গাণিতিক কাম্যতমকরণ

গণিত, কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং অর্থশাস্ত্রে কাম্যতমকরণ (ইংরেজি: Optimization) বা গাণিতিক প্রোগ্রামিং বলতে কোনো সেটে বিদ্যমান অনেকগুলো বিকল্প থেকে সবচেয়ে ভালো বা সর্বোচ্চ সন্তুষ্টি প্রদানকারী বিকল্পটি বেছে নেওয়াকে বোঝায়।

সাধারণত এটি এমন সব সমস্যা নিয়ে গবেষণাকে বোঝায়, যেখানে একটি নির্দিষ্ট সেট থেকে বাস্তব বা পূর্ণসংখ্যা চলকের মান সুশৃঙ্খলভাবে নির্বাচনের মাধ্যমে কোনো বাস্তব ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান বের করার চেষ্টা করা হয়।

অপ্টিমাইজেশন সমস্যা

অপ্টিমাইজেশন সমস্যাগুলোকে চলকগুলো অবিচ্ছিন্ন নাকি বিচ্ছিন্ন, তার ওপর ভিত্তি করে দুটি ভাগে ভাগ করা যায়:

বিচ্ছিন্ন চলকবিশিষ্ট অপ্টিমাইজেশন সমস্যাকে বিচ্ছিন্ন অপ্টিমাইজেশন বলা হয়। এতে একটি গণনাযোগ্য সেট থেকে পূর্ণসংখ্যা, বিন্যাস বা গ্রাফের মতো কোনো গাণিতিক বস্তু খুঁজে বের করতে হয়।
অবিচ্ছিন্ন চলকবিশিষ্ট সমস্যাকে অবিচ্ছিন্ন অপ্টিমাইজেশন বলা হয়, যেখানে একটি অবিচ্ছিন্ন সেট থেকে কাম্য যুক্তিগুলো (optimal arguments) খুঁজে বের করতে হয়। এর মধ্যে সীমাবদ্ধ সমস্যা এবং মাল্টিমোডাল সমস্যা অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে।

একটি অপ্টিমাইজেশন সমস্যাকে নিচের উপায়ে উপস্থাপন করা যায়:

প্রদত্ত: কোনো সেট

A

থেকে বাস্তব সংখ্যার সেটে একটি ফাংশন

f : A \to ℝ

নির্ণেয়:

x 0 \in A

এমন একটি উপাদান, যেন সমস্ত

x \in A

-এর জন্য

f (x) \geq f (x) 0

হয় ("সর্বনিম্নকরণ") অথবা

f (x) \leq f (x) 0

হয় ("সর্বোচ্চকরণ")।

এই ধরনের বিন্যাসকে অপ্টিমাইজেশন সমস্যা বা গাণিতিক প্রোগ্রামিং সমস্যা বলা হয়। এই পরিভাষাটি কম্পিউটার প্রোগ্রামিংয়ের সাথে সরাসরি সম্পর্কিত নয়, তবে রৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের মতো ক্ষেত্রে এটি বহুল ব্যবহৃত (নিচে ইতিহাস দেখুন)। অনেক বাস্তব ও তাত্ত্বিক সমস্যাকে এই সাধারণ কাঠামোর মাধ্যমে মডেল করা সম্ভব।

যেহেতু নিচের সম্পর্কটি বৈধ:

f (𝐱_{0}) \geq f (𝐱) \Leftrightarrow - f (𝐱_{0}) \leq - f (𝐱),

তাই কেবল সর্বনিম্নকরণ সমস্যা সমাধান করাই যথেষ্ট। তবে বিপরীতভাবে কেবল সর্বোচ্চকরণ সমস্যা বিবেচনা করাও বৈধ।

