미분

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곡선의 한 점에서 그은 접선. 그 점에서의 미분계수는 접선의 기울기이다.

미분(微分, 영어: differentiation)은 함수의 순간적인 변화율을 구하는 연산이다. 한 점에서 구한 순간변화율을 미분계수라 하고, 각 점에 그 점에서의 미분계수를 대응시키는 함수를 도함수라 한다. 예를 들어 $f(x)=x^{2}$의 도함수는 $f'(x)=2x$이고, $x=2$에서의 미분계수는 $f'(2)=4$이다.

미분계수는 서로 가까운 두 점 사이의 평균변화율에 극한을 취하여 정의한다. 함수의 그래프에서는 접선의 기울기에 해당하며, 시간에 따른 물체의 위치를 나타내는 함수를 미분하면 순간 속도를 얻는다. 또한 미분계수를 알면 한 점 근처에서 함숫값이 어떻게 바뀌는지를 일차식으로 근사할 수 있다. 이러한 선형 근사의 관점은 여러 변수를 갖는 함수의 미분으로 이어진다.

미분은 적분과 함께 미적분학을 이루는 기본 연산이다. 도함수를 이용하면 함수의 증가와 감소, 극값, 그래프의 굽는 방향 등을 조사할 수 있다. 물리학에서는 운동과 변화 법칙을 표현하고, 최적화 문제와 수치해석학에서는 최댓값·최솟값이나 방정식의 근을 찾는 데 사용한다. 미분과 적분의 관계는 미적분학의 기본정리로 나타난다.

미분은 17세기 접선과 운동에 관한 연구를 바탕으로 체계화되었고, 이후 극한을 이용해 엄밀하게 정의되었다. 현대 수학에서는 실함수의 변화율뿐 아니라 여러 변수의 함수를 선형적으로 근사하는 사상으로도 미분을 다룬다.

변화율과 접선

평균변화율과 순간변화율

일차 함수 $f(x)=mx+b$에서는 $x$가 같은 양만큼 변할 때마다 함숫값도 같은 양만큼 변한다. 이때 변화율은 기울기 $m$이다. 그러나 $f(x)=x^{2}$처럼 변화율이 일정하지 않은 함수에서는 어느 구간의 변화를 살펴보는지에 따라 결과가 달라진다. 두 입력값 $a$, $b$ 사이의 평균변화율은 함숫값의 변화량을 입력값의 변화량으로 나눈

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\qquad (a\neq b)$

이다. $f(x)=x^{2}$의 경우 $x$가 2에서 3까지 변할 때의 평균변화율은 $(9-4)/(3-2)=5$이고, 2에서 2.1까지 변할 때는 4.1이다.

이 구간의 한쪽 끝을 2에 고정하고 다른 끝을 2에 가까이 가져가면, 평균변화율은 4에 가까워진다. 이처럼 구간을 한 점으로 좁혀 갈 때 평균변화율이 일정한 유한한 값에 가까워지면 그 극한값을 순간변화율이라고 한다. 이는 한 순간의 변화량을 0으로 나눈 값이 아니다. 서로 다른 두 입력값의 차이로 평균변화율을 계산한 뒤, 그 차이가 0으로 갈 때의 극한을 구한 것이다.

속도는 순간변화율의 대표적인 예이다. 직선 위에서 운동하는 물체의 시각 $t$에서의 위치를 $s(t)$라고 하면, $t=a$에서 $t=b$까지의 평균속도는

${\frac {s(b)-s(a)}{b-a}}$

이다. 시간 간격을 줄여 얻는 극한이 시각 $a$에서의 순간속도 $s'(a)$이다. 여기서 분자는 방향을 고려한 위치의 변화인 변위이며, 물체가 실제로 움직인 총거리와는 다를 수 있다. 위치를 미터, 시간을 초로 나타내면 속도의 단위는 미터/초가 된다. 순간속도의 절댓값은 속력이다. 다만 물체가 방향을 바꾸면 한 구간에서의 평균속도의 절댓값과 평균속력은 서로 다를 수 있다.

접선의 기울기

곡선 위의 한 점을 고정하고 다른 점을 가까이 가져가면, 보라색 할선이 접선에 가까워진다. 두 점의 가로 간격이 $\Delta x$이다.

함수의 그래프 위의 두 점 $(a,f(a))$, $(b,f(b))$를 잇는 할선의 기울기는 두 입력값 사이의 평균변화율이다. $b$를 $a$에 가까이 가져갈 때 이 기울기가 유한한 값으로 수렴하면, 그 값을 기울기로 하고 $(a,f(a))$를 지나는 직선이 그래프의 접선이다. 따라서 미분계수 $f'(a)$가 존재할 때 접선의 방정식은

$y=f(a)+f'(a)(x-a)$

이다. $f(x)=x^{2}$의 $x=2$에서의 미분계수는 4이므로, 접선은 $y=4+4(x-2)=4x-4$이다.

접선은 곡선과 만나는 점의 개수로 정해지지 않는다. 삼차 함수 $y=x^{3}$의 원점에서의 접선은 $x$축이며, 곡선은 이 접선을 가로질러 지나간다. 접선의 핵심은 접점 근처에서 곡선의 방향을 나타낸다는 데 있다. 다만 수직인 접선은 유한한 기울기를 갖지 않으므로, 접선이 존재한다는 사실만으로 실함수의 미분계수가 존재한다고 할 수는 없다.

정의와 표기

미분계수와 도함수

실수의 열린 구간 $I$에서 정의된 함수 $f:I\to \mathbb {R}$와 그 구간의 한 점 $a$에 대하여 다음 극한이 유한한 실수로 존재하면 $f$는 $a$에서 미분 가능하다고 한다.

