整数

整數（英語：integer）在電腦應用上也稱為整型，是負整數、零（0）與正整數的統稱。所有整數所構成的集合稱為整數集，通常記作粗體的$\mathbf {Z}$或黑板粗體$\mathbb {Z}$（U+2124），即$\mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$。

整數集與自然數集同屬可數的無限集合（即可數無限集）。除此之外，整數集能形成包含自然數集的最小的群與環。

在代數數論中，稱這些屬於有理數的一般整數為有理整數，用以和高斯整數、代數整數等的概念加以區分。事實上，所有的有理整數都是高斯整數，也都是代數整數。

正整数与负整数

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整數是一个集合，通常可以分为正整數、零（0）和負整數。正整數（符号：Z⁺或$\mathbb {Z} ^{+}$）即大於0的整數，是正数与整数的交集。而負整數（符号：Z^-或$\mathbb {Z} ^{-}$）即小於0的整數，是负数与整数的交集。和整數一样，两者都是可數的無限集合。除正整數和負整數外，通常将0與正整數统称为非負整數（符号：Z⁺₀或$\mathbb {Z} _{0}^{+}$），而将0與負整數统称为非正整數（符号：Z^-₀或$\mathbb {Z} _{0}^{-}$）。在数论中自然数$\mathbb {N}$通常被视为与正整數等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。

代數性質

運算性質

對於任意整數$a$、$b$和$c$，它們之間的加法運算（$+$）與乘法運算（$\times$）具有以下代數性質：

• ${\begin{cases}a+b\in \mathbb {Z} \\a\times b\in \mathbb {Z} \end{cases}}$：整數相加（乘）後仍是整數。換句話說，整數集對加法與乘法具有封閉性；
• ${\begin{cases}a+(b+c)=(a+b)+c\\a\times (b\times c)=(a\times b)\times c\end{cases}}$：整數的加法與乘法具有结合律；
• ${\begin{cases}a+b=b+a\\a\times b=b\times a\end{cases}}$：整數的加法與乘法具有交換律；
• ${\begin{cases}a+0=a\\a\times 1=a\end{cases}}$：整數對加法與乘法具有單位元，分別為$0$和$1$；
• ${\begin{cases}a+(-a)=0\\(-1)\times (-1)=1\end{cases}}$：整數的整數加法逆元必然存在，而只有$\pm 1$具有整數的乘法逆元；
• $a\times (b+c)=a\times b+a\times c$：整數的乘法對加法具有分配律。

抽象代數性質

整数集與其上加法、乘法所形成的代數結構$(\mathbb {Z} ,+,\times )$是一個環。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以視作整数的抽象化模型。

$\mathbb {Z}$是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是$\mathbb {Z}$仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与$(\mathbb {Z} ,+)$同构。

有序性质

$\mathbb {Z}$是一个全序集，没有上界和下界，其序列如下：

$\ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots$

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

• 若$a<b$且$c<d$，则$a+c<b+d$（加法）
• 若$a<b$且$c>0$，则$a\times c<b\times c$；若$c<0$，则$a\times c>b\times c$（乘法）

整数环是一个欧几里德域。

電腦

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整數集合的基數

$\mathbb {Z}$的基數（或勢）是ℵ₀，與$\mathbb {N}$相同。這可以從$\mathbb {Z}$建立一雙射函數到$\mathbb {N}$來證明，亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件，例如：

$f(x)={\begin{cases}2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0\\2|x|,&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}$

當該函數的定義域僅限於$\mathbb {Z}$，則證明$\mathbb {Z}$與$\mathbb {N}$可建立一一對應的關係，即兩集等勢。

参见

• 整數數列線上大全
• 超整數