Derivada

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Derivada (homónimos).

A derivada é unha operación realizada ás funcións dentro do cálculo infinitesimal (ou cálculo diferencial e integral) polo cal se busca un cálculo que relacione a variación (aumento o diminución) do valor dependente da función segundo o valor da variable independente, é dicir, canto aumenta y por cada aumento de x. Para que unha función sexa derivable nun punto $x_{a}$ ten que ser continua na súa contorna pola dereita e pola esquerda e ter o mesmo límite polos dous lados. Nese caso defínese a derivada coma o resultado de:

$f^{'} (x_{a}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{a} + h) - f (x_{a})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{a} - h) - f (x_{a})}{- h}$

Do mesmo xeito pódese definir o valor da función derivada para calquera punto do dominio de $f (x)$ , na cal se expresa o valor da derivada para tódolos puntos continuos do dominio:

$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{f (x - h) - f (x)}{- h}$

Exemplos da definición

Derivada dunha función polinómica:

$f (x)$	$= 3 x^{2} + 2 x - 6 \Rightarrow$
$f^{'} (x)$	$= lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$
	$= lim_{h \to 0} \frac{(3 (x + h)^{2} + 2 (x + h) - 6) - (3 x^{2} + 2 x - 6)}{h}$
	$= lim_{h \to 0} \frac{(3 (x^{2} + h^{2} + 2 x h) + 2 (x + h) - 6) - (3 x^{2} + 2 x - 6)}{h}$
	$= lim_{h \to 0} \frac{(3 x^{2} + 3 h^{2} + 6 x h + 2 x + 2 h - 6) - (3 x^{2} + 2 x - 6)}{h}$
	$= lim_{h \to 0} \frac{3 x^{2} + 3 h^{2} + 6 x h + 2 x + 2 h - 6 - 3 x^{2} - 2 x + 6}{h}$
	$= lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 x h + 2 h}{h}$
	$= lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 2$
	$= 6 x + 2$

Derivada da función logaritmo:

$f (x)$	$= \log_{a} x \Rightarrow$
$f^{'} (x)$	$= lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$
	$= lim_{h \to 0} \frac{\log_{a} (x + h) - \log_{a} x}{h}$
	$= lim_{h \to 0} \frac{\log_{a} \frac{x + h}{x}}{h}$
	$= lim_{h \to 0} \frac{\log_{a} (1 + (h / x))}{h}$
	$= lim_{t \to 0} \frac{\log_{a} (1 + t)}{x t}$
	$= lim_{t \to 0} \frac{1}{x} \log_{a} (1 + t)^{1 / t}$
	$= \frac{1}{x} \log_{a} e$
	$= \frac{1}{x} \frac{1}{\log_{e} a}$
	$= \frac{1}{x \ln a}$

Táboa de funcións derivadas

Propiedade	Primitiva	Derivada
Derivada dunha constante	$k$	$0$
Derivada de x	$x$	$1$
Derivada de k x	$k x$	$k$
Produto por escalares, xeneralización do anterior	$k f (x)$	$k f^{'} (x)$
Derivada dunha suma	$f (x) + g (x)$	$f^{'} (x) + g^{'} (x)$
Derivada dun produto	$f (x) g (x)$	$f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$
Derivada dunha división, deducida da do produto	$\frac{f (x)}{g (x)}$	$\frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{g^{2} (x)}$
Derivada dunha potencia, deducida da do produto ( $x \in ℝ$ )	$f (x)^{m}$	$m f (x)^{m - 1} f^{'} (x)$
Derivada dun logaritmo	$\log_{a} f (x)$	$\frac{1}{f (x) \log_{e} (a)} f^{'} (x)$
Derivada dunha exponencial	$a^{f (x)}$	$a^{f (x)} \log_{e} a f^{'} (x)$
Derivada trigonométrica 1	$\sin f (x)$	$\cos f (x) f^{'} (x)$
Derivada trigonométrica 2	$\cos f (x)$	$- \sin f (x) f^{'} (x)$
Derivada trigonométrica 3	$\tan f (x)$	$\sec^{2} f (x) f^{'} (x)$
Derivada trigonométrica 4	$\sec f (x)$	$\sec f (x) \tan f (x) f^{'} (x)$
Derivada trigonométrica 5	$cosec f (x)$	$- cosec f (x) cotan f (x) f^{'} (x)$
Derivada trigonométrica 6	$cotan f (x)$	$- \sec^{2} f (x) f^{'} (x)$
Derivada trigonométrica inversa 1	$\arcsin f (x)$	$\frac{f^{'} (x)}{\sqrt{1 - f^{2} (x)}}$
Derivada trigonométrica inversa 2	$\arccos f (x)$	$\frac{- f^{'} (x)}{\sqrt{1 - f^{2} (x)}}$
Derivada trigonométrica inversa 3	$\arctan f (x)$	$\frac{f^{'} (x)}{1 + f^{2} (x)}$
Derivada trigonométrica inversa 4	$arcsec f (x)$	$\frac{- f^{'} (x)}{1 + f^{2} (x)}$
Derivada trigonométrica inversa 5	$arccosec f (x)$	$\frac{f^{'} (x)}{f (x) \sqrt{f^{2} (x) - 1}} = \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{f^{4} (x) - f^{2} (x)}}$
Derivada trigonométrica inversa 6	$arccotan f (x)$	$\frac{- f^{'} (x)}{f (x) \sqrt{f^{2} (x) - 1}} = \frac{- f^{'} (x)}{\sqrt{f^{4} (x) - f^{2} (x)}}$

Regla da cadea

Regra da cadea para unha función composta:

Se $f (x) = h (g (x))$ , daquela $f^{'} (x) = h^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) .$ ^[1]

Exemplos de aplicación

lim 2x+1= x->2

Utilidade

O uso da derivación ten valido para explicar ou determinar multitude de situacións da física ou da xeometría. Un pequeno exemplo pode ser a seguinte táboa:

Figura	Lonxitude	Superficie	Volume
Círculo & circunferencia	(Circunferencia) $2 π r$	(Círculo) $π r^{2}$	non procede
Esfera	non procede	$4 π r^{2}$	$\frac{4}{3} π r^{3}$

onde se pode comprobar que o valor de dimensión espacial N se corresponde coa derivada do valor de dimensión espacial N+1 da mesma figura.

Outro caso na física sería o valor da posición, velocidade e aceleración dunha partícula expresadas en función do tempo, que son cada unha derivada da anterior:

$\begin{matrix} posición & p = & p_{0} + & v_{0} t + & \frac{1}{2} a_{0} t^{2} \\ velocidade & v = & v_{0} + & a_{0} t \\ aceleración & a = & a_{0} \end{matrix}$

Véxase tamén

Outros artigos

↑ Varberg, Purcell & Rigdon 2007, p. 111–112, 119

[1] Varberg, Purcell & Rigdon 2007, p. 111–112, 119

[1]