পদার্থবিজ্ঞানের ক্ষেত্রে এই কৌশলে তৈরি সমস্যাগুলোকে অনেক সময় শক্তি সর্বনিম্নকরণ বলা হয়।^[১] এখানে ফাংশন $f$ -এর মানকে মডেলকৃত সিস্টেমের শক্তি হিসেবে বিবেচনা করা হয়। মেশিন লার্নিংয়ে, একটি কস্ট ফাংশন ব্যবহার করে ডেটা মডেলের গুণমান ক্রমাগত মূল্যায়ন করা প্রয়োজন, যেখানে সর্বনিম্ন মানটি সম্ভাব্য কাম্য প্যারামিটার এবং কাম্য (সর্বনিম্ন) ত্রুটিকে নির্দেশ করে।

সাধারণত $A$ হলো ইউক্লিডীয় স্থান $ℝ^{n}$ -এর একটি উপসেট, যা প্রায়শই কিছু সীমাবদ্ধতা, সমতা বা অসমতার মাধ্যমে নির্দিষ্ট করা থাকে। $f$ -এর ডোমেইন $A$ -কে 'অনুসন্ধান স্থান' বা 'পছন্দের সেট' বলা হয়, আর $A$ -এর উপাদানগুলোকে 'সম্ভাব্য সমাধান' বলা হয়।

ফাংশন $f$ -কে বিভিন্ন ক্ষেত্রে 'অবজেক্টিভ ফাংশন', 'ক্রাইটেরিয়ন ফাংশন', 'লস ফাংশন', 'কস্ট ফাংশন' (সর্বনিম্নকরণের ক্ষেত্রে),^[২] 'ইউটিলিটি ফাংশন' বা 'ফিটনেস ফাংশন' (সর্বোচ্চকরণের ক্ষেত্রে) অথবা কোনো কোনো ক্ষেত্রে 'এনার্জি ফাংশন' বা 'এনার্জি ফাংশনাল' বলা হয়। একটি সম্ভাব্য সমাধান যা অবজেক্টিভ ফাংশনকে সর্বনিম্ন (বা সর্বোচ্চ) করে, তাকে 'কাম্য সমাধান' বলা হয়।

গণিতে প্রচলিত অপ্টিমাইজেশন সমস্যাগুলো সাধারণত সর্বনিম্নকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।

একটি 'স্থানীয় সর্বনিম্ন' $x *$ হলো এমন একটি উপাদান, যার জন্য এমন একটি $δ > 0$ বিদ্যমান যে:

\forall 𝐱 \in A where ‖ 𝐱 - 𝐱^{*} ‖ \leq δ,

এই শর্তে $f (x *) \leq f (x)$ সম্পর্কটি সত্য হয়। অর্থাৎ, $x *$ -এর আশেপাশের অঞ্চলে ফাংশনের সমস্ত মান ওই বিন্দুটির মানের চেয়ে বড় বা সমান। স্থানীয় সর্বোচ্চের সংজ্ঞা একইভাবে দেওয়া হয়।

স্থানীয় সর্বনিম্ন বিন্দু আশেপাশের যেকোনো বিন্দুর চেয়ে ভালো হলেও, একটি বৈশ্বিক সর্বনিম্ন বিন্দু সমস্ত সম্ভাব্য উপাদানের চেয়ে ভালো বা সমান হয়। সাধারণত, যদি অবজেক্টিভ ফাংশনটি সর্বনিম্নকরণ সমস্যার ক্ষেত্রে উত্তল না হয়, তবে সেখানে একাধিক স্থানীয় সর্বনিম্ন বিন্দু থাকতে পারে। একটি উত্তল সমস্যায়, যদি কোনো স্থানীয় সর্বনিম্ন বিন্দু ডোমেইনের অভ্যন্তরে থাকে, তবে সেটিই বৈশ্বিক সর্বনিম্ন বিন্দু। কিন্তু একটি নন-কনভেক্স বা অ-উত্তল সমস্যায় একাধিক স্থানীয় সর্বনিম্ন বিন্দু থাকতে পারে, যার সবগুলো বৈশ্বিক সর্বনিম্ন নাও হতে পারে।

