Meia-vida

Decaimento exponencial. A cada meia-vida, a quantidade restante cai à metade.

A meia-vida ^{(português brasileiro)} ou semivida ^{(português europeu)} (símbolo $t_{1/2}$) é o tempo necessário para que uma quantidade de uma substância se reduza à metade de seu valor inicial. O termo é usado com frequência na física nuclear para expressar a rapidez com que átomos instáveis passam por decaimento radioativo ou, em termos probabilísticos, por quanto tempo permanecem sem decair. Também é empregado de forma mais geral para caracterizar processos de decaimento exponencial ou, mais raramente, processos de decaimento não exponenciais descritos por outras equações de taxa. Nas ciências médicas, por exemplo, fala-se na meia-vida biológica de medicamentos e outras substâncias químicas no corpo humano. O conceito inverso é o tempo de duplicação, propriedade exponencial em que uma quantidade aumenta por um fator de 2 em vez de diminuir pelo mesmo fator.

Ernest Rutherford publicou em 1900 medições de uma substância radioativa emitida por compostos de tório nas quais o efeito radioativo diminuía segundo uma taxa característica, trabalho que permitiu determinar uma meia-vida para a emanação do tório. A expressão inglesa original, half-life period, foi abreviada para half-life no início da década de 1950. Rutherford também discutiu o uso das taxas de desintegração radioativa para determinar a idade de minerais. Em 1907, Bertram Boltwood aplicou esse princípio às proporções entre urânio e chumbo em minerais, usando o chumbo como produto final da série de decaimento do urânio, da qual o rádio é um intermediário.

A meia-vida permanece constante ao longo da existência de uma quantidade que decai exponencialmente e é uma unidade característica da equação de decaimento exponencial. A tabela ao lado mostra a redução de uma quantidade em função do número de meias-vidas decorridas.

Natureza probabilística

Meias-vidas decorridas	Fração restante	Percentual restante
0	${\frac {1}{1}}$	100,0%
1	${\frac {1}{2}}$	50,0%
2	${\frac {1}{4}}$	25,0%
3	${\frac {1}{8}}$	12,5%
4	${\frac {1}{16}}$	6,25%
5	${\frac {1}{32}}$	3,125%
6	${\frac {1}{64}}$	1,5625%
7	${\frac {1}{128}}$	0,78125%
$n$	${\frac {1}{2^{n}}}$	${\frac {100}{2^{n}}}\%$

A meia-vida muitas vezes expressa o decaimento de entidades discretas, como átomos radioativos. Nesse caso, não se pode defini-la simplesmente como "o tempo necessário para que exatamente metade das entidades decaia". Se houver apenas um átomo radioativo e sua meia-vida for de um segundo, por exemplo, não restará "meio átomo" após um segundo.

A meia-vida é definida em termos de probabilidade. Ela é o intervalo no qual metade das entidades decai em média. Em outras palavras, a probabilidade de um átomo radioativo decair durante uma meia-vida é de 50%.

A imagem ao lado simula o decaimento radioativo de muitos átomos idênticos. Depois de uma meia-vida, não resta exatamente metade dos átomos, mas uma quantidade aproximadamente igual à metade por causa da variação aleatória do processo. Quando há muitos átomos idênticos em decaimento, como nas caixas à direita, a lei dos grandes números permite aproximar muito bem a quantidade restante por metade da quantidade inicial.

Para uma entidade cujo tempo até o decaimento segue uma distribuição exponencial, a probabilidade de ela ainda não ter decaído após um tempo $t$ é

$$P(T>t)={\frac {N(t)}{N_{0}}}=e^{-\lambda t}$$

A meia-vida é a mediana dessa distribuição. Metade das entidades decai antes desse instante e metade permanece por mais tempo. Ela não é igual à vida média $\tau$, que corresponde ao valor esperado do tempo até o decaimento e, no caso exponencial, vale $1/\lambda$.

A distribuição exponencial também não tem memória. Se uma entidade já permaneceu sem decair até certo instante, esse tempo transcorrido não altera sua probabilidade de permanecer sem decair por mais um intervalo. Para um intervalo igual a uma meia-vida, a probabilidade condicional de permanecer sem decair por todo esse intervalo continua sendo de 50%.