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

여기서 $h$는 입력값 $a$의 변화량이다. 이때 $f'(a)$를 $a$에서의 미분계수라 한다. 같은 정의를

$f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

로 나타낼 수도 있다. 극한 안의 분수는 서로 다른 두 입력값에 대한 평균변화율이며 차분몫이라고도 한다. 극한을 구할 때는 $h\neq 0$인 값들을 사용하므로 분모가 0인 분수를 계산하지 않는다.

위는 함수 $f$, 아래는 도함수 $f'$의 그래프이다. 위 그래프의 각 점에서 구한 접선의 기울기를 같은 가로좌표에 표시하면 아래 그래프를 얻는다. 예를 들어 $a$에서의 접선 기울기는 3이므로 $f'(a)=3$이다.

예를 들어 이차 함수 $f(x)=x^{2}$에 정의를 적용하면

${\begin{aligned}f'(a)&=\lim _{h\to 0}{\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}(2a+h)=2a\end{aligned}}$

를 얻는다. 이 결과는 모든 실수 $a$에서 성립한다. 각 점 $x$에 미분계수 $f'(x)$를 대응시키는 함수 $f'$가 $f$의 도함수이다. 따라서 이 예에서 도함수는 $f'(x)=2x$이다. 도함수의 정의역은 원래 함수가 미분 가능한 점들의 집합이므로, 원래 함수의 정의역보다 작을 수도 있다.

미분 가능성은 한 점에서 판정하는 성질이다. 함수가 열린구간의 모든 점에서 미분 가능하면 그 구간에서 미분 가능하다고 한다. 한 점에서 미분계수가 존재한다고 해서 그 점 주변의 다른 점에서도 미분계수가 존재하는 것은 아니다. 이와 구별하여, 어떤 구간에서 도함수가 존재하고 그 도함수가 연속이면 원래 함수를 그 구간에서 연속 미분 가능하다고 한다.

표기법

 미분 표기법 문서를 참고하십시오.

고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 표기법에서는 $y=f(x)$의 도함수를 $dy/dx$ 또는 $df/dx$로 쓰며, 미분하는 연산 자체를 $d/dx$로 나타낸다. 한 점에서의 값은

$f'(a)=\left.{\frac {df}{dx}}\right|_{x=a}$

와 같이 쓴다. $dy/dx$는 어떤 변수에 대해 미분하는지를 드러내므로, 여러 변수가 함께 등장할 때 유용하다. 이 표기에서 $d$는 변수 이름이 아니며, $dy/dx$ 전체가 극한으로 정의한 도함수를 나타낸다. 미분량과 연쇄 법칙을 이용하면 이 표기를 분수 계산처럼 다룰 수 있는 관계도 설명할 수 있다.

라그랑주의 표기법인 $f'$, $y'$처럼 프라임을 붙이는 표기는 도함수를 간결하게 나타낸다. 시간에 대한 미분은 아이작 뉴턴의 표기법에 따라 ${\dot {x}}$처럼 점을 찍어 쓰기도 한다. 예를 들어 위치 $x(t)$에 대해 ${\dot {x}}(t)$는 속도를, ${\ddot {x}}(t)$는 가속도를 뜻한다. 같은 함수라도 어떤 변수에 대해 미분하느냐에 따라 결과가 달라지므로, 표기를 사용할 때는 그 변수가 분명해야 한다.

미분을 함수에 작용하는 연산자로 나타낼 때에는 $Df=f'$와 같이 $D$를 쓰기도 한다. 여러 변수가 등장하면 $D_{x}$나 $\partial /\partial x$처럼 미분할 변수를 함께 표시한다.

좌미분과 우미분

단측 극한을 사용하면 한쪽 방향에서의 미분계수를 정의할 수 있다. 점 $a$의 왼쪽과 오른쪽에서 구한 극한

$f'_{-}(a)=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}},\qquad f'_{+}(a)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

가 각각 유한하게 존재할 때 이를 좌미분계수와 우미분계수라 한다. 열린구간의 한 점에서 통상적인 미분계수가 존재할 필요충분조건은 좌미분계수와 우미분계수가 모두 존재하고 서로 같은 것이다.

닫힌구간 $[a,b]$에서만 정의된 함수는 끝점 밖의 함숫값이 주어지지 않는다. 이 경우 왼쪽 끝점에서는 우미분을, 오른쪽 끝점에서는 좌미분을 사용할 수 있다. 따라서 닫힌구간에서 미분 가능하다고 표현할 때는 끝점에서 한쪽 미분만을 뜻하는지 밝혀 두어야 한다. 평균값 정리처럼 끝점에서는 연속성만 요구하고 구간 내부에서 미분 가능성을 요구하는 정리도 있다.

선형 근사와 미분 가능성

미분과 선형 근사

 이 부분의 본문은 선형 근사입니다.

접선은 접점 근처에서 곡선과 가까우므로, 그 직선의 방정식으로 함숫값을 근사할 수 있다. $f$가 $a$에서 미분 가능하면 작은 변화량 $h$에 대해

$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$

로 계산할 수 있다. 오른쪽은 접선 위의 점의 높이이다. 예를 들어 $f(x)=x^{2}$에서 $a=2$, $h=0.01$로 놓으면 $2.01^{2}\approx 4+4\times 0.01=4.04$이다. 실제 값 4.0401과의 차이는 0.0001이다.

이 관계는 근사의 오차를 이용해 엄밀하게 표현할 수 있다. 함수가 $a$에서 미분 가능하고 미분계수가 $A$라는 것은

$f(a+h)=f(a)+Ah+r(h),\qquad \lim _{h\to 0}{\frac {r(h)}{h}}=0$

이라는 뜻이다. 즉, 실제 변화량과 일차식 $Ah$의 차이인 $r(h)$의 크기가 $|h|$에 비해 무시할 만큼 작아진다. $f(x)=x^{2}$에서는 $A=2a$, $r(h)=h^{2}$이다. 이 조건에서는 오차 자체뿐 아니라 오차를 입력 변화량으로 나눈 값도 0으로 가야 한다.