অ-উত্তল সমস্যা সমাধানের জন্য প্রস্তাবিত অনেক অ্যালগরিদম—যার মধ্যে বাণিজ্যিকভাবে উপলব্ধ অধিকাংশ সলভার অন্তর্ভুক্ত—স্থানীয় এবং বৈশ্বিক কাম্য সমাধানের মধ্যে পার্থক্য করতে পারে না। তারা স্থানীয় সমাধানগুলোকেই মূল সমস্যার সমাধান হিসেবে গণ্য করে। বৈশ্বিক অপ্টিমাইজেশন হলো ফলিত গণিত ও সাংখ্যিক বিশ্লেষণের একটি শাখা, যা এমন নির্ণায়ক অ্যালগরিদম তৈরির কাজ করে, যা সসীম সময়ের মধ্যে অ-উত্তল সমস্যার প্রকৃত কাম্য সমাধানে পৌঁছানোর নিশ্চয়তা দিতে পারে।

ইতিহাস

কাম্যতমকরণের প্রাচীনতম কৌশলগুলোর মধ্যে একটি হলো গাউসের ঢালুতম-অবতরণ পদ্ধতি। ঐতিহাসিকভাবে কাম্যতমকরণের গবেষণার একটি বড় অংশ রৈখিক বিশ্লেষণ তথা রৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের সাথে জড়িত। ১৯৪৭ সালে জর্জ ডানৎসিখের উদ্ভাবিত সিম্প্লেক্স অ্যালগরিদম রৈখিক প্রোগ্রামিং গবেষণার একটি মাইলফলক হিসেবে বিবেচিত হয়।

নিচে কাম্যতমকরণ গবেষণায় গুরুত্বপূর্ণ অবদান রাখা গণিতবিদদের একটি তালিকা দেওয়া হলো:

