Raggio (geometria)

Secondo la definizione moderna della geometria, il raggio di un cerchio o di una sfera è un segmento di retta avente un estremo sulla circonferenza o superficie sferica e l'altro estremo nel centro della figura. Per estensione si definisce raggio di un cerchio o di una sfera anche la lunghezza di un tale segmento. Il raggio misura la metà del diametro.

Più generalmente — in geometria, ingegneria, teoria dei grafi, e in molti altri settori — il raggio di qualcosa (per esempio di un cilindro, di un grafo, o di un componente meccanico) è la distanza dei suoi punti più esterni dal centro o asse.

La definizione di raggio data per i cerchi e per le sfere si lascia estendere naturalmente al caso di iperspazi con più di tre dimensioni. Generalmente, un segmento che congiunge un punto di un'ipersfera al suo centro è un raggio dell'ipersfera.

In una spirale il raggio è una funzione dell'angolo. Tutte le circonferenze sono assimilabili a spirali con raggio costante.

Formule per i cerchi

Raggio dal diametro

Il raggio $R$ di un cerchio avente diametro $d$ è

R = \frac{d}{2} .

Raggio dalla circonferenza

Il raggio $R$ di un cerchio avente circonferenza $C$ è

R = \frac{C}{2 π} .

Raggio del cerchio

Il raggio $R$ di un cerchio avente area $A$ è

R = \sqrt{\frac{A}{π}} .

Il raggio $R$ della circonferenza che attraversa tre punti non collineari $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ è dato da

R = \frac{| \vec{O P_{1}} - \vec{O P_{3}} |}{2 \sin θ},

dove $θ$ è l'angolo $∠ P_{1} P_{2} P_{3} .$ La formula è calcolata utilizzando il teorema dei seni.

Con riferimento alla figura a destra, lo stesso raggio $R$ può anche essere espresso nel modo seguente:

R = \frac{a}{2 \sin α},

dove $a$ indica la lunghezza del segmento di estremi $B$ e $C,$ mentre $α$ è l'angolo $∠ B A C .$

Pertanto, se consideriamo tre punti di coordinate $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ e $(x_{3}, y_{3}),$ il raggio della circonferenza che li attraversa è dato da:

R = \frac{\sqrt{((x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}) ((x_{2} - x_{3})^{2} + (y_{2} - y_{3})^{2}) ((x_{3} - x_{1})^{2} + (y_{3} - y_{1})^{2})}}{2 | x_{1} y_{2} + x_{2} y_{3} + x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3} - x_{2} y_{1} - x_{3} y_{2} |} .

Raggio dell'ellisse

Il raggio medio $R$ di un'ellisse è definito come il raggio di un cerchio di area (superficie) uguale a quella dell'ellisse.

È uguale alla radice quadrata del prodotto dei due semiassi dell'ellisse:

R = \sqrt{a b} = a \sqrt[4]{1 - e^{2}} .

Si definisce cerchio principale di un'ellisse, il cerchio con centro nel centro dell'ellisse e di raggio $a,$ uguale al semiasse maggiore dell'ellisse.

Si definisce cerchio secondario di un'ellisse, il cerchio con centro nel centro dell'ellisse e di raggio $b,$ uguale al semiasse minore dell'ellisse.

Raggio del poligono

Il raggio di un poligono regolare è il segmento che unisce il centro a uno dei suoi vertici. Pertanto, la lunghezza di tale segmento è uguale al raggio della circonferenza circoscritta al poligono.

Il raggio $R$ di un poligono di $n$ lati di lunghezza $a_{n}$ ciascuno, è dato da:

R = \sqrt{\frac{(a_{n})^{2}}{2 - 2 \cos (2 π / n)}} = \frac{a_{n}}{2 \sin (π / n)} .

Il raggio in funzione della lunghezza dell'apotema $h$ , è dato da:

R = \frac{h}{\cos (π / n)} .

Raccogliendo tutte le costanti (nella prima delle due formule), si può scrivere che il raggio $R$ del poligono è $R = R (a_{n}, n)$ , ed è dato da $R = r_{n} a_{n},$ con $r_{n} = 1 / (2 \sin \frac{π}{n}) .$