Stokastisk prosess

En stokastisk prosess er et matematisk objekt som anvendes for å beskrive tilfeldige (stokastiske) forandringer.

En reell stokastisk prosess $X$ er en samling $X=\{X_{t}\}_{t\in T}$ av stokastiske variabler $X_{t}:\Omega \longrightarrow \mathbb {R} ,$ som er definert i samme sannsynlighetsrom $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$. Hvis indeksmengden $T$ er diskret, sier man at $X$ er en stokastisk prosess i diskret tid, og dersom indeksmengden er kontinuerlig sier man at $X$ er en stokastisk prosess i kontinuerlig tid.

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel er et sannsynlighetsmål $\mu _{t}$ på Borel sigma-algebraen på mengden av de reelle tallene $\mathbb {R}$:

$\mu _{t}(A)=P(X_{t}\in A),\qquad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).$

De endelig-dimensjonale fordelingene for en stokastisk prosess er mengden $\{\mu _{(t_{1},\dots ,t_{n})}\}_{t_{1},\dots ,t_{n}\in T,n\geq 1}$ av alle tenkbare flerdimensjonale sannsynlighetsfordelinger som assosieres med den stokastiske prosessen:

$\mu _{(t_{1},\dots ,t_{n})}(A_{1},\dots ,A_{n})=P(\{X_{t_{1}}\in A_{1}\}\cap \cdots \cap \{X_{t_{n}}\in A_{n}\}),$

der index $t_{1},\dots ,t_{n}\in T$ og mengdene $A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),$ for hvert valg av heltallet $n\geq 1.$

Assosiert med en stokastisk prosess er dens forventningsverdifunksjon

$m:T\longrightarrow \mathbb {R}$

og dens kovariansfunksjon

$c:T\times T\longrightarrow \mathbb {R} .$

Disse defineres av følgende integraler med hensyn på sannsynlighetsmålet $P$.

$m(t)=E[X_{t}]=\int _{\Omega }X_{t}(\omega )\,dP(\omega )$

og

$c(s,t)=E[X_{s}X_{t}]-E[X_{s}]E[X_{t}]$,

der forventningsverdien $E[X_{s}X_{t}]$ beregnes i produktrommet $(\Omega \times \Omega ,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}},P\times P):$

$E[X_{s}X_{t}]=\int _{\Omega \times \Omega }X_{s}(\omega )X_{t}(\eta )\,d(P\times P)(\omega ,\eta ).$

Hvis det viser seg at de endelig-dimensjonale fordelingene for den stokastiske prosessen X er absolutt kontinuerlige med hensyn på Lebesgue-målet, så kan den forventningsverdien over skrives som

$E[X_{t}]=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X_{t}}(x)\,dx$

og

$E[X_{s}X_{t}]=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }xyf_{(X_{s},X_{t})}(x,y)\,dx\,dy,$

der funksjonen $f_{X_{t}}:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ er den Radon-Nikodym-deriverte av sannsynlighetsfordelingen for den stokastiske variabelen $X_{t}$ med hensyn på Lebesgue-målet på $\mathbb {R}$

$f_{X_{t}}={\frac {d\mu _{t}}{dx}}.$

Denne deriverte kalles innenfor sannsynlighetsteori og statistikk for den stokastiske variabelens tetthetsfunksjon. På motsatt vis er funksjonen $f_{X_{s},X_{t}}:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ Radon-Nikodym-derivatet

$f_{X_{s},X_{t}}={\frac {\mu _{s,t}}{dxdy}}$

av sannsynlighetsfordelingen for den to-dimensjonale stokastiske variabelen $(X_{s},X_{t})$ med hensyn på Lebesgue-målet i området $\mathbb {R} ^{2}.$

Stokastiske prosesser forekommer ofte i teknisk, økonomisk og finansiell teori.

Eksterne lenker

• (en) Stochastic processes – kategori av bilder, video eller lyd på Commons