প্রধান শাখাক্ষেত্রসমূহ

উত্তল প্রোগ্রামিংয়ের মূল বিষয় হলো উত্তল লক্ষ্য ফাংশন, যার সীমাবদ্ধতাগুলো একটি উত্তল সেট তৈরি করে। উত্তল প্রোগ্রামিংকে অরৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের একটি বিশেষ শাখা এবং রৈখিক সমস্যা ও উত্তল দ্বিঘাত প্রোগ্রামিংয়ের সাধারণ রূপ হিসেবে দেখা হয়।
- রৈখিক প্রোগ্রামিং হলো একধরনের উত্তল সমস্যা, যেখানে লক্ষ্য ফাংশনটি রৈখিক এবং সীমাবদ্ধতাগুলোকে কেবল রৈখিক সমতা বা অসমতা দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এই সেটটি সীমিত হলে তা একটি বহুতলকের আকার ধারণ করে।
- দ্বিতীয় ক্রমের কোণক প্রোগ্রামিংয়ে বিশেষ ধরনের দ্বিঘাত সমস্যা নিয়ে আলোচনা করা হয়।
- প্রায়নির্ধারিত প্রোগ্রামিং (semidefinite programming) হলো উত্তল প্রোগ্রামিংয়ের একটি শাখা, যেখানে চলকগুলো হলো প্রায়নির্ধারিত ম্যাট্রিক্স।
- কোণক প্রোগ্রামিং হলো উত্তল প্রোগ্রামিংয়ের একটি সাধারণ শাখা। রৈখিক, দ্বিতীয় ক্রমের কোণক এবং প্রায়নির্ধারিত প্রোগ্রামিং—এই প্রত্যেকটিকেই কোণক প্রোগ্রামিংয়ের বিশেষ রূপ হিসেবে দেখা যায়।
- জ্যামিতিক প্রোগ্রামিং হলো একধরনের কাম্যতমকরণ কৌশল, যেখানে লক্ষ্য এবং অসমতা ফাংশনগুলো পসিনমিয়াল এবং সমতা ফাংশনগুলো মনমিয়াল। জ্যামিতিক প্রোগ্রামিংকে সরাসরি উত্তল প্রোগ্রামিং আকারে সমাধান করা না গেলেও, সেটিকে উত্তল প্রোগ্রামিং সমস্যায় রূপান্তর করা সম্ভব।
পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিং হলো রৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের একটি ধরন, যেখানে কিছু বা সবগুলো চলক কেবল পূর্ণসংখ্যায় মান গ্রহণ করে। এর ফলে সমস্যাটি আর উত্তল প্রোগ্রামিংয়ের আওতায় থাকে না এবং সাধারণ রৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের তুলনায় এটি সমাধান করা বেশ কঠিন।
দ্বিঘাত প্রোগ্রামিংয়ে লক্ষ্য ফাংশনটি দ্বিঘাতবিশিষ্ট হয় এবং সমতা ও অসমতাগুলো রৈখিক থাকে। দ্বিঘাত পদটির বিশেষ একটি আকারের ক্ষেত্রে সমস্যাটি একটি উত্তল প্রোগ্রামিং সমস্যায় পরিণত হয়।
অরৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের গবেষণায় এমন সমস্যা নিয়ে আলোচনা করা হয়, যেখানে লক্ষ্য ফাংশন বা সীমাবদ্ধতা—অথবা উভয়ই—অরৈখিক হয়।
অনির্ধারিত প্রোগ্রামিং গবেষণায় এমন সমস্যা বিবেচনা করা হয়, যেখানে সীমাবদ্ধতা বা প্যারামিটারগুলো দৈব চলকের ওপর নির্ভর করে।
রোবাস্ট প্রোগ্রামিং অনির্ধারিত প্রোগ্রামিংয়ের মতোই কাম্যতমকরণ সমস্যার উপাত্তের অনিশ্চয়তা নিয়ে কাজ করে। তবে এখানে দৈব চলক বিবেচনা না করে উপাত্তের ত্রুটিকে গুরুত্ব দিয়ে সমস্যার সমাধান করা হয়।
কম্বিনেটোরিয়াল সেরাঅনুকুলকরণ
অসীমমাত্রিক সেরাঅনুকুলকরণ
অধি-আবিষ্করণী (Metaheuristic) গবেষণায় সমস্যার ব্যাপারে খুব সামান্য অনুমান করা হয় এবং এ ধরনের কৌশল সমাধান-ক্ষেত্রের বিশাল অঞ্চলে অনুসন্ধান চালাতে পারে। তবে অধি-আবিষ্করণী পদ্ধতি সর্বদা সর্বোত্তম সমাধান পাওয়ার নিশ্চয়তা দেয় না।

সীমাবদ্ধতা সন্তুষ্টি সেই ক্ষেত্রটি নিয়ে অধ্যয়ন করে যেখানে উদ্দেশ্য ফাংশন f ধ্রুবক থাকে। এটি কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা-এ, বিশেষত স্বয়ংক্রিয় যুক্তি নির্ণয়-এ ব্যবহৃত হয়।
- সীমাবদ্ধতা প্রোগ্রামিং।
বিচ্ছিন্ন প্রোগ্রামিং এমন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয় যেখানে অন্তত একটি সীমাবদ্ধতা অবশ্যই সন্তুষ্ট হতে হবে, কিন্তু সবগুলো নয়। সময়সূচি নির্ধারণে এটি বিশেষভাবে কার্যকর।

কিছু উপক্ষেত্রে কৌশলগুলো মূলত গতিশীল প্রেক্ষাপটে অপ্টিমাইজেশনের জন্য নকশা করা হয়; অর্থাৎ সময়ের সাথে সিদ্ধান্ত গ্রহণের জন্য:

