ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ

သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ (Abstract algebra) သို့မဟုတ် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (modern algebra) သည် အုပ်စုများ (groups)၊ ကွင်းများ (rings)၊ နှင့် ဖီးလ်ဒ်များ (fields) ကဲ့သို့သော သရုပ်မဲ့ သင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract mathematical structures) ကို လေ့လာခြင်းအပေါ် အဓိကထားသည့် ကျယ်ပြန့်ပြီး အခြေခံကျသော သင်္ချာပညာရပ်ခွဲတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အခြေခံတွက်ချက်မှုအတွက် ပုံမှန်ကိန်းဂဏန်းပမာဏများကို ကိုယ်စားပြုရန် ကိန်းရှင်များ (variables) ကို အသုံးပြုသော အခြေခံအက္ခရာသင်္ချာ (elementary algebra) နှင့် မတူဘဲ ဤသရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာသည် ၎င်းသဘောတရားများကို နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) အရေအတွက် အနည်းငယ်ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘောတရားရေးရာ အစုများ (theoretical sets) အဖြစ်သို့ ယေဘုယျပြုထားသည်။ ထိုအရာဝတ္ထုများကို အုပ်စုပိုင်းများ (subgroups)၊ အိုင်ဒီးလ်များ (ideals)၊ နှင့် ဖီးလ်ဒ်ပိုင်းများ (subfields) ကဲ့သို့သော တည်ဆောက်ပုံပိုင်းများမှ တည်ဆောက်ထားသည်။

သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ၏ အဓိကရည်ရွယ်ချက်မှာ ပြည့်စုံသော သီအိုရီများကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများ (mathematical objects) ၏ အခြေခံ တည်ဆောက်ပုံကို နားလည်ရန် ဖြစ်သည်။ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်၍ ယေဘုယျအချက်တစ်ခုကို သက်သေပြပြီးသည်နှင့်တစ်ပြိုင်နက် ၎င်းကို ထိုတည်ဆောက်ပုံ၏ ဖြစ်စဉ်များအားလုံးတွင် အသုံးချနိုင်သည်။ ထိုသို့ဖြင့် သင်္ချာပညာရှင်များသည် ကွဲပြားခြားနားသည်ဟု ထင်ရသော အခြေအနေများကြားတွင် နက်နဲသော ဆင်တူညီမှုများကို သိရှိနားလည်နိုင်စေသည်။ ဤပညာရပ်သည် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (group homomorphisms) နှင့် ကွင်း အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (ring automorphisms) အပါအဝင် ဤအရာဝတ္ထုများကြားရှိ ပုံဖော်မှုများ (mappings) ကို အထူးပြုလေ့လာသည်။

သမိုင်းကြောင်း (History)

တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာသို့ ကူးပြောင်းခြင်း (Transition to Structural Algebra)

ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်မှုသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ၏ ကိန်းရင်းများကို ရှာဖွေရန် အစောပိုင်း ကြိုးပမ်းမှုများမှ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဂျိုးဆက် လူဝီ လာဂေါင့် (Joseph Louis Lagrange) သည် ယခုအခါ လာဂေါင့်၏ သီအိုရမ် (Lagrange's theorem) ဟု သိကြသည့် အရေးပါသော အစောပိုင်း အခြေအနေတစ်ခုကို ဖော်ပြခဲ့သည်။ ၎င်းမှာ အဆုံးရှိအုပ်စု (finite group) တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်းတစ်ခု၏ အစီအစဉ် (order) သည် ထိုအုပ်စုကိုယ်တိုင်၏ အစီအစဉ်ကို စား၍ပြတ်သည် ဟူ၍ မှတ်သားထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ကိန်းရင်းများသည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု ဖန်ရှင်များ (functions) အဖြစ် ဖလှယ်၍ရသည် (commute) ဟုဆိုသော ညီမျှခြင်းများကို အရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရကြောင်း နီးလ်စ် ဟင်နရစ် အာဘဲလ် (Niels Henrik Abel) က သက်သေပြခဲ့သည်။ ၎င်းကို ဂုဏ်ပြုသောအားဖြင့် အဘီလီယန် (Abelian) ဟူသော ဝေါဟာရကို ဖလှယ်ရအုပ်စုများ (commutative groups) တွင် အသုံးပြုသည်။ ဒီဂရီ (degree) $5$ သို့မဟုတ် ၎င်းထက်မြင့်သော ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများအတွက် ယေဘုယျ အရင်း ပုံသေနည်း (radical formula) မရှိကြောင်းကိုလည်း အာဘဲလ် က သက်သေပြခဲ့သည်။