Exercícios simples podem demonstrar o decaimento probabilístico, como lançar moedas ou executar um programa de computador estatístico.

Simulação de muitos átomos idênticos passando por decaimento radioativo, com 4 átomos por caixa no início, à esquerda, e 400, à direita. O número no alto indica quantas meias-vidas decorreram. Pela lei dos grandes números, o decaimento total se torna mais regular e previsível quando há mais átomos.

Fórmulas para a meia-vida no decaimento exponencial

Ver artigo principal: Decaimento exponencial

Um decaimento exponencial pode ser expresso por qualquer uma das quatro fórmulas equivalentes a seguir:

$${\begin{aligned}N(t)&=N_{0}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}\\N(t)&=N_{0}2^{-{\frac {t}{t_{1/2}}}}\\N(t)&=N_{0}e^{-{\frac {t}{\tau }}}\\N(t)&=N_{0}e^{-\lambda t}\end{aligned}}$$

em que:

• $N_{0}$ é a quantidade inicial da substância que decairá, medida, por exemplo, em gramas, mols ou número de átomos;
• $N(t)$ é a quantidade que ainda resta e não decaiu após um tempo $t$;
• $t_{1/2}$ é a meia-vida da quantidade em decaimento;
• $\tau$ é um número positivo chamado vida média da quantidade em decaimento;
• $\lambda$ é um número positivo chamado constante de decaimento.

Os três parâmetros $t_{1/2}$, $\tau$ e $\lambda$ estão relacionados por

$$t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2)$$

onde $\ln(2)$ é o logaritmo natural de 2, aproximadamente 0,693.

Meia-vida e ordens de reação

Na cinética química, o valor da meia-vida depende da ordem da reação. Para um reagente, ela é o tempo necessário para que sua concentração atinja a média aritmética entre os valores inicial e final de equilíbrio. Quando o reagente é totalmente consumido, esse valor corresponde à metade da concentração inicial. Em uma reação com mais de um reagente, só se pode falar em uma única meia-vida da reação em casos especiais. Se os reagentes não estiverem em suas proporções estequiométricas, eles podem ter meias-vidas diferentes.

As expressões a seguir correspondem aos casos simples descritos pelas respectivas leis de velocidade.

Cinética de ordem zero

A velocidade desse tipo de reação não depende da concentração do substrato, $[A]$. A concentração diminui linearmente.

$${\frac {d[A]}{dt}}=-k$$

A lei de velocidade integrada para a cinética de ordem zero é

$$[A]=[A]_{0}-kt$$

Para encontrar a meia-vida quando a concentração final é zero, substitui-se a concentração por metade da concentração inicial:

$${\frac {[A]_{0}}{2}}=[A]_{0}-kt_{1/2}$$

Isolando o tempo,

$$t_{1/2}={\frac {[A]_{0}}{2k}}$$

Essa expressão mostra que a meia-vida de uma reação de ordem zero depende da concentração inicial e da constante de velocidade.

Cinética de primeira ordem

Nas reações de primeira ordem, a velocidade da reação é proporcional à concentração do reagente. A concentração diminui exponencialmente:

$$[A]=[A]_{0}\exp(-kt)$$

Nesse caso, a meia-vida permanece constante e independe da concentração inicial.

O tempo $t_{1/2}$ para que $[A]$ diminua de $[A]_{0}$ para ${\frac {1}{2}}[A]_{0}$ é dado por

$${\frac {[A]_{0}}{2}}=[A]_{0}\exp(-kt_{1/2})$$

A equação pode ser resolvida como

$$kt_{1/2}=-\ln \left({\frac {[A]_{0}/2}{[A]_{0}}}\right)=-\ln {\frac {1}{2}}=\ln 2$$

Se a concentração de $A$ em algum estágio da reação for $[A]$, ela terá caído para ${\frac {1}{2}}[A]$ após mais um intervalo de ${\frac {\ln 2}{k}}$. A meia-vida de uma reação de primeira ordem é

$$t_{1/2}={\frac {\ln 2}{k}}$$

A meia-vida independe da concentração inicial e depende apenas da constante de velocidade da reação, $k$.