이때 입력 변화량 $h$를 $f'(a)h$로 보내는 선형사상을 $a$에서의 미분이라고도 한다. $y=f(x)$에서 입력의 변화량을 $dx$로 쓰면 이에 대응하는 미분량은

$dy=f'(a)\,dx$

이다. 실제 함숫값의 변화 $\Delta y=f(a+dx)-f(a)$와 $dy$는 일반적으로 같지 않으며, 미분 가능성은 $dx$가 0에 가까워질 때 두 값의 차이가 $|dx|$에 비해 무시할 만큼 작아진다는 것을 보장한다. 따라서 '미분'은 도함수를 구하는 연산을 가리키기도 하고, 문맥에 따라 이렇게 얻은 선형사상이나 미분량을 가리키기도 한다.

연속성과의 관계

• 
  절댓값 함수 $f(x)=|x|$는 원점에서 왼쪽 기울기가 −1, 오른쪽 기울기가 1이다. 서로 다르므로 원점에서 미분 가능하지 않다.
• 
  $f(x)={\sqrt[{3}]{x}}$는 원점에서 수직 접선을 갖는다. 차분몫이 유한한 실수로 수렴하지 않으므로 원점에서 미분 가능하지 않다.

함수가 한 점에서 미분 가능하면 그 점에서 연속이다. 위의 근사식에서 $h\to 0$이면 $f'(a)h$와 오차가 모두 0으로 가므로, $f(a+h)\to f(a)$가 성립하기 때문이다. 그러나 연속이라고 해서 미분 가능한 것은 아니다. 절댓값 함수 $f(x)=|x|$는 모든 실수에서 연속이지만, 원점에서의 좌미분계수는 $-1$, 우미분계수는 1이다. 두 값이 다르므로 $f'(0)$는 존재하지 않는다.

차분몫이 한없이 커지는 경우도 통상적인 의미의 미분 가능성에서 제외된다. $f(x)={\sqrt[{3}]{x}}$는 원점에서 연속이지만

${\frac {f(h)-f(0)}{h}}={\frac {1}{|h|^{2/3}}}\to +\infty$

이므로 원점에서 유한한 미분계수가 없다. 그래프에는 수직인 접선이 존재하지만 이를 실숫값 도함수의 값으로 나타낼 수는 없다.

차분몫이 진동하여 극한이 없는 경우도 있다. $x\neq 0$에서 $f(x)=x\sin(1/x)$, $f(0)=0$으로 정의한 함수는 원점에서 연속이다. 그러나 그 점의 차분몫은 $\sin(1/h)$이므로 $h\to 0$일 때 하나의 값에 가까워지지 않는다. 따라서 이 함수도 원점에서 미분 가능하지 않다.

더 복잡한 예로는 바이어슈트라스 함수처럼 모든 점에서 연속이면서 어느 점에서도 미분 가능하지 않은 함수가 있다.

도함수의 연속성

미분 가능한 함수의 도함수가 반드시 연속인 것은 아니다. 예를 들어

$f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin ^{2}(1/x),&x\neq 0,\\0,&x=0\end{cases}}$

는 원점에서 $f'(0)=\lim _{h\to 0}h\sin ^{2}(1/h)=0$이고, 원점 밖에서는

$f'(x)=2x\sin ^{2}(1/x)-\sin(2/x)$

이다. $x$가 0에 가까워질 때 마지막 항은 계속 진동하므로 도함수는 원점에서 연속이 아니다. 따라서 '미분 가능'과 '도함수가 연속'이라는 조건은 구별해야 한다. 열린구간 $I$에서 도함수가 연속인 함수들의 집합은 보통 $C^{1}(I)$로 쓴다.

도함수의 불연속에는 제약이 있다. 다르부 정리에 따르면 구간에서 미분 가능한 함수의 도함수는 중간값 성질을 갖는다. 즉, 두 점에서의 미분계수 사이에 있는 값은 두 점 사이의 어느 곳에서 반드시 미분계수로 나타난다. 따라서 도함수가 불연속일 수는 있어도, 계단 함수처럼 중간값을 건너뛰며 뛰어오르는 형태의 불연속을 가질 수는 없다.

미분법

 이 부분의 본문은 미분법입니다.

도함수는 정의에 따라 차분몫의 극한을 구하여 얻을 수 있지만, 매번 극한을 처음부터 계산할 필요는 없다. 기본 함수의 도함수와 몇 가지 연산 규칙을 이용하면 더 복잡한 함수의 도함수를 구할 수 있다. 이러한 계산 방법을 미분법이라고 한다. 각 규칙은 해당 점에서 함수가 미분 가능하다는 가정 아래 성립하며, 분모가 0이 되는 점처럼 식이 정의되지 않는 곳에서는 그대로 적용할 수 없다.

합·곱·몫의 미분

두 함수 $f$, $g$가 같은 점에서 미분 가능하고 $\alpha$, $\beta$가 상수이면 다음 규칙이 성립한다.

연산	도함수	추가 조건
상수배와 합	$(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'$	없음
곱의 법칙	$(fg)'=f'g+fg'$	없음
몫의 법칙	$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$	해당 점에서 $g\neq 0$

첫 번째 규칙은 미분이 선형성을 갖는다는 뜻이다. 예를 들어 $3x^{2}-2x+5$의 도함수는 각 항을 따로 미분하여 $6x-2$로 구한다. 반면 두 함수의 곱은 두 도함수를 곱하는 방식으로 미분할 수 없다. $f(x)=g(x)=x$라면 $fg=x^{2}$의 도함수는 $2x$이며, $f'g'=1$과 다르다. 곱의 법칙은 한 인자의 변화뿐 아니라 다른 인자의 변화도 함께 반영한다.