၁၈၃၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် မူမှန်အုပ်စုပိုင်းများ (normal subgroups)၊ ဖက်တာအုပ်စုများ (factor groups)၊ နှင့် ဖြေရှင်းရ အုပ်စုများ (solvable groups) အပါအဝင် အခြေခံ သဘောတရားများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် (irreducible polynomial) တစ်ခု၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) သည် ၎င်း၏ ကိန်းရင်းများကို ကူးပြောင်းနိုင်စွာ (transitively) ပါမြူတေးရှင်း (permutations) ပြုလုပ်ကြောင်း သူက ပြသခဲ့သည်။ ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခုတွင် အရင်း ပုံသေနည်းတစ်ခု ရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်းနှင့်ဆက်စပ်နေသော ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုသည် ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (soluble) ရှိနေခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ကာမိုင်း ဂျော်ဒန် (Camille Jordan) သည် ဂယ်လ်ဝါ ၏ အယူအဆများကို ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စုများ (permutation groups) နှင့်ပတ်သက်သည့် သူ၏ ကိုယ်ပိုင် ရလဒ်များနှင့် ပေါင်းစပ်၍ အရေးပါသော အက္ခရာသင်္ချာ ကျမ်းတစ်စောင်အဖြစ် ပြုစုခဲ့သည်။

နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (Axiomatization and Modern Algebra)

ကိန်းသီအိုရီ (number theory) တွင် အပြန်အလှန်ဆိုင်ရာ နိယာမများ (reciprocity laws) ကို ယေဘုယျပြုရန်နှင့် ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat's Last Theorem) ကို သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုများသည် ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များ (Gaussian integers) ကဲ့သို့သော အက္ခရာသင်္ချာ စနစ်သစ်များကို ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်။ အချို့သော ကွင်းများတွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique factorization) မအောင်မြင်သောအခါ အန်းစ် ကူးမား (Ernst Kummer) သည် ၎င်းကို ပြန်လည်ရရှိစေရန် အိုင်ဒီးလ် (ideal) ဟူသော သဘောတရားကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ဤကိန်းသီအိုရီဆိုင်ရာ ပြဿနာများကို နဂိုမှန်အဆိုနည်းကျ (axiomatically) နှင့် အစုသီအိုရီ (set theory) နည်းကျ ပြန်လည်သတ်မှတ်စဉ်းစားခဲ့ပြီး ဖီးလ်ဒ်၊ ကွင်း၊ အိုင်ဒီးလ်၊ နှင့် မော်ဂျူး (module) တို့၏ အခြေခံ သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများကို ပုံစံတကျ ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ သူသည် စားလဒ် တည်ဆောက်ပုံများ (quotient structures)၊ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ (isomorphisms)၊ နှင့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homomorphisms) ကို စနစ်တကျ အသုံးပြုခြင်းကိုလည်း စတင်ခဲ့သည်။ လီယိုပို ကရိုနက်ကာ (Leopold Kronecker) သည် ဆမခွဲနိုင်သော ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို မော်ဂျူလို (modulo) ယူ၍ ပိုလီနိုမီရယ်များဖြင့် တွက်ချက်သည့် နည်းလမ်းကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။

တစ်ချိန်တည်းမှာပင် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် တွက်ချက်မှုများဆိုင်ရာ ကဲကုလပ် (calculus) ကို အသုံးပြု၍ ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စုများကို ယေဘုယျပြုခဲ့ပြီး အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ကို ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) နှင့် ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ဝီလီယံ ရိုဝမ် ဟာမီတန် (William Rowan Hamilton) ၏ ဖလှယ်၍မရသော ကွာတာနီယွန်များ (non-commutative quaternions) ကဲ့သို့ အစောပိုင်း ဂဏန်းသင်္ချာ စည်းမျဉ်းများကို ဖီဆန်သည့် စနစ်များ ရှာဖွေတွေ့ရှိခြင်းက လွတ်လပ်သော အက္ခရာသင်္ချာများ၏ သီအိုရီကို အားပေးလှုံ့ဆော်ခဲ့သည်။

