန်ရှိသော ရပ်ဝန်းပိုင်းများ၏ ပေါင်းလဒ်နှင့် ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) တွင် သုညဗက်တာ တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်ရမည်ဖြစ်သည်။

$U_{1}\oplus U_{2}=V$ ဟူသော အထူးအခြေအနေတွင် $U_{1}$ နှင့် $U_{2}$ တို့ကို အချင်းချင်း အပြန်အလှန်ဖြည့်စွက်ပေးသည် (complementary) ဟု ခေါ်သည်။ ဤနေရာတွင်

$U_{1}\oplus U_{2}=V\Leftrightarrow (U_{1}+U_{2}=V)\land (U_{1}\cap U_{2}=\{0\})$ ဖြစ်သည်။

ဗက်တာရပ်ဝန်း $V$ ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း $U_{1}\subset V$ တစ်ခုအတွက် $U_{1}$ ကို ဖြည့်စွက်ပေးသော ရပ်ဝန်းပိုင်း $U_{2}$ တစ်ခု တည်ရှိနေပါက အဆိုပါ $U_{1}$ ကို $V$ ၏ တိုက်ရိုက် ပေါင်းကိန်း (direct summand) ဟု ခေါ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $U_{1}\oplus U_{2}=V$ အခြေအနေ မှန်ကန်ခြင်းဖြစ်သည်။

ဆက်စပ်မှု (Relationship)

ရပ်ဝန်းပိုင်းများ၏ ပြင်ပပေါင်းလဒ်ကို အမြဲတမ်း ဖွဲ့စည်းနိုင်သော်လည်း ရပ်ဝန်းပိုင်းများ၏ အတွင်းပေါင်းလဒ်သည် အများအားဖြင့် တိုက်ရိုက် မဖြစ်တတ်ပါ။

အတွင်းပေါင်းလဒ်နှင့် ပြင်ပပေါင်းလဒ်တို့အကြား ဆက်စပ်မှုကို အောက်ပါအတိုင်း တည်ဆောက်နိုင်သည်။

$j\in I$ တစ်ခုစီအတွက် ပြင်ပ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်အတွင်းသို့ ထည့်သွင်းခြင်း (embedding) $f_{j}\colon V_{j}\longrightarrow \bigoplus _{i\in I}V_{i}$ ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။ ၎င်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

$i=j$ အတွက် $f_{j}(x)=(v_{i})_{i\in I},v_{i}=x$ ဖြစ်ပြီး $i\neq j$ အတွက် $v_{i}=0$ ဖြစ်သည်။

ထို့နောက် ဤပုံဖော်မှုများ (mappings) မှ ပုံရိပ်များ (images) ၏ အတွင်း တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်သည် ပြင်ပ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်ကို ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်ပေးသည်။

ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများ၏ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် (Direct sum of representations)

$\textstyle (\rho _{1},V_{\rho _{1}}),(\rho _{2},V_{\rho _{2}})$ တို့သည် အသီးသီး $\textstyle G_{1}$ နှင့် $\textstyle G_{2},$ တို့၏ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများ (representations) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများ၏ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

$\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}}\oplus V_{\rho _{2}})$

ဤနေရာတွင် $(s_{1},s_{2})\in G_{1}\times G_{2}$ အားလုံးနှင့် $v_{1}\in V_{\rho _{1}},v_{2}\in V_{\rho _{2}}$ အားလုံးအတွက် $\textstyle (\rho _{1}\oplus \rho _{2})(s_{1},s_{2})(v_{1},v_{2}):=(\rho _{1}(s_{1})v_{1},\rho _{2}(s_{2})v_{2})$ ဖြစ်သည်။

ဤနည်းအားဖြင့် $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}$ သည် မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (linear representation) တစ်ခုအဖြစ် တစ်ဖန် ပြန်လည်ဖြစ်ပေါ်လာသည်။ အကယ်၍ $\textstyle \rho _{1},\rho _{2}$ တို့သည် အုပ်စု (group) $\textstyle G$ တစ်ခုတည်း၏ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများ ဖြစ်နေပါက ရိုးရှင်းလွယ်ကူစေရန် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများ၏ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်ကိုလည်း $\textstyle G$ ၏ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု တစ်ခုအနေဖြင့် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ $\textstyle G$ ကို $\textstyle G\times G$ ၏ ဒိုင်ယာဂွန်နယ် အုပ်စုပိုင်း (diagonal subgroup) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခြင်းအားဖြင့် $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}\colon G\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}}\oplus V_{\rho _{2}})$ ဟု ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။

ဥပမာ $\textstyle \rho _{1}\colon \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြထားသော မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။

$\rho _{1}({\overline {1}})=\left({\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\end{array}}\right)$

ထို့အပြင် $\textstyle \rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ ကိုလည်း အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည့် မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုအဖြစ် သတ်မှတ်မည်။

$\rho _{2}({\overline {1}})=\left({\begin{array}{ccc}1&0&e^{\frac {2\pi i}{3}}\\0&e^{\frac {2\pi i}{3}}&0\\0&0&e^{\frac {4\pi i}{3}}\end{array}}\right)$

ထိုအခါ $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}$ သည် $\textstyle \mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}=\mathbb {C} ^{5}$ အတွင်းရှိ $\textstyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ ၏ မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ၎င်းသည် $k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ အတွက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။

$(\rho _{1}\oplus \rho _{2})(k,l)=\left({\begin{array}{cc}\rho _{1}(k)&0\\0&\rho _{2}(l)\end{array}}\right)$

အုပ်စု၏ ထုတ်လုပ်ကိန်း (generator) ၏ ပုံရိပ်ကို ဖော်ပြရုံဖြင့် လုံလောက်သောကြောင့် $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}\colon \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{5}(\mathbb {C} )$ ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားကြောင်း တွေ့ရသည်။

$(\rho _{1}\oplus \rho _{2})({\overline {1}},{\overline {1}})=\left({\begin{array}{ccccc}0&-i&0&0&0\\i&0&0&0&0\\0&0&1&0&e^{\frac {2\pi i}{3}}\\0&0&0&e^{\frac {2\pi i}{3}}&0\\0&0&0&0&e^{\frac {4\pi i}{3}}\end{array}}\right)$

ကိုးကားများ

• Fischer၊ Gerd (2003)၊ Lineare Algebra (14th ed.)၊ Wiesbaden: Vieweg၊ ISBN 978-3-528-03217-3