Homomorfizmus (algebra)

Homomorfizmus alebo homomorfné zobrazenie je zobrazenie z jednej algebrickej štruktúry do inej rovnakého typu, ktoré zachováva všetku relevantnú štruktúru.

Formálne je to teda zobrazenie $ϕ : A \to B$ medzi dvomi algebrickými štruktúrami rovnakého typu také, že pre každú definovanú operáciu $f$ a pre všetky $x_{i}$ v $A$ platí

ϕ (f_{A} (x_{1}, \dots, x_{n})) = f_{B} (ϕ (x_{1}), \dots, ϕ (x_{n}))

Každá algebrická štruktúra má svoj typ homomorfizmu:

homomorfizmus grúp (všeobecnejšie homomorfizmus grupoidov)
homomorfizmus okruhov
homomorfizmus telies
homomorfizmus algebier
homomorfizmus vektorových priestorov = lineárne zobrazenie

Druhy homomorfizmov

Existujú tieto druhy homomorfizmov:

izomorfizmus je bijektívny homomorfizmus (prostý a na)
epimorfizmus je surjektívny homomorfizmus (na)
monomorfismus je injektívny homomorfizmus (prostý)
endomorfizmus je homomorfizmus z objektu do seba samého
automorfizmus je endomorfizmus, ktorý je aj izomorfizmom

Jadro homomorfizmu

Každý homomorfizmus $f : X \to Y$ definuje ekvivalenciu $\sim$ tak, že $x \sim y$ práve vtedy, keď $f (x) = f (y)$ . Ekvivalencia $\sim$ sa nazýva jadro $f$ . Faktormnožine $X / \sim$ môže byť daná prirodzená štruktúra, čiže $[x] \circ [y] = [x \circ y]$ . V tomto prípade je obraz $X$ homomorfizmu $f$ v $Y$ nutne izomorfný $X / \sim$ .

Externé odkazy

Homomorfizmy, izomorfizmy