합성함수의 미분

 이 부분의 본문은 연쇄 법칙입니다.

합성함수 $h=f\circ g$를 미분하는 규칙은 연쇄 법칙이다. $g$가 $x$에서 미분 가능하고 $f$가 $g(x)$에서 미분 가능하면

$h'(x)=f'(g(x))g'(x)$

이다. 예를 들어 $h(x)=\sin(x^{2})$에서는 $x$의 변화가 먼저 $x^{2}$를 바꾸고, 이것이 다시 사인 함수의 값을 바꾼다. 이에 따라 $h'(x)=2x\cos(x^{2})$를 얻는다.

$u=g(x)$, $y=f(u)$로 쓰면 연쇄 법칙은

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}$

가 된다. 이 표기는 중간 변수 $u$를 거치는 변화율의 관계를 잘 보여 준다. 다만 오른쪽의 $dy/du$는 $u=g(x)$에서 계산한 값이라는 점을 함께 이해해야 한다. 이 식은 분자와 분모의 기호를 형식적으로 약분해서 얻는 것이 아니라, 합성함수에 관한 정리이다.

기본 함수의 도함수

다음은 자주 쓰이는 초등 함수의 미분 공식이다. 삼각함수의 각은 라디안으로 나타낸다. $c$, $p$, $a$는 상수이며, 표에 적은 조건은 실함수로서 공식을 적용할 수 있는 범위를 나타낸다.

함수 $f(x)$	도함수 $f'(x)$	조건
$c$	$0$	$x\in \mathbb {R}$
$x^{p}$	$px^{p-1}$	임의의 실수 $p$에 대해 $x>0$
$e^{x}$	$e^{x}$	$x\in \mathbb {R}$
$a^{x}$	$a^{x}\ln a$	$a>0$, $x\in \mathbb {R}$
$\ln x$	$1/x$	$x>0$
$\sin x$	$\cos x$	$x\in \mathbb {R}$
$\cos x$	$-\sin x$	$x\in \mathbb {R}$
$\tan x$	$1/\cos ^{2}x$	$\cos x\neq 0$

거듭제곱의 지수 $p$가 양의 정수이면 $x^{p}$의 공식은 음수와 0에서도 성립한다. 특히 $p=1$이면 도함수는 모든 점에서 1이다. 지수가 음의 정수이면 0을 제외한 모든 실수에서 성립한다. 지수가 정수가 아닐 때는 정의역과 끝점에서의 미분 가능성을 따로 확인해야 한다. 예를 들어 ${\sqrt {x}}$는 0에서도 정의되지만, 도함수 $1/(2{\sqrt {x}})$는 $x>0$에서만 정의된다.

역함수·음함수·매개변수의 미분

역함수의 도함수는 원래 함수의 도함수로 표현할 수 있다. 함수 $f$가 열린구간에서 미분 가능한 일대일 함수이고 $f'(a)\neq 0$이면, 역함수는 $b=f(a)$에서 미분 가능하며

$(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(a)}}$

이다. 예를 들어 $f(x)=x^{2}$를 양의 실수에 한정하면 역함수는 ${\sqrt {x}}$이다. $f'(a)=2a$이므로 역함수의 $b=a^{2}$에서의 미분계수는 $1/(2{\sqrt {b}})$이다. $f'(a)\neq 0$이라는 조건을 빼면 역함수가 존재하더라도 그 점에서 미분 가능하지 않을 수 있다.

음함수로 주어진 관계에서도 연쇄 법칙을 이용할 수 있다. 예를 들어 원 $x^{2}+y^{2}=1$의 일부를 $y$가 $x$의 미분 가능한 함수인 형태로 나타낼 수 있다고 하자. 양변을 $x$에 대해 미분하면

$2x+2y{\frac {dy}{dx}}=0$

이므로 $y\neq 0$인 곳에서 $dy/dx=-x/y$이다. 원 전체가 하나의 함수의 그래프인 것은 아니며, $(1,0)$과 $(-1,0)$에서는 이 식으로 유한한 기울기를 구할 수 없다. 일반적으로 방정식이 국소적으로 미분 가능한 함수를 정하는 조건은 음함수 정리에서 다룬다.

매개변수 $t$를 이용해 곡선을 $x=x(t)$, $y=y(t)$로 나타낼 수도 있다. 두 함수가 미분 가능하고 도함수가 연속이며 $x'(t)\neq 0$이면 그 점 근처에서 $x$를 독립변수로 사용할 수 있으며,

${\frac {dy}{dx}}={\frac {y'(t)}{x'(t)}}$

이다. 예를 들어 원의 매개화 $x=\cos t$, $y=\sin t$에서는 $\sin t\neq 0$일 때 기울기가 $-\cos t/\sin t=-x/y$로 계산된다.

컴퓨터를 이용한 미분

수치 미분은 함수의 도함수를 직접 구하는 대신 함수값을 이용해 미분계수를 근사한다. 예를 들어 작은 양수 $h$를 정해 $(f(x+h)-f(x))/h$를 계산하거나, 양쪽의 함수값을 쓰는 $(f(x+h)-f(x-h))/(2h)$를 계산한다. 함수가 충분히 매끄러우면 $h$를 줄일수록 이론상 근사 오차가 작아진다. 그러나 컴퓨터의 부동소수점 계산에서는 매우 가까운 두 수를 뺄 때 오차가 커질 수 있으므로, $h$를 무조건 작게 잡는다고 결과가 더 정확해지는 것은 아니다.

