Faktorijel

Prvih 15 faktorijela

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000

U matematici, faktorijel ili faktorijela prirodnog broja n je umnožak svih prirodnih brojeva manjih ili jednakih n.

Faktorijeli se koriste u kombinatorici, algebri te matematičkoj analizi.

Notaciju n! uveo je Christian Kramp 1808.

Definicija

Definicija faktorijela za prirodne brojeve:

$n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i$

Dodatno je definirano:

$0!=1$.

Primjeri

$1!=1$

$2!=1\cdot 2=2$

$5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$

$80!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 79\cdot 80\approx 7.1569457\cdot 10^{118}$

Osnovna svojstva

Za faktorijele vrijedi rekurzivna relacija:

$n!=n\cdot (n-1)!\qquad ,n\geq 1$.

Faktorijeli brojeva većih od 1 su uvijek parni brojevi jer svaki broj pomnožen brojem 2, tj. bilo kojim parnim brojem, je paran broj.

Približno računanje faktorijela

Faktorijel relativno brzo raste što može predstavljati praktično ograničenje kod njegovog računanja. Na primjer, faktorijel broja 70 prelazi sto znamenki. Stoga je korisno za velike n koristiti takozvanu Stirlingovu formulu za približno izračunavanje faktorijela:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

Viši faktorijeli

Viši faktorijeli se označavaju ponavljanjem znaka '!', gdje broj ponavljanja označava redni broj višeg faktorijela.

$n!...!=n\cdot (n-m)!...!$ gdje je m redni broj višeg faktorijela.

$z!...!=1$ $z<=1$

Dvostruki faktorijel

Izraz $n!!$ označava dvostruki faktorijel i odnosi se na faktorijel parnih i neparnih brojeva.

Definiraju se na ovaj način:

$n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{za }}n=0{\mbox{ ili }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{za }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.$

Primjerice:

• $6!!=2\cdot 4\cdot 6=48$

ili pak

• $7!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7=105$.

Primorijel

Ako imamo prirodni broj $n>2$ tada je $n\#$ umnožak prostih brojeva koji ne premašuju $n$. Izraz $n\#$ naziva se n primorijela.

Preciznije,

$n\#={\begin{cases}1&{\text{ako}}\ {\text{je}}\ n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{ako}}\ {\text{je}}\ n\ {\text{prost}}\\(n-1)\#&{\text{ako}}\ n\ {\text{nije}}\ {\text{prost}}.\end{cases}}$

Primijetimo da ćemo se, ako je $n$ složen, pri računanju spuštati dok ne dođemo do prvog prostog broja. Zatim ćemo taj prosti broj zapisati u umnošku i opet se dalje spuštati do prvog manjeg prostog broja, pa zatim množimo onaj veći prosti broj s idućim manjim, i opet se spuštamo, itd. Time ćemo u konačnici zaista dobiti umnožak prostih brojeva manjih od $n$.

Evo kako bi tekao račun za $9\#$.

Dakle, $9\#=8\#=7\#$ i sada računamo $7\cdot 6\#=7\cdot 5\#=7\cdot 5\cdot 4\#$ i tako dalje sve do $7\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\#$. Kako je po definiciji $1\#=1$ slijedi $9\#=210$.

Lijevi faktorijel

Hrvatski matematičar Svetozar Kurepa (1907. – 1993.) objavio je 1971. godine definiciju lijevog faktorijela: $!n=0!+1!+...+(n-1)!$ te postavio hipotezu, koja je i dalje otvorena, da je najveći zajednički djelitelj od $!n$ i $n!$ za sve $n\geq 2$ broj 2.

Vidi još

• Binomni koeficijent