ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း

သင်္ချာပညာတွင် ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ် (algebraic number field) $K$ တစ်ခု၏ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း (ring of integers) သို့မဟုတ် ကိန်းကွင်း (number ring)^[၁] သည် $K$ ၌ ပါဝင်သော ကိန်းပြည့်ရင်း (algebraic integer) များအားလုံး၏ ကွင်း (ring) ဖြစ်သည်။^[၂] ကိန်းပြည့်ရင်းတစ်ခုသည် $x^{m} + c_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + c_{0}$ ဟူသော ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များပါရှိသည့် မိုးနစ် ပိုလီနိုမီရယ် (monic polynomial) တစ်ခု၏ ကိန်းရင်း (root) ဖြစ်သည်။^[၃] ၎င်းကို $O_{K}$ သို့မဟုတ် $𝒪_{K}$ ဖြင့် သင်္ကေတပြုလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် ကွင်း $ℤ$ အား ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုအနေဖြင့် အမြဲတမ်း ငုံထားသည်။

$ℤ$ သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (field of rational numbers) $ℚ$ ၏ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း ဖြစ်ပြီး ယင်းကို $ℤ = 𝒪_{ℚ}$ ဟု ဖော်ပြသည်။ ၎င်း၏ အစုဝင် (element) များကို အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီ (algebraic number theory) ၌ ရာရှင်နယ် ကိန်းပြည့်များ (rational integers) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဖီးလ်ဒ်ကို တိကျစွာ မဖော်ပြဘဲ "ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း" ဟု ဆိုရာတွင် ထိုကွင်းများအားလုံးအတွက် ရှေ့ပြေးနမူနာ အရာဝတ္ထု (object) ဖြစ်သော သာမန် ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း $ℤ$ ကို ရည်ညွှန်းသည်။ ဤအချက်သည် သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ရှိ ကိန်းပြည့် ဟူသော စကားလုံး၏ အဓိပ္ပာယ် ဝေခွဲမရဖြစ်မှု၏ အကျိုးဆက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။^[၄] ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့် (Gaussian integer) များ $ℤ [i]$ သည် ဂေါက်ရှန်း ရာရှင်နယ်ကိန်း (Gaussian rational) များ $ℚ (i)$ ၏ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ထို့ပြင် ၎င်းတို့သည် ရာရှင်နယ် ကိန်းပြည့်များကဲ့သို့ပင် ယူကလစ် ဒိုမိန်း (Euclidean domain) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။

ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု၏ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းသည် ထိုဖီးလ်ဒ်အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အကြီးဆုံး အစဉ် (maximal order) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အမြဲတမ်း ဒက်ဒီကင်း ဒိုမိန်း (Dedekind domain) တစ်ခု ဖြစ်သည်။^[၅]

ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties)

ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း $𝒪_{K}$ သည် $ℚ$ အပေါ်ရှိ $K$ ၏ ဒီဂရီ (degree) နှင့် ညီမျှသော အဆင့် (rank) $n$ ရှိသည့် လွတ်လပ်သော $ℤ$ -မော်ဂျူး (free $ℤ$ -module) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အခြေအစု (integral basis) တစ်ခု ပါရှိသည်။ ၎င်းမှာ $ℚ$ -ဗက်တာရပ်ဝန်း ( $ℚ$ -vector space) $K$ ၏ အခြေအစု (basis) $b_{1}, \dots, b_{n} \in 𝒪_{K}$ ဖြစ်ပြီး မည်သည့် $x \in 𝒪_{K}$ ကိုမဆို အောက်ပါအတိုင်း တစ်ခုတည်းသီးသန့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။

x = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}

ဤနေရာတွင် $a_{i} \in ℤ$ ဖြစ်သည်။^[၆]

ဥပမာများ (Examples)

တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ကိရိယာ (Computational tool)

ခွဲခြားကိန်း (discriminant) ကို $K$ ထဲရှိ $ℤ$ ၏ ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အပိတ် (integral closure) ဖြစ်သော $𝒪_{K}$ အား တွက်ချက်ရန် အသုံးပြုသည်။ ခွဲခြားကိန်း $d = Δ_{K / ℚ} (α_{1}, \dots, α_{n})$ ပါရှိသည့် $ℚ$ အပေါ်ရှိ $K$ ၏ အခြေအစု $α_{1}, \dots, α_{n} \in 𝒪_{K}$ တစ်ခုအတွက် $𝒪_{K}$ သည် $α_{1} / d, \dots, α_{n} / d$ ဖြင့် စပန် (span) ဖွဲ့စည်းထားသော $ℤ$ -မော်ဂျူး၏ မော်ဂျူးပိုင်း (submodule) တစ်ခု ဖြစ်သည်။^[၇] အကယ်၍ $d$ သည် နှစ်ထပ်ကိန်းကင်းစင်သော ကိန်းပြည့် (square-free integer) ဖြစ်ပါက $α_{1}, \dots, α_{n}$ တို့သည် $𝒪_{K}$ အတွက် ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အခြေအစုတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။^[၈]

ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် တိုးချဲ့ချက်များ (Cyclotomic extensions)

သုဒ္ဓကိန်း (prime) $p$ ၊ ပရစ်မစ်တစ် $p$ ကြိမ်မြောက် ယူနစ်ရင်း (primitive $p$ th root of unity) $ζ$ နှင့် သက်ဆိုင်ရာ ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ် (cyclotomic field) $K = ℚ (ζ)$ တို့အတွက် $𝒪_{K} = ℤ [ζ]$ ၏ ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အခြေအစုတစ်ခုမှာ $(1, ζ, ζ^{2}, \dots, ζ^{p - 2})$ ဖြစ်သည်။^[၉]

နှစ်ထပ်ကိန်း တိုးချဲ့ချက်များ (Quadratic extensions)

နှစ်ထပ်ကိန်းကင်းစင်သော ကိန်းပြည့် $d \neq 1$ နှင့် နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ် (quadratic field) $K = ℚ (\sqrt{d})$ တို့အတွက် $𝒪_{K}$ သည် နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ကိန်းပြည့်များ (quadratic integers) ၏ ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ $d \equiv 1 (\mod 4)$ ဖြစ်လျှင် ၎င်း၏ ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အခြေအစုမှာ $(1, \frac{1 + \sqrt{d}}{2})$ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ $d \equiv 2, 3 (\mod 4)$ ဖြစ်လျှင် ၎င်း၏ အခြေအစုမှာ $(1, \sqrt{d})$ ဖြစ်သည်။^[၁၀] ယင်းသည် $ℚ (\sqrt{d})$ ထဲရှိ အစုဝင်များဖြစ်သော $a + b \sqrt{d}$ တို့၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ် (minimal polynomial) မှ ဆင်းသက်လာသည်။

မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံ (Multiplicative structure)

$𝒪_{K}$ ထဲရှိ သုညမဟုတ်သော ယူနစ်မဟုတ်သည့် အစုဝင် (nonzero nonunit) တိုင်းသည် ဆမခွဲနိုင်သော အစုဝင်များ (irreducible elements) အဖြစ် ဆခွဲကိန်းခွဲ၍ ရနိုင်သော်လည်း ယင်းကွင်းတွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique factorization) ကင်းမဲ့နေနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $ℤ [\sqrt{- 5}]$ တွင် အောက်ပါအတိုင်း တွေ့ရသည်။^[၁၁]^[၁၂]

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{- 5}) (1 - \sqrt{- 5})

ဒက်ဒီကင်း ဒိုမိန်းတစ်ခုဖြစ်သည့်အတွက် $𝒪_{K}$ သည် သုညမဟုတ်သော အိုင်ဒီးလ်များ (nonzero ideals) မှ သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ (prime ideals) ဆီသို့ တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်းကို အမြဲတမ်း လက်ခံပေးသည်။^[၁၃]

ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ ယူနစ် သီအိုရမ် (Dirichlet's unit theorem) အရ $𝒪_{K}$ ၏ ယူနစ်များသည် အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ အဘီလီယန်အုပ်စု (finitely generated abelian group) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်း၏ အလိမ် အုပ်စုပိုင်း (torsion subgroup) တွင် $K$ ၏ ယူနစ်ရင်းများ (roots of unity) ပါဝင်သည်။ ထို့ပြင် အလိမ်ကင်းစင်သော ထုတ်လုပ်ကိန်းများ (torsion-free generators) အစုတစ်ခုသည် အခြေခံ ယူနစ်များ (fundamental units) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။^[၁၄]

ယေဘုယျပြုထားခြင်း (Generalization)

အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်သော ဒေသအလိုက် ဖီးလ်ဒ် (non-archimedean local field) $F$ တစ်ခု၏ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းသည် ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) $\leq 1$ ရှိသော အစုဝင်များ၏ အစု ဖြစ်ပြီး အားကောင်းသော တြိဂံ မညီမျှခြင်း (strong triangle inequality) မှတစ်ဆင့် ကွင်းတစ်ခုအဖြစ် ဖွဲ့စည်းထားသည်။^[၁၅] ဥပမာအားဖြင့် $p$ -အခြေခံကိန်းပြည့်များ (p-adic integers) $ℤ_{p}$ သည် $p$ -အခြေခံကိန်းများ (p-adic numbers) $ℚ_{p}$ ၏ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းကို ဖွဲ့စည်းသည်။ အကယ်၍ $F$ သည် ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု၏ အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်သော ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) တစ်ခု ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းသည် ထိုဖီးလ်ဒ်ရှိ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းကို ပြည့်စုံစေခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ အကျိုးဆက်အနေဖြင့် $𝒪_{K}$ တွင် $K$ ၏ အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်သော ပြည့်စုံစေခြင်းတိုင်း၌ ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော အစုဝင်များ တိကျစွာ ပါဝင်သည်။^[၁၆]

ကိုးကား (References)

Alaca၊ Saban; Williams၊ Kenneth S. (2004)၊ Introductory Algebraic Number Theory၊ Cambridge: Cambridge University Press၊ doi:10.1017/CBO9780511791260၊ ISBN 978-0-511-79126-0၊ MR 2031707၊ Zbl 1035.11001
Artin၊ Michael (2011)၊ Algebra (2nd ed.)၊ Boston: Prentice Hall၊ ISBN 978-0-13-241377-0
Baker၊ Matthew (2007)၊ Algebraic Number Theory (PDF)၊ Georgia Institute of Technology၊ 6 May 2021 တွင် မူရင်း (PDF) အား မော်ကွန်းတင်ပြီး၊ 15 September 2026 တွင် ပြန်စစ်ပြီး
Cassels၊ J. W. S. (1986)၊ Local Fields၊ London Mathematical Society Student Texts၊ 3၊ Cambridge: Cambridge University Press၊ ISBN 0-521-31525-5၊ Zbl 0595.12006
Marcus၊ Daniel A. (2018)၊ Number Fields၊ Universitext၊ typeset by Emanuele Sacco (2nd ed.)၊ Cham: Springer၊ doi:10.1007/978-3-319-90233-3၊ ISBN 978-3-319-90232-6
Neukirch၊ Jürgen (1999)၊ Algebraic Number Theory၊ Grundlehren der mathematischen Wissenschaften၊ 322၊ Berlin: Springer-Verlag၊ ISBN 978-3-540-65399-8၊ MR 1697859၊ Zbl 0956.11021
Samuel၊ Pierre (1972)၊ Algebraic Theory of Numbers၊ Paris: Hermann

↑ Marcus (2018)
↑ Alaca & Williams (2004), Defs. 6.1.2–3, p. 110.
↑ Alaca & Williams (2004), Defs. 4.1.1–2, p. 74.
↑ Cassels (1986), p. 192.
↑ Samuel (1972), p. 49.
↑ Cassels (1986), p. 193.
↑ Baker (2007), p. 33.
↑ Baker (2007), p. 35.
↑ Samuel (1972), p. 43.
↑ Samuel (1972), p. 35.
↑ Samuel (1972), p. 49.
↑ Artin (2011), p. 360.
↑ Samuel (1972), p. 50.
↑ Samuel (1972), pp. 59–62.
↑ Cassels (1986), p. 41.
↑ Cassels (1986), p. 192.

[1] Marcus (2018)

[2] Alaca & Williams (2004), Defs. 6.1.2–3, p. 110.

[3] Alaca & Williams (2004), Defs. 4.1.1–2, p. 74.

[4] Cassels (1986), p. 192.

[5] Samuel (1972), p. 49.

[6] Cassels (1986), p. 193.

[7] Baker (2007), p. 33.

[8] Baker (2007), p. 35.

[9] Samuel (1972), p. 43.

[10] Samuel (1972), p. 35.

[11] Samuel (1972), p. 49.

[12] Artin (2011), p. 360.

[13] Samuel (1972), p. 50.

[14] Samuel (1972), pp. 59–62.

[15] Cassels (1986), p. 41.

[16] Cassels (1986), p. 192.

[၁]

[၂]

[၃]

[၄]

[၅]

[၆]

[၇]

[၈]

[၉]

[၁၀]

[၁၁]

[၁၂]

[၁၃]

[၁၄]

[၁၅]

[၁၆]