기호계산에서는 수식을 미분 규칙에 따라 변형하여 도함수의 식을 구한다. 한편 자동 미분은 프로그램의 계산을 덧셈·곱셈·초등 함수 등의 연산으로 나누고, 각 연산의 미분을 연쇄 법칙으로 연결하여 미분값을 계산한다. 수치 미분처럼 작은 간격 $h$를 정할 필요가 없으며, 전체 도함수의 식을 먼저 만들어 둘 필요도 없다. 다만 자동 미분 역시 실제 계산에서 생기는 반올림 오차까지 없애 주지는 않는다. 많은 매개변수에 대한 도함수가 필요한 기계 학습에서는 이러한 방법이 역전파 등의 계산에 쓰인다.

도함수와 함수의 성질

평균값 정리

 이 부분의 본문은 평균값 정리입니다.

미분계수는 한 점 근처의 변화를 나타내지만, 구간 전체에서의 함수의 성질도 알려 준다. 이를 연결하는 기본 정리가 평균값 정리이다. $a<b$이고 함수 $f$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이며 열린구간 $(a,b)$에서 미분 가능하면,

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

를 만족하는 점 $c\in (a,b)$가 적어도 하나 존재한다. 즉, 구간 전체의 평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 구간 안에 있다. 기하적으로는 두 끝점을 잇는 할선과 평행한 접선을 구간 안의 어느 점에서 그을 수 있다는 뜻이다.

예를 들어 $f(x)=x^{2}$의 구간 $[1,3]$에서 평균변화율은 $(9-1)/(3-1)=4$이다. 도함수 $f'(x)=2x$는 $c=2$에서 이 값을 갖는다. 특히 $f(a)=f(b)$인 경우에는 $f'(c)=0$인 점이 존재하며, 이 경우를 롤의 정리라고 한다. 이 정리들이 요구하는 연속성과 미분 가능성은 생략할 수 없다. $f(x)=|x|$는 $[-1,1]$에서 양 끝의 값이 같지만, 구간 내부 어디에서도 미분계수가 0이 되지 않는다. 원점에서 미분 가능하지 않기 때문이다. 평균값 정리로부터, 도함수가 한 구간에서 항상 0이면 원래 함수가 그 구간에서 상수 함수라는 결론을 얻는다. 또 같은 구간에서 두 함수의 도함수가 같으면 두 함수의 차이는 상수이다. 이 성질은 주어진 도함수로부터 원래 함수를 찾을 때 적분상수가 나타나는 이유이다. 구간이라는 조건도 필요하다. 예를 들어 0을 제외한 실수에서 $f(x)=x/|x|$의 도함수는 항상 0이지만, 함수는 음수 쪽에서 $-1$, 양수 쪽에서 1이다.

증가·감소와 극값

 단조함수 및 극값 문서를 참고하십시오.

열린구간에서 미분 가능한 함수 $f$에 대해, 모든 점에서 $f'(x)\geq 0$이면 $f$는 그 구간에서 감소하지 않고, 모든 점에서 $f'(x)\leq 0$이면 증가하지 않는다. 부등호가 각각 $>0$, $<0$이면 엄격하게 증가하거나 감소한다. 그러나 엄격하게 증가하는 함수도 일부 점에서 미분계수가 0일 수 있다. $f(x)=x^{3}$는 실수 전체에서 엄격하게 증가하면서 $f'(0)=0$이다.

극값은 한 점의 함숫값이 그 점 근처의 함숫값들 가운데 최댓값이나 최솟값인 경우를 말한다. 열린구간 내부의 점 $c$에서 미분 가능한 함수가 극값을 가지면 $f'(c)=0$이다. 이를 페르마의 정리라고 한다. 역은 성립하지 않는다. 앞의 $x^{3}$은 원점에서 미분계수가 0이지만 극값을 갖지 않는다. 따라서 $f'(c)=0$을 푸는 일은 극값을 찾기 위한 후보를 구하는 과정이며, 그 점에서 실제로 극값을 갖는지는 추가로 판정해야 한다.

한 점을 전후한 도함수의 부호는 이러한 판정에 쓰인다. 함수가 $c$에서 연속이고, 그 점을 제외한 어떤 주변 구간에서 미분 가능하다고 하자. $c$의 왼쪽에서 도함수가 양수이고 오른쪽에서 음수이면 함수는 증가하다 감소하므로 $c$에서 극댓값을 갖는다. 반대로 음수에서 양수로 바뀌면 극솟값을 갖는다. 예를 들어 $f(x)=x^{3}-3x$의 도함수는 $3(x-1)(x+1)$이므로, $x=-1$에서 극댓값 2를, $x=1$에서 극솟값 $-2$를 갖는다.

극값은 주변의 값과 비교한 결과이므로 정의역 전체에서의 최댓값과 최솟값과는 구별된다. 닫힌 유계구간에서 연속인 함수는 최댓값과 최솟값을 반드시 갖는다. 이 값들은 구간 내부의 미분계수가 0인 점, 미분 가능하지 않은 점, 또는 구간의 끝점에서 나타날 수 있으므로, 최대·최소 문제에서는 이들을 함께 살펴야 한다.

고계도함수와 그래프의 굽음

도함수를 다시 미분할 수 있으면 이계도함수(영어: second derivative) $f''$를 얻는다. 이 과정을 반복한 $n$번째 도함수를 $f^{(n)}$ 또는 $d^{n}f/dx^{n}$로 나타내며, 두 번 이상 미분하여 얻는 도함수를 고계도함수(영어: higher-order derivative)라고 한다. 예를 들어 $f(x)=x^{3}$이면 $f'(x)=3x^{2}$, $f''(x)=6x$, $f'''(x)=6$이다. 물체의 위치를 두 번 미분하면 속도의 변화율인 가속도를 얻는다.