ဟိုင်းနရစ် ဗေဘာ (Heinrich Weber) သည် ၁၈၉၃ ခုနှစ်တွင် အုပ်စုများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များအတွက် ပထမဆုံးသော သရုပ်မဲ့ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (abstract definitions) ကို ပံ့ပိုးပေးခြင်းဖြင့် အစောပိုင်း အက္ခရာသင်္ချာ လုပ်ငန်းများကို စနစ်တကျ စုစည်းခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ် (Ernst Steinitz) သည် ၁၉၁၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဖီးလ်ဒ်များ၏ သရုပ်မဲ့ သီအိုရီအတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို တည်ထောင်ခဲ့ပြီး အေဘရာဟမ် ဖရန်ကယ် (Abraham Fraenkel) က ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် သရုပ်မဲ့ ကွင်းများအတွက် အခြေခံကို ချမှတ်ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ၏ ဖန်တီးရှင်တစ်ဦးအဖြစ် ယူဆခံရသော အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစုဝင်များအပေါ် တွက်ချက်မှုများမှ စနစ်တစ်ခုလုံးကို အချင်းချင်း ဆက်စပ်ပေးခြင်းဆီသို့ အာရုံစိုက်မှုကို ပြောင်းလဲစေသော တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်မှုကို တီထွင်ခဲ့သည်။ သီအိုရမ်များကို သက်သေပြခြင်းအတွက် အခြေခံကိရိယာများအဖြစ် အစုဝင်များကြားရှိ ညီမျှခြင်းများ နေရာတွင် အိုင်ဒီးလ်များနှင့် တည်ဆောက်ပုံကို ထိန်းသိမ်းထားသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မည်သို့ အစားထိုးနိုင်ကြောင်း သူမက ပြသခဲ့သည်။ သူမ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ စတိုင်ကို ဘာတယ် ဗန် ဒယ် ဗာဒန် (Bartel van der Waerden) ၏ ၁၉၃၀ ပြည့်နှစ်တွင် ထုတ်ဝေသော မိုဒါနဲ အယ်လ်ဂျီဘရာ (Moderne Algebra) ပြဋ္ဌာန်းစာအုပ်တွင် ခိုင်မာစွာ စုစည်းရေးသားခဲ့ပြီး ၎င်းက ဤခေတ်သစ် ပညာရပ်ကို သင်္ချာပညာရပ်တစ်ခွင်လုံးသို့ ပျံ့နှံ့သွားစေခဲ့သည်။ အခြား အဓိကကျသော တိုးချဲ့မှုများတွင် ဆိုဖပ်စ် လီ (Sophus Lie) ၏ လီအုပ်စုများ (Lie groups) ဟုသိကြသော အဆက်မပြတ် အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (continuous transformation groups) ကို လေ့လာခြင်း၊ အေလီ ဂျိုးဇက် ကာတန် (Élie Joseph Cartan) ၏ ရိုးရှင်းသော လီအက္ခရာသင်္ချာများ (simple Lie algebras) ကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း၊ နှင့် ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) ၏ အုပ်စု စရိုက်လက္ခဏာ ဖန်ရှင်များ (group characters) ကို တီထွင်ခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။

အခြေခံကျသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (Fundamental Algebraic Structures)

သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ ပညာရပ်သည် အရာဝတ္ထုများကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို အနီးကပ် လေ့လာစစ်ဆေးပြီး အထူးသဖြင့် တည်ဆောက်ပုံကို ထိန်းသိမ်းထားသော မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) ကို လေ့လာသည်။ ဥပမာအားဖြင့် မည်သည့်အုပ်စုကိုမဆို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ (category) တစ်ခုအဖြစ် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ယင်းတွင် အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် လုပ်ဆောင်ပြီး မြှောက်ခြင်း (multiplication) က ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို သတ်မှတ်ပေးသည်။

အုပ်စုများ (Groups)