পরিবর্তনশীলতার ক্যালকুলাস সময়ের বিভিন্ন বিন্দু জুড়ে সংজ্ঞায়িত একটি উদ্দেশ্যকে অপ্টিমাইজ করতে চায়, যেখানে পছন্দের পথের সামান্য পরিবর্তন হলে উদ্দেশ্য ফাংশন কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা বিবেচনা করা হয়।
সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব হলো পরিবর্তনশীলতার ক্যালকুলাসের একটি সাধারণীকরণ।
গতিশীল প্রোগ্রামিং সেই ক্ষেত্রটি নিয়ে অধ্যয়ন করে যেখানে অপ্টিমাইজেশন কৌশল সমস্যাটিকে ছোট ছোট উপসমস্যায় বিভক্ত করার ওপর ভিত্তি করে কাজ করে। এই উপসমস্যাগুলোর পারস্পরিক সম্পর্ক বর্ণনাকারী সমীকরণকে বেলম্যান সমীকরণ বলা হয়।
সমতাবস্থা সীমাবদ্ধতাসহ গাণিতিক প্রোগ্রামিং হলো এমন ক্ষেত্র যেখানে সীমাবদ্ধতার মধ্যে পরিবর্তনমূলক অসমতা বা পরিপূরকতা অন্তর্ভুক্ত থাকে।

বহু-উদ্দেশ্য অপ্টিমাইজেশন

একটি অপ্টিমাইজেশন সমস্যায় একাধিক উদ্দেশ্য যোগ করলে জটিলতা বৃদ্ধি পায়। উদাহরণস্বরূপ, কোনো কাঠামোগত নকশা অপ্টিমাইজ করার সময় আপনি এমন একটি নকশা চাইতে পারেন যা একই সঙ্গে হালকা এবং দৃঢ়। যেহেতু এই দুটি উদ্দেশ্য পরস্পরবিরোধী, তাই এখানে একটি সমঝোতা বা ট্রেড-অফ বিদ্যমান। একটি সবচেয়ে হালকা নকশা, একটি সবচেয়ে দৃঢ় নকশা এবং ওজন ও দৃঢ়তার মধ্যে ভারসাম্যপূর্ণ অসংখ্য নকশা থাকতে পারে। এই সমঝোতামূলক নকশাগুলোর সেটকে প্যারেটো সেট বলা হয়। সেরা নকশাগুলোর ওজনের বিপরীতে দৃঢ়তা চিত্রিত করলে যে বক্ররেখা তৈরি হয়, তাকে প্যারেটো ফ্রন্টিয়ার বলা হয়।

কোনো নকশাকে প্যারেটো সর্বোত্তম বলা হয় যদি সেটি অন্য কোনো নকশা দ্বারা অধীনস্থ না হয়। একটি প্যারেটো সর্বোত্তম নকশাকে অন্তত একটি দিক থেকে অন্য কোনো নকশার চেয়ে ভালো হতে হবে। যদি কোনো নকশা সব দিক থেকেই অন্য কোনো নকশার চেয়ে খারাপ হয়, তবে সেটি অধীনস্থ এবং প্যারেটো সর্বোত্তম নয়।

বহু-মোডাল অপ্টিমাইজেশন

অপ্টিমাইজেশন সমস্যাগুলো প্রায়ই বহু-মোডাল হয়; অর্থাৎ এগুলোর একাধিক ভালো সমাধান থাকে। এগুলো সবই বৈশ্বিকভাবে ভালো হতে পারে (অর্থাৎ একই কস্ট ফাংশন মান থাকে), অথবা বৈশ্বিকভাবে ভালো ও স্থানীয়ভাবে ভালো সমাধানের মিশ্রণ থাকতে পারে। এই একাধিক সমাধানের সবগুলো, অথবা অন্তত কিছু অংশ খুঁজে বের করাই বহু-মোডাল অপ্টিমাইজারের লক্ষ্য।