이계도함수는 접선의 기울기가 어떻게 바뀌는지 나타낸다. 구간에서 $f''>0$이면 접선의 기울기가 증가하므로 그래프는 아래로 볼록하고, $f''<0$이면 기울기가 감소하므로 위로 볼록하다. 변곡점은 함수가 연속이면서 그래프의 볼록한 방향이 바뀌는 점이다. 이계도함수가 0이라는 사실만으로 변곡점이라고 결론 내릴 수는 없다. $f(x)=x^{4}$는 $f''(0)=0$이지만 원점의 양쪽에서 모두 아래로 볼록하다.

이계도함수로 극값을 판정할 수도 있다. 함수가 $c$의 어떤 근방에서 두 번 미분 가능하고 이계도함수가 연속이며 $f'(c)=0$일 때, $f''(c)>0$이면 $c$에서 극솟값을, $f''(c)<0$이면 극댓값을 갖는다. $f''(c)=0$인 경우에는 이 판정만으로 결론을 내릴 수 없다. 예를 들어 $x^{4}$와 $-x^{4}$는 모두 원점에서 이계도함수가 0이지만, 각각 극솟값과 극댓값을 갖는다.

테일러 근사

 이 부분의 본문은 테일러 정리 및 테일러 급수입니다.

선형 근사가 함수의 값과 일계도함수를 이용하는 데 비해, 테일러 정리는 고계도함수까지 이용하여 함수를 다항식으로 근사한다. 함수 $f$가 $a$에서 $n$계까지 미분 가능할 때, 이 점에서의 $n$차 테일러 다항식은

$P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$

이다. 여기서 $f^{(0)}=f$이며 $k!$는 계승이다. 이 다항식은 $a$에서 함수의 값과 $n$계까지의 도함숫값이 원래 함수와 같다. 예를 들어 $e^{x}$의 원점에서의 이차 근사는 $1+x+x^{2}/2$이다.

근사의 정확도는 나머지항으로 나타낸다. $a$와 $x$를 포함하는 구간에서 $f$가 $n+1$번 미분 가능하고 그 도함수들이 연속이면, 두 점 사이의 어떤 $\xi$에 대해

$f(x)-P_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}$

이 성립한다. 따라서 해당 구간에서 $|f^{(n+1)}|\leq M$이면 오차의 절댓값은 $M|x-a|^{n+1}/(n+1)!$ 이하이다. 이처럼 도함수에 대한 정보로 근사의 오차를 제한할 수 있다.

모든 차수의 미분이 가능한 함수를 매끄러운 함수라고 한다. 이 경우 무한한 테일러 급수를 만들 수 있지만, 그 급수가 수렴하거나 원래 함수를 나타낸다는 보장은 없다. 각 점의 어떤 근방에서 자신의 테일러 급수와 일치하는 함수는 해석 함수라고 한다. 따라서 유한한 차수의 근사에 관한 테일러 정리와, 무한급수로 함수를 나타내는 주장은 구별된다.

응용

운동과 변화 법칙

떨어지는 공을 1/20초 간격으로 촬영한 사진. 같은 시간 동안 이동하는 거리가 점점 늘어나므로 속력이 증가함을 알 수 있다. 위치의 일계도함수는 속도이고, 이계도함수는 가속도이다.

역학에서는 위치를 미분하여 속도를, 속도를 미분하여 가속도를 구한다. 공기저항을 무시하고 중력가속도 $g$를 일정하게 보는 자유 낙하 모형에서, 정지 상태로 놓은 물체가 낙하한 거리는 $s(t)=gt^{2}/2$이다. 아래쪽을 양의 방향으로 잡으면 속도는 $v(t)=gt$, 가속도는 $a(t)=g$가 된다. 같은 시간 동안 이동한 거리라도 낙하 후반부의 값이 더 큰 까닭을 위치와 속도의 도함수로 설명할 수 있다.

서로 연관된 양의 변화율은 연쇄 법칙으로 연결된다. 구의 반지름 $r>0$과 부피 $V=4\pi r^{3}/3$가 시간에 따라 바뀐다면

${\frac {dV}{dt}}=4\pi r^{2}{\frac {dr}{dt}}$

이다. 따라서 부피가 늘어나는 속도를 알면 그 순간의 반지름을 이용해 반지름이 늘어나는 속도를 구할 수 있다. 이때 $dV/dt$는 시간에 대한 변화율이고, $dV/dr$는 반지름에 대한 변화율이므로 둘을 구별해야 한다.

미분방정식은 미지의 함수와 그 도함수 사이의 관계를 나타내는 방정식이다. 예를 들어 어떤 양 $N(t)$의 변화율이 그 양 자체에 비례한다고 가정하면 $N'(t)=kN(t)$로 나타낼 수 있다. $N(t)=N_{0}e^{kt}$를 미분하면 이 관계와 초기 조건 $N(0)=N_{0}$가 성립함을 확인할 수 있다. 이처럼 변화 법칙을 먼저 방정식으로 세우고, 그 법칙과 초기 조건을 만족하는 함수를 구하는 것이 미분방정식의 기본적인 활용 방식이다.

최적화와 방정식의 근

 최적화 문제 및 뉴턴 방법 문서를 참고하십시오.

최적화 문제에서는 구하려는 양을 함수로 나타내고, 도함수를 이용해 그 함수의 최댓값이나 최솟값을 찾는다. 예를 들어 둘레가 $L>0$인 직사각형의 한 변을 $x$로 놓으면 넓이는 $A(x)=x(L/2-x)$이며 $0<x<L/2$이다. 도함수 $A'(x)=L/2-2x$는 $x=L/4$를 기준으로 양수에서 음수로 바뀐다. 따라서 넓이가 가장 큰 경우는 두 변이 같은 정사각형이다. 실제 문제에서는 이런 계산에 앞서 변수의 범위와 제약 조건을 정해야 한다.