အုပ်စုတစ်ခုသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity)၊ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) တစ်ခု၊ နှင့် ပြောင်းပြန် အစုဝင်များ (inverse elements) တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော အခြေခံ တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် အုပ်စုများကြားရှိ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံ (multiplicative structure) ကို ထိန်းသိမ်းထားသည်။

• အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများ (Finite Simple Groups): အဆုံးရှိအုပ်စုတစ်ခု၏ တစ်ခုတည်းသော မူမှန်အုပ်စုပိုင်းများသည် ထပ်တူရ အုပ်စုပိုင်း (identity subgroup) နှင့် ထိုအုပ်စုကိုယ်တိုင်သာ ဖြစ်နေပါက ယင်းအုပ်စုကို ရိုးရှင်းသည် ဟု သတ်မှတ်သည်။ အဆုံးရှိအုပ်စုတိုင်းကို ရိုးရှင်းအုပ်စုများ (simple groups) မှ တည်ဆောက်ထားသည်။ ၎င်းသည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များ (positive integers) ကို သုဒ္ဓကိန်းများ (prime numbers) ၏ မြှောက်လဒ်များအဖြစ် တည်ဆောက်ထားပုံနှင့် ဆင်တူစွာ လုပ်ဆောင်သည်။ အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (classification of finite simple groups) အရ ၎င်းတို့သည် သုဒ္ဓကိန်း အစဉ် (prime order) ရှိသော ဆိုက်ကလစ်အုပ်စုများ (cyclic groups)၊ အလှည့်ကျ အုပ်စုများ (alternating groups)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie type) အုပ်စုများ၊ သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) နှစ်ဆယ့်ခြောက်ခုထဲမှ တစ်ခုဟူ၍ ကတ်တဂိုရီများထဲသို့ ကျရောက်ကြောင်း အတည်ပြုထားသည်။
• ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုများ (Galois Groups): ရာရှင်နယ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (rational coefficients) ပါရှိသော ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် (polynomial function) တစ်ခု၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုသည် ၎င်း၏ ကိန်းရင်းအားလုံးပါ ဖီးလ်ဒ် (splitting field) ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) အားလုံး ပါဝင်သော အုပ်စု ဖြစ်သည်။ ၎င်း ကိန်းရင်းအားလုံးပါ ဖီးလ်ဒ်သည် ပေးထားသော ပိုလီနိုမီရယ်၏ ကိန်းရင်းများ အားလုံးနှင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (rational numbers) အားလုံး ပါဝင်သည့် အငယ်ဆုံး ဖီးလ်ဒ် ဖြစ်သည်။
• မျဉ်းဖြောင့်နှင့် ကျစ်ဆံမြီး အုပ်စုများ (Linear and Braid Groups): မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စုများ (linear groups) တွင် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံများ (invertible matrices) ကဲ့သို့ ပြုမူသည့် အစုဝင်များ ပါဝင်သည်။ ကျစ်ဆံမြီး အုပ်စုများ (braid groups) သည် မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စုများနှင့် နီးကပ်စွာ ဆက်စပ်နေသော ဆက်သွယ်ချက်များကို ပိုင်ဆိုင်ထားသည်။

ကွင်းများ နှင့် ဖီးလ်ဒ်များ (Rings and Fields)