Cinética de segunda ordem

Nas reações de segunda ordem em que a velocidade é proporcional ao quadrado da concentração de um reagente, a integração da lei de velocidade fornece

$${\frac {1}{[A]}}=kt+{\frac {1}{[A]_{0}}}$$

Tomando $[A]$ como metade da concentração inicial, $[A]_{0}/2$, e substituindo $t$ por $t_{1/2}$,

$${\frac {2}{[A]_{0}}}=kt_{1/2}+{\frac {1}{[A]_{0}}}$$

Reorganizando a equação,

$$t_{1/2}={\frac {1}{[A]_{0}k}}$$

A meia-vida desse tipo de reação de segunda ordem depende da concentração inicial e da constante de velocidade da reação.

Decaimento por dois ou mais processos

Algumas quantidades são removidas simultaneamente por dois processos de decaimento exponencial independentes. Nesse caso, a meia-vida resultante $T_{1/2}$ pode ser relacionada às meias-vidas $t_{1}$ e $t_{2}$ que a quantidade teria se cada processo atuasse isoladamente:

$${\frac {1}{T_{1/2}}}={\frac {1}{t_{1}}}+{\frac {1}{t_{2}}}$$

Para três ou mais processos,

$${\frac {1}{T_{1/2}}}={\frac {1}{t_{1}}}+{\frac {1}{t_{2}}}+{\frac {1}{t_{3}}}+\cdots$$

Essas relações valem para processos independentes que removem a mesma população. Elas não podem ser aplicadas diretamente a uma sequência na qual o produto de um decaimento também é radioativo. Numa cadeia desse tipo, as quantidades dos nuclídeos pais e filhos obedecem a equações diferenciais acopladas, conhecidas como equações de Bateman, e a atividade observada pode reunir mais de uma função exponencial.

Exemplos

Há uma meia-vida para qualquer processo de decaimento exponencial. Alguns exemplos são:

• No decaimento radioativo, a meia-vida é o intervalo após o qual há 50% de probabilidade de um átomo ter passado por decaimento nuclear. Ela varia conforme o tipo de átomo e o isótopo e costuma ser determinada experimentalmente. Ver Lista de nuclídeos. O carbono-14, por exemplo, tem meia-vida de cerca de 5.730 anos e decai em nitrogênio-14. Essa escala de tempo permite seu uso na datação por radiocarbono de materiais de origem biológica.
• A corrente que passa por um circuito RC ou circuito RL decai com uma meia-vida de $\ln(2)RC$ ou $\ln(2)L/R$, respectivamente. Nesse caso, em inglês, costuma-se usar half time em vez de half-life, embora os dois termos expressem o mesmo conceito.
• Em uma reação química, a meia-vida de uma espécie é o tempo correspondente à redução descrita pela lei de velocidade. Em uma reação de primeira ordem com consumo completo do reagente, ela é $\ln(2)/\lambda$, em que $\lambda$, também representado por $k$, é a constante de velocidade da reação.

Medição de meias-vidas radioativas

Mapa de nuclídeos em função do número de prótons Z e de nêutrons N, com cores que representam ordens de grandeza da meia-vida.

A atividade $A(t)$ de uma quantidade de um radionuclídeo é a taxa de decaimentos nucleares. No modelo exponencial,

$$A(t)=\left|{\frac {dN}{dt}}\right|=\lambda N(t)$$

Como $\lambda$ é constante para um dado modo de decaimento nas condições usuais, a atividade e o número de átomos não decaídos diminuem com a mesma meia-vida. Quando a duração pode ser acompanhada diretamente durante um experimento, é possível medir a queda da atividade e determinar o intervalo necessário para que ela chegue à metade.

Para radionuclídeos com meias-vidas muito longas, acompanhar uma redução de 50% seria impraticável. Pode-se medir a atividade $A$ de uma amostra e determinar independentemente o número de átomos $N$. A relação

$$\lambda ={\frac {A}{N}}$$

permite calcular

$$t_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}$$

A espectrometria de massa pode determinar quantidades e proporções isotópicas com precisão e complementar a contagem de atividade, especialmente no estudo de radionuclídeos de vida longa presentes em pequenas quantidades.

