Función diferenciábel

En matemáticas, unha función diferenciábel dunha variábel real é unha función cuxa derivada existe en cada punto do seu dominio. Unha función diferenciábel é suave (a función está localmente ben aproximada como unha función linear en cada punto interior) e non contén ningún salto ou cúspide.

Se $x 0$ é un punto interior no dominio dunha función $f$ , entón $f$ dise que é diferenciábel en $x 0$ se a derivada $f^{'} (x_{0})$ existe. $f$ dise que é continuamente diferenciábel se a súa derivada é tamén unha función continua sobre o dominio da función $f$ . En xeral, $f$ dise que é de clase $C^{k}$ se as súas primeiras $k$ derivadas $f^{'} (x), f^{″} (x), \dots, f^{(k)} (x)$ existen e son continuas sobre o dominio da función $f$ .

Para unha función multivariábel, como se mostra embaixo, a diferenciabilidade é algo máis complexa que a existencia das derivadas parciais.

Diferenciabilidade de funcións reais dunha variábel

Unha función $f : U \to ℝ$ , definida nun conxunto aberto $U \subset ℝ$ , dise que é diferenciábel en $a \in U$ se a derivada

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

existe. Isto implica que a función é continua en $a$ .

Esta función $f$ dise que é diferenciábel en $U$ se é diferenciábel en cada punto de $U$ . Neste caso, a derivada de $f$ é así unha función de $U$ en $ℝ .$

Unha función dise que é continuamente diferenciábel se a súa derivada é tamén unha función continua; existen funcións que son diferenciábeis mais non continuamente diferenciábeis (un exemplo dase na sección Clases de diferenciabilidade).

Diferenciabilidade e continuidade

Véxase tamén: Función continua.

Se $f$ é diferenciábel nun punto $x 0$ , entón $f$ debe tamén ser continua en $x 0$ . En particular, calquera función diferenciábel debe ser continua en cada punto do seu dominio. O contrario non é certo: unha función continua non ten por que ser diferenciábel. Por exemplo, unha función cunha curva, cúspide ou tanxente vertical pode ser continua, pero non ser diferenciábel no lugar da anomalía.

A maioría das funcións que aparecen na práctica teñen derivadas en todos os puntos ou en case todos os puntos. O primeiro exemplo coñecido dunha función que é continua en todas partes pero non diferenciábel en ningunha parte é a función de Weierstrass.^[1]

Clases de diferenciabilidade

Artigo principal: Suavidade.

Unha función $f$ dise que é continuamente diferenciábel se a derivada $f^{'} (x)$ existe e é ela mesma unha función continua. Aínda que a derivada dunha función diferenciábel nunca ten unha descontinuidade de salto, é posíbel que a derivada teña unha descontinuidade esencial. Por exemplo, a función $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} \sin (1 / x) & se x \neq 0 \\ 0 & se x = 0 \end{matrix}$ é diferenciábel en 0, xa que $f^{'} (0) = lim_{ε \to 0} (\frac{ε^{2} \sin (1 / ε) - 0}{ε}) = 0$ existe. No entanto, para $x \neq 0,$ as regras de diferenciación implican $f^{'} (x) = 2 x \sin (1 / x) - \cos (1 / x),$ que non ten límite cando $x \to 0.$ Así, este exemplo mostra a existencia dunha función que é diferenciábel pero non continuamente diferenciábel (é dicir, a derivada non é unha función continua). Con todo, o teorema de Darboux implica que a derivada de calquera función satisfai a conclusión do teorema do valor intermedio.

De xeito similar a como as funcións continuas se din que son de clase $C^{0},$ as funcións continuamente diferenciábeis ás veces dinse que son de clase $C^{1}$ . Unha función é de clase $C^{2}$ se a primeira e a segunda derivada da función existen e son continuas. Máis xeralmente, unha función dise que é de clase $C^{k}$ se as primeiras $k$ derivadas $f^{'} (x), f^{″} (x), \dots, f^{(k)} (x)$ existen e son continuas. Se as derivadas $f^{(n)}$ existen para todos os enteiros positivos $n,$ a función é suave ou equivalentemente, de clase $C^{\infty} .$

Diferenciabilidade en dimensións superiores

Unha función de varias variábeis reais $f : R m \to R n$ dise que é diferenciábel nun punto $x 0$ se existe unha aplicación linear $J : R m \to R n$ tal que

lim_{𝐡 \to 𝟎} \frac{‖ 𝐟 (𝐱_{𝟎} + 𝐡) - 𝐟 (𝐱_{𝟎}) - 𝐉 (𝐡) ‖_{𝐑^{n}}}{‖ 𝐡 ‖_{𝐑^{m}}} = 0.