뉴턴 방법은 현재 근삿값 $x_{n}$에서 그은 접선과 $x$축의 교점을 다음 근삿값 $x_{n+1}$로 삼는다.

뉴턴 방법은 접선을 이용해 방정식 $f(x)=0$의 근을 근사하는 방법이다. 현재의 근삿값 $x_{n}$에서 그은 접선이 $x$축과 만나는 점을 다음 근삿값으로 정하면

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

을 얻는다. 이 식은 $f'(x_{n})\neq 0$일 때 계산할 수 있다. 예를 들어 $f(x)=x^{2}-2$에 $x_{0}=1$을 넣으면 $x_{1}=3/2$, $x_{2}=17/12$를 차례로 얻어 ${\sqrt {2}}$에 가까워진다. 다만 도함수가 0이 되어 계산이 중단되거나, 초기값에 따라 원하는 근에 가까워지지 않을 수 있다. 미분 가능하다는 사실만으로 이 반복 과정의 수렴이 보장되지는 않는다.

적분과의 관계

 이 부분의 본문은 미적분학의 기본 정리입니다.

미분이 한 점에서의 변화율을 구한다면, 정적분은 구간에 걸친 양을 누적한다. 두 연산의 관계를 나타내는 미적분학의 기본 정리에 따르면 $f$가 $[a,b]$에서 연속일 때

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

로 정의한 함수는 $(a,b)$에서 $F'(x)=f(x)$를 만족한다. 즉, 누적량을 나타내는 함수를 미분하면 적분의 대상이었던 함수 $f$를 되찾는다.

반대로 도함수를 적분하면 원래 함수의 변화량을 얻는다. 예를 들어 $F$가 $[a,b]$를 포함하는 열린구간에서 미분 가능하고 도함수가 연속이면

$\int _{a}^{b}F'(x)\,dx=F(b)-F(a)$

이다. 속도가 연속인 운동에서 속도를 시간에 대해 적분하면 두 시각 사이의 변위를 얻는 것이 한 예이다. 따라서 적분하려는 함수 $f$를 도함수로 갖는 함수 $F$를 찾으면, 정적분을 $F(b)-F(a)$로 계산할 수 있다.

여러 변수와 일반화

벡터값 함수와 편미분

 이 부분의 본문은 벡터 함수 및 편미분입니다.

함숫값이 실수 하나가 아니라 벡터인 경우에도 차분몫의 극한을 구할 수 있다. 예를 들어 공간에서 움직이는 물체의 위치를 $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))$로 나타내면, 각 성분이 미분 가능할 때

$\mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))$

이다. 이 벡터는 순간속도를 나타내며, 0이 아닌 경우에는 물체가 그리는 곡선의 접선 방향을 정한다. 여기서는 입력인 시간은 하나이지만 출력의 성분이 여러 개이다.

입력 변수가 여러 개인 경우에는 어느 변수를 바꾸는지도 정해야 한다. 예를 들어 판 위의 온도 $T(x,y)$는 두 위치 좌표에 따라 달라진다. $y$를 고정하고 $x$에 대해서만 미분하면 $x$ 방향의 온도 변화율을 얻는다. 이처럼 다른 변수를 고정한 채 한 변수에 대해 구하는 미분이 편미분이다. 두 변수 함수 $f(x,y)$에서 $x$에 대한 편미분계수는

${\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h,b)-f(a,b)}{h}}$

로 정의하며, $y$에 대한 편미분계수도 같은 방식으로 정의한다. 예를 들어 $f(x,y)=x^{2}+3xy$이면 $\partial f/\partial x=2x+3y$, $\partial f/\partial y=3x$이다.

전미분과 야코비 행렬

 이 부분의 본문은 전미분 및 야코비 행렬입니다.

주황색 곡면의 한 점에서 그은 연한 파란 접평면. 한 변수 함수의 그래프를 접선으로 근사하듯이, 미분 가능한 두 변수 함수의 그래프는 그 점 부근에서 접평면으로 근사할 수 있다.

여러 변수가 함께 변할 때의 미분 가능성은 일변수에서와 마찬가지로 선형 근사로 정의한다. 두 변수 함수가 점 $(a,b)$에서 미분 가능하다는 것은 상수 $A$, $B$가 있어

$f(a+h,b+k)=f(a,b)+Ah+Bk+r(h,k),\qquad \lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {r(h,k)}{\sqrt {h^{2}+k^{2}}}}=0$

이 성립한다는 뜻이다. 이때 $A={\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)$, $B={\frac {\partial f}{\partial y}}(a,b)$이며, $Ah+Bk$가 변화량을 근사하는 선형사상인 전미분이다. 그래프에서는 일변수의 접선을 대신하여 접평면이 이 근사를 나타낸다.

편미분은 좌표축 방향만을 조사하므로, 모든 편미분계수가 존재해도 전미분이 존재하는 것은 아니다. 예를 들어 원점에서 0으로 정한 함수

$f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {xy}{x^{2}+y^{2}}},&(x,y)\neq (0,0),\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}}$

는 두 좌표축에서 항상 0이므로 원점에서의 두 편미분계수가 모두 0이다. 그러나 직선 $y=x$를 따라 원점으로 가면 함숫값이 $1/2$이므로, 원점에서 연속이지 않고 미분 가능하지도 않다. 한편 편도함수들이 그 점의 어떤 근방에서 존재하고 그 점에서 연속이면 전미분이 존재한다. 편도함수의 연속성은 미분 가능성을 보장하는 충분조건이다.