ক্লাসিক্যাল অপ্টিমাইজেশন কৌশলগুলো তাদের পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতির কারণে একাধিক সমাধান পাওয়ার ক্ষেত্রে সবসময় কার্যকর হয় না, কারণ অ্যালগরিদমটি একাধিকবার চালালেও এবং ভিন্ন ভিন্ন প্রারম্ভিক বিন্দু ব্যবহার করলেও ভিন্ন ভিন্ন সমাধান পাওয়া যাবে—এমন নিশ্চয়তা নেই। তবে বিবর্তনীয় অ্যালগরিদমগুলো বহু-মোডাল অপ্টিমাইজেশন কাজে একাধিক সমাধান পাওয়ার জন্য বেশ জনপ্রিয়। দেখুন বিবর্তনীয় বহু-মোডাল অপ্টিমাইজেশন।

তথ্যসূত্র

↑ Hartmann, Alexander K; Rieger, Heiko (২০০২)। Optimization algorithms in physics। Citeseer।
↑ Erwin Diewert, W. (২০১৭), "Cost Functions", The New Palgrave Dictionary of Economics (ইংরেজি ভাষায়), London: Palgrave Macmillan UK, পৃ. ১–১২, ডিওআই:10.1057/978-1-349-95121-5_659-2, আইএসবিএন ৯৭৮-১-৩৪৯-৯৫১২১-৫, সংগ্রহের তারিখ ১৮ আগস্ট ২০২৪

[1] Hartmann, Alexander K; Rieger, Heiko (২০০২)। Optimization algorithms in physics। Citeseer।

[2] Erwin Diewert, W. (২০১৭), "Cost Functions", The New Palgrave Dictionary of Economics (ইংরেজি ভাষায়), London: Palgrave Macmillan UK, পৃ. ১–১২, ডিওআই:10.1057/978-1-349-95121-5_659-2, আইএসবিএন ৯৭৮-১-৩৪৯-৯৫১২১-৫, সংগ্রহের তারিখ ১৮ আগস্ট ২০২৪

[১]

[২]

দে স গণিত
যুক্তিবিজ্ঞান এবং গণিতের ভিত্তি	গণিতের ভিত্তি • স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থা • গাণিতিক কূটাভাস • প্রতীকী যুক্তিবিজ্ঞান • স্বতঃসিদ্ধমূলক সেট তত্ত্ব • মডেল তত্ত্ব • অনাদর্শ বিশ্লেষণ • গ্যোডেল সংখ্যা • পুনরাবৃত্ত ফাংশন • সিদ্ধান্ত সমস্যা • গঠনমূলক ক্রমসূচক সংখ্যা • বিশ্লেষণী সেট
সেট, সাধারণ টপোগণিত এবং ক্যাটেগরিসমূহ	সেট • অন্বয় • সমতুল সম্পর্ক • অপেক্ষক • চয়নের স্বতঃসিদ্ধ ও এর সমতুলসমূহ • উপাদান সংখ্যা • সংগঠন • বিন্যাস •সমাবেশ • সংখ্যা • বাস্তব সংখ্যা • জটিল সংখ্যা • ক্রমায়ন • ক্রমসূচুক সংখ্যা • ল্যাটিস • বুলিয়ান বীজগণিত • টপোজগৎ • ম্যাট্রিক্স জগত • সমতল ডোমেন • অভিসৃতি • সংযুক্ততা • মাত্রা তত্ত্ব • সমজগৎ • সমঅভিসৃতি • ক্যাটেগরি ও ফাংটর • আরোহী সীমা ও অভিক্ষেপী সীমা • শিফ
বীজগণিত	বীজগণিত • মেট্রিক্স • নির্ণায়ক • বহুপদী • বীজগাণিতিক সমীকরণ • ফিল্ড • গালোয়া তত্ত্ব • যোগাশ্রয়ী জগৎ • রিং • সহযোগী বীজগণিত • বিনিমেয় রিং • ন্যোথারীয় রিং • বহুপদীর রিং • ঘাত ধারার রিং • দ্বিঘাত ফর