Em decaimentos não exponenciais

O termo "meia-vida" é usado quase exclusivamente para processos de decaimento exponenciais, como o decaimento radioativo e os outros exemplos acima, ou aproximadamente exponenciais, como a meia-vida biológica. Em um processo que não se aproxima de um decaimento exponencial, a meia-vida pode mudar muito durante o próprio decaimento. Nessa situação, é pouco comum falar em meia-vida, mas às vezes o processo é expresso em termos de "primeira meia-vida", "segunda meia-vida" e assim por diante. A primeira é o tempo necessário para a quantidade cair do valor inicial a 50%, a segunda vai de 50% a 25%, e assim sucessivamente.

Em biologia e farmacologia

Ver também: Meia-vida biológica

A meia-vida biológica de uma substância é o tempo necessário para que sua quantidade em um sistema biológico seja reduzida à metade por processos biológicos, quando a remoção pode ser aproximada por um processo exponencial. Para um radionuclídeo presente no corpo, essa definição não inclui a diminuição causada pelo próprio decaimento radioativo.

Na farmacocinética, a expressão meia-vida de eliminação costuma designar o tempo necessário para que a concentração de um medicamento no plasma ou no soro caia 50% durante a fase de eliminação. A meia-vida observada pode depender da distribuição do fármaco entre compartimentos, do metabolismo e da excreção. A relação entre a quantidade total no organismo e a concentração plasmática pode ser complicada por acumulação em tecidos, metabólitos ativos e interações com receptores.

O decaimento radioativo simples é bem representado por uma única constante de decaimento, mas a eliminação de uma substância de um organismo pode exigir modelos com mais de um compartimento ou mais de uma componente exponencial. Uma aproximação simples situa a meia-vida biológica da água corporal em cerca de 9 a 10 dias, mas essa eliminação não precisa seguir uma única exponencial. Um modelo biocinético da água tritiada em seres humanos encontrou uma componente dominante com meia-vida biológica de 10 dias, correspondente a 99% da retenção modelada, além de componentes menores com meias-vidas de 40 e 350 dias.

A meia-vida biológica do césio radioativo no corpo humano varia entre indivíduos. O Centers for Disease Control and Prevention usa cerca de 110 dias como valor de referência para o césio sem tratamento específico, enquanto medições em adultos encontraram meias-vidas da componente de retenção de longo prazo entre 45 e 200 dias.

Quando um radionuclídeo está presente em um organismo, o decaimento radioativo e a eliminação biológica podem reduzir simultaneamente sua quantidade. Se os dois processos puderem ser aproximados por decaimentos exponenciais independentes, a meia-vida efetiva $T_{e}$ é o tempo necessário para que a quantidade do radionuclídeo no sistema biológico caia à metade sob a ação conjunta dos dois processos. Se $T_{p}$ é a meia-vida física e $T_{b}$ a meia-vida biológica,

$${\frac {1}{T_{e}}}={\frac {1}{T_{p}}}+{\frac {1}{T_{b}}}$$

ou

$$T_{e}={\frac {T_{p}T_{b}}{T_{p}+T_{b}}}$$

A meia-vida efetiva é menor que cada uma das duas meias-vidas consideradas isoladamente.

O conceito de meia-vida também é usado para pesticidas em plantas, e modelos de avaliação de risco e impacto de pesticidas podem depender de dados sobre sua dissipação nas plantas e ser sensíveis a eles.

Na epidemiologia, o conceito de meia-vida pode designar o tempo necessário para que o número de novos casos em um surto de doença caia pela metade, em especial quando a dinâmica do surto pode ser modelada exponencialmente.

Ver também

• Tempo de meia-vida, conceito análogo usado em circuitos e outros sistemas físicos
• Lista de nuclídeos radioativos por meia-vida, nuclídeos organizados pela duração de seu decaimento
• Vida média, valor esperado do tempo até o decaimento em um processo exponencial
• Dose letal mediana, medida estatística que também utiliza um limiar de 50%

Ligações externas

• Half-Life Calculator, calculadora de meia-vida
• Decay Engine, Nucleonica.net, versão arquivada em 2016
• System Dynamics – Time Constants, Bucknell.edu
• Researchers Nikhef and UvA measure slowest radioactive decay ever, Universidade de Amsterdã
• Interactive radioactive decay simulator, simulador da relação entre meia-vida e taxa de decaimento