तत्समक आव्यूह

३×३ तत्समक आव्यूह का एक उदाहरण

रैखिक बीजगणित में, $n$ आकार का तत्समक आव्यूह एक $n\times n$ वर्ग आव्यूह होता है जिसके मुख्य विकर्ण पर एक होते हैं और अन्य सभी स्थानों पर शून्य होते हैं। इसके अनूठे गुण होते हैं; उदाहरण के लिए जब तत्समक आव्यूह किसी ज्यामितीय रूपांतरण को दर्शाता है, तो वस्तु उस रूपांतरण से अपरिवर्तित रहती है। अन्य संदर्भों में, यह संख्या १ से गुणा करने के समान है।

शब्दावली और अंकन

तत्समक आव्यूह को अक्सर $I_{n}$, या केवल $I$ द्वारा दर्शाया जाता है, यदि आकार महत्वपूर्ण नहीं है या संदर्भ द्वारा आसानी से निर्धारित किया जा सकता है। $$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$$

इसके लिए इकाई आव्यूह शब्द का भी व्यापक रूप से उपयोग किया गया है, लेकिन अब तत्समक आव्यूह शब्द मानक बन चुका है। इकाई आव्यूह शब्द अस्पष्ट है, क्योंकि इसका उपयोग सभी एक अंकों वाले आव्यूह के लिए और सभी $n\times n$ आव्यूहों के वलय के किसी भी इकाई तत्व के लिए भी किया जाता है।

कुछ क्षेत्रों में, जैसे कि समूह सिद्धांत या क्वांटम यांत्रिकी, तत्समक आव्यूह को कभी-कभी मोटे अक्षरों वाले एक, $\mathbf {1}$, द्वारा दर्शाया जाता है, या इसे संक्षेप में "id" कहा जाता है। बहुत कम मामलों में, कुछ गणित की पुस्तकें तत्समक आव्यूह को निरूपित करने के लिए $U$ या $E$ का उपयोग करती हैं, जो क्रमशः इकाई आव्यूह और जर्मन शब्द के लिए प्रयुक्त होते हैं।

एक अंकन के संदर्भ में जो कभी-कभी विकर्ण आव्यूहों का संक्षेप में वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है, तत्समक आव्यूह को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $$I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).$$ तत्समक आव्यूह को क्रोनेकर डेल्टा अंकन का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है: $$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.$$

गुण

जब $A$ एक $m\times n$ आव्यूह है, तो यह आव्यूह गुणन का एक गुण है कि: $$I_{m}A=AI_{n}=A.$$ विशेष रूप से, तत्समक आव्यूह सभी $n\times n$ आव्यूहों के वलय के गुणात्मक तत्समक के रूप में कार्य करता है, और सामान्य रैखिक समूह $\mathrm {GL} (n)$ के तत्समक अवयव के रूप में कार्य करता है, जिसमें आव्यूह गुणन संक्रिया के तहत सभी व्युत्क्रमणीय $n\times n$ आव्यूह शामिल होते हैं। तत्समक आव्यूह स्वयं व्युत्क्रमणीय होता है। यह एक अंतर्वलनीय आव्यूह है, जो अपने स्वयं के व्युत्क्रम के बराबर होता है। इस समूह में, दो वर्ग आव्यूहों का गुणनफल तत्समक आव्यूह तभी होता है जब वे एक-दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं।

जब $n\times n$ आव्यूहों का उपयोग किसी $n$-विमीय सदिश समष्टि से स्वयं में रैखिक रूपांतरणों को दर्शाने के लिए किया जाता है, तो तत्समक आव्यूह $I_{n}$ तत्समक फलन को दर्शाता है, चाहे इस निरूपण में किसी भी आधार का उपयोग किया गया हो।

किसी तत्समक आव्यूह का $i$-वां स्तंभ इकाई सदिश $e_{i}$ होता है, एक ऐसा सदिश जिसका $i$-वां अवयव १ होता है और अन्य स्थानों पर ० होता है। तत्समक आव्यूह का सारणिक १ होता है, और इसका अनुरेख $n$ होता है।

तत्समक आव्यूह गैर-शून्य सारणिक वाला एकमात्र वर्गसम आव्यूह है। अर्थात्, यह एकमात्र ऐसा आव्यूह है जिसके लिए:

1. जब इसे स्वयं से गुणा किया जाता है, तो परिणाम स्वयं ही प्राप्त होता है।
2. इसके सभी पंक्तियाँ और स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं।

किसी तत्समक आव्यूह का मुख्य वर्गमूल वह स्वयं ही होता है, और यह इसका एकमात्र धनात्मक-निश्चित वर्गमूल है। हालाँकि, कम से कम दो पंक्तियों और स्तंभों वाले प्रत्येक तत्समक आव्यूह के असीमित सम्मित वर्गमूल होते हैं।

एक तत्समक आव्यूह $I_{n}$ की कोटि उसके आकार $n$ के बराबर होती है, अर्थात्: $$\operatorname {rank} (I_{n})=n.$$