이를 $F:\mathbb {R} ^{n}\supset U\to \mathbb {R} ^{m}$인 함수로 넓힐 수 있다. $U$가 열린집합이고 $a\in U$일 때, 어떤 선형사상 $L:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$에 대해

$\lim _{h\to 0}{\frac {\|F(a+h)-F(a)-Lh\|}{\|h\|}}=0$

이면 $F$는 $a$에서 미분 가능하다. 여기서 $h$는 입력 벡터의 변화량이고, 기호 $\|\cdot \|$는 벡터의 길이를 나타낸다. 이 조건을 만족하는 $L$은 유일하며 $DF(a)$로 쓴다.

표준 좌표에서 이를 나타내는 행렬은 각 성분 함수의 편미분계수를 모은 야코비 행렬 $J_{F}(a)=(\partial F_{i}/\partial x_{j})(a)$이다. 다변수에서도 연쇄 법칙이 성립하며, 합성함수의 미분은 두 미분 선형사상의 합성, 좌표로는 야코비 행렬의 곱으로 주어진다.

방향미분과 기울기

 이 부분의 본문은 방향미분 및 기울기 (벡터)입니다.

방향미분은 주어진 방향으로 움직일 때의 변화율이다. 유클리드 공간의 열린집합에서 정의된 실숫값 함수 $f$와 단위벡터 $u$에 대해

$D_{u}f(a)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tu)-f(a)}{t}}$

로 정의한다. $f$가 $a$에서 미분 가능하면

$D_{u}f(a)=\nabla f(a)\cdot u,\qquad \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)$

이다. 여기서 $\nabla f$는 기울기 벡터이고 점은 내적을 뜻한다. 기울기 벡터가 0이 아니면 그 방향에서 함숫값의 증가율이 가장 크다. 예를 들어 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$의 점 $(1,0)$에서는 $\nabla f=(2,0)$이므로 양의 $x$축 방향의 증가율이 가장 크다.

그 밖의 확장

복소해석학에서는 변수와 함숫값을 복소수로 놓고 같은 꼴의 차분몫 $(f(z+h)-f(z))/h$에 극한을 취한다. 이때 $h$는 복소평면에서 어떤 방향으로든 0에 접근할 수 있으며, 그 모든 접근을 포함하는 극한이 존재해야 한다. 열린집합의 모든 점에서 복소미분 가능한 함수를 정칙 함수라고 한다. 예를 들어 켤레를 취하는 $f(z)={\overline {z}}$는 실수 두 변수의 함수로는 미분 가능하지만 복소미분 가능하지 않다. 실수 방향의 차분몫은 1이고 순허수 방향의 차분몫은 $-1$이기 때문이다. 선형 근사에 의한 정의는 함수 자체를 원소로 갖는 공간처럼 무한차원인 바나흐 공간에도 적용된다. 한 바나흐 공간의 열린집합에서 다른 바나흐 공간으로 가는 함수에 대해서도 근사에 쓰이는 사상을 연속 선형사상으로 두고 같은 오차 조건을 요구한다. 이렇게 얻는 프레셰 미분은 유한차원의 전미분을 포함한다.

약도함수는 차분몫 대신 부분적분이 만족하는 관계를 이용하여 정의한다. 예를 들어 $f(x)=\max(x,0)$은 원점에서 보통 의미로 미분할 수 없지만, 원점의 왼쪽에서 0이고 오른쪽에서 1인 함수를 약도함수로 갖는다. 이때 원점 한 점에 어떤 값을 주는지는 적분 관계에 영향을 주지 않는다. 이러한 미분 개념은 소볼레프 공간과 편미분방정식의 해를 다루는 데 쓰인다.

역사

 미적분학 및 수학의 역사 문서를 참고하십시오.

미분의 형성에는 곡선의 접선과 최대·최소를 구하는 문제가 중요한 역할을 했다. 17세기 전반에 피에르 드 페르마는 이러한 문제를 대수적으로 계산하는 방법을 발전시켰다. 이는 오늘날 도함수로 푸는 여러 문제를 다루었지만, 함수의 도함수를 극한으로 정의하는 현대의 이론과 같은 형태는 아니었다.

아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 17세기 후반에 독립적으로 미적분학을 발전시켰다. 뉴턴은 연속적으로 변하는 양과 그 변화의 속도를 다루었으며, 변화의 속도를 유율(영어: fluxion)이라고 불렀다. 그는 접선과 극값을 구하는 문제를 넓이와 누적량을 구하는 역문제와 연결하였다. 라이프니츠는 1684년 논문에서 $d$ 기호와 함께 거듭제곱·곱·몫의 미분 규칙을 발표하였다. 그의 미분 표기는 이후 미분 계산을 표현하는 데 널리 쓰이게 되었다.

19세기에는 극한을 바탕으로 미적분학의 기초를 정비하고 정리의 성립 조건을 명확히 하는 연구가 진행되었다. 오귀스탱 루이 코시의 강의와 저술은 그 과정에 기여하였다. 또한 카를 바이어슈트라스가 1872년에 제시한 연속이지만 어디에서도 미분 가능하지 않은 함수는 연속성과 미분 가능성을 구별하는 대표적인 사례가 되었다. 미분을 엄밀하게 다루려면 곡선의 겉모양에 대한 직관만으로는 충분하지 않았다.

한자어 '미분'(微分)과 '적분'(積分)은 1859년 상하이에서 간행된 《대미적습급》(代微積拾級)에서도 사용되었다. 이 책은 알렉산더 와일리와 이선란이 엘리아스 루미스의 해석기하학·미적분학 교재를 중국어로 번역한 것이다.

같이 보기

• 미분학
• 미분 연산자
• 미분형식
• 미분기하학

참고 문헌

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