• ကွင်းများ (Rings): ကွင်းများသည် ပေါင်းခြင်း (addition)၊ နုတ်ခြင်း (subtraction)၊ နှင့် မြှောက်ခြင်းတို့အောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closed) ရှိသည်။ ကိန်းထွေးများ၏ အငယ်ဆုံးသော ကွင်းမှာ ရိုးရိုး ကိန်းပြည့်များ (integers) ၏ ကွင်း ဖြစ်သည်။ အိုင်ဒီးလ် သည် ပေါင်းခြင်း၊ နုတ်ခြင်း၊ နှင့် မည်သည့် ကွင်းအစုဝင်ဖြင့်မဆို မြှောက်ခြင်းတို့အောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိရှိသော ကွင်းတစ်ခု၏ အစုပိုင်း (subset) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အိုင်ဒီးလ် အတန်းအစား အုပ်စု (ideal class group) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) တစ်ခု၏ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း (ring of integers) အတွင်း တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း ဂုဏ်သတ္တိ (unique-factorization property) မည်မျှဆိုးရွားစွာ ပျက်ကွက်ကြောင်းကို တိုင်းတာပေးသည်။ အကယ်၍ အိုင်ဒီးလ်တိုင်းသည် ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် (principal ideal) တစ်ခု ဖြစ်နေပါက တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း ဂုဏ်သတ္တိသည် မှန်ကန်သည်။
• ဖီးလ်ဒ်များ (Fields): ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုသည် သုညမဟုတ်သော အစုဝင်များ (nonzero elements) ဖြင့် စားခြင်း (division) အောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိရှိခြင်းဟူသော ထပ်လောင်းဂုဏ်သတ္တိကို ပိုင်ဆိုင်သည့် ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကိန်း ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုသည် အဆုံးရှိသော အရေအတွက်ရှိသည့် ကိန်းရင်းများ (algebraic numbers) က ထုတ်လုပ်ပေးသော (generated) ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဒီဂရီ (degree) $n$ ရှိသော ကိန်း ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုသည် ကိန်းထွေးများ၏ ဖီးလ်ဒ်ထဲသို့ ကွဲပြားသော ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (ring homomorphisms) အတိအကျ $n$ ခုကို ပိုင်ဆိုင်ထားသည်။

ကိန်းရင်းများ နှင့် ကိန်းပြည့်ရင်းများ (Algebraic Numbers and Integers)

ကိန်းရင်း (Algebraic number) တစ်ခုသည် ရာရှင်နယ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသော မိုးနစ် ပိုလီနိုမီရယ် (monic polynomial) တစ်ခု၏ ကိန်းရင်းတစ်ခုအဖြစ် လုပ်ဆောင်သော ကိန်းထွေးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ မြှောက်ဖော်ကိန်းများသည် ရိုးရိုးကိန်းပြည့်များ ဖြစ်ပါက ထိုကိန်းရင်းသည် ကိန်းပြည့်ရင်း (algebraic integer) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကိန်းရင်းကိုမဆို ရိုးရိုးကိန်းပြည့်တစ်ခုဖြင့် စားထားသော ကိန်းပြည့်ရင်းတစ်ခုအဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ယူနစ်ရင်းများ (roots of unity) သည် ကိန်းပြည့်ရင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဗိုင်းလ် ကိန်းများ (Weil numbers) သည် သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်ရင်းများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းကိန်းနှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ်များ (conjugates) အားလုံးသည် တိကျစွာ တူညီသော ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) ကို မျှဝေပိုင်ဆိုင်ကြသည့် ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသည်။

ဗက်တာရပ်ဝန်းများ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (Vector Spaces and Algebras)

အက္ခရာသင်္ချာတစ်ခုကို မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ပိုင်ဆိုင်ထားသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) တစ်ခုအဖြစ် ပုံစံတကျ (formally) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။

• လီအက္ခရာသင်္ချာများ (Lie Algebras): ကိန်းအုံများအပေါ် မှီခိုခြင်းမရှိဘဲ သရုပ်မဲ့ပုံစံဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) တစ်ခုသည် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အချိုးညီဆန့်ကျင် ထပ်တူညီမှု (antisymmetric identity) နှင့် ဂျေးကိုဘီ ထပ်တူညီမှု (Jacobi identity) နှစ်ခုလုံးကို ပြည့်စုံစေသည့် လီကွင်းစ-ကွင်းပိတ် တွက်ချက်မှု (Lie bracket operation) တစ်ခုဖြင့် တပ်ဆင်ထားသည်။
• C*-အက္ခရာသင်္ချာများ (C*-Algebras): C*-အက္ခရာသင်္ချာတစ်ခုသည် ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာ (Banach algebra) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းအက္ခရာသင်္ချာသည် ဘာနက် ရပ်ဝန်း (Banach space) လည်းဖြစ်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် အစုဝင်တစ်ခုကို ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ်သို့ ပုံဖော်ပေးပြီး သတ်မှတ်ထားသော C*-ထပ်တူညီမှု (C*-identity) ကို ပြည့်စုံစေသည့် အင်ဗော်လူးရှင်း ဖန်ရှင် (involution function) တစ်ခု ပါဝင်သည်။