Se unha función é diferenciábel en $x 0$ , entón todas as derivadas parciais existen en $x 0$ , e a aplicación linear $J$ vén dada pola matriz jacobiana, unha matriz n × m neste caso.

Se todas as derivadas parciais dunha función existen nunha veciñanza dun punto $x 0$ e son continuas no punto $x 0$ , entón a función é diferenciábel nese punto $x 0$ .

No entanto, a existencia das derivadas parciais (ou mesmo de todas as derivadas direccionais) non garante que unha función sexa diferenciábel nun punto. Por exemplo, a función $f : R 2 \to R$ definida por

f (x, y) = {\begin{matrix} x & se y \neq x^{2} \\ 0 & se y = x^{2} \end{matrix}

non é diferenciábel en $(0, 0)$ , pero todas as derivadas parciais e direccionais existen neste punto. Para un exemplo continuo, a función

f (x, y) = {\begin{matrix} y^{3} / (x^{2} + y^{2}) & se (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & se (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

non é diferenciábel en $(0, 0)$ , mais de novo todas as derivadas parciais e direccionais existen.

Véxase tamén: Cálculo multivariábel e Suavidade.

Diferenciabilidade en análise complexa

Artigo principal: Función holomorfa.

En análise complexa, a diferenciabilidade complexa defínese usando a mesma definición que as funcións reais dunha variábel. Isto é debido á posibilidade de dividir números complexos. Así, unha función $f : ℂ \to ℂ$ dise que é diferenciábel en $x = a$ cando

f^{'} (a) = lim_{\underset{h \in ℂ}{h \to 0}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .

Aínda que esta definición parece similar á diferenciabilidade das funcións reais dunha variábel, é unha condición máis restritiva. Unha función $f : ℂ \to ℂ$ , que é complexo-diferenciábel nun punto $x = a$ , é automaticamente diferenciábel nese punto, cando se ve como unha función $f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ . Isto débese a que a diferenciabilidade complexa implica que

lim_{\underset{h \in ℂ}{h \to 0}} \frac{| f (a + h) - f (a) - f^{'} (a) h |}{| h |} = 0.

No entanto, unha función $f : ℂ \to ℂ$ pode ser diferenciábel como unha función multivariábel, mentres non é complexo-diferenciábel. Por exemplo, $f (z) = \frac{z + \overline{z}}{2}$ é diferenciábel en cada punto, vista como a función real de 2 variábeis $f (x, y) = x$ , mais non é complexo-diferenciábel en ningún punto porque o límite ${lim}_{h \to 0} \frac{h + \bar{h}}{2 h}$ non existe (o límite depende do ángulo de aproximación).

Calquera función que é complexo-diferenciábel nunha veciñanza dun punto chámase holomorfa nese punto. Tal función é necesariamente infinitamente diferenciábel, e de feito analítica.

Funcións diferenciábeis en variedades

Véxase tamén: Variedade diferenciábel.

Se M é unha variedade diferenciábel, unha función real ou complexa f en M dise que é diferenciábel nun punto p se é diferenciábel en relación a algún (ou calquera) carta de coordenadas definida arredor de p. Se M e N son variedades diferenciábeis, unha función f: M → N dise que é diferenciábel nun punto p se é diferenciábel en relación a algún (ou calquera) carta de coordenadas definida arredor de p e f(p).

Notas

↑ Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia Math. 3 (1): 174–179. doi:10.4064/sm-3-1-174-179. . Citado por Hewitt, E; Stromberg, K (1963). Real and abstract analysis. Springer-Verlag. Theorem 17.8.

Véxase tamén

Outros artigos

[1] Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia Math. 3 (1): 174–179. doi:10.4064/sm-3-1-174-179. . Citado por Hewitt, E; Stromberg, K (1963). Real and abstract analysis. Springer-Verlag. Theorem 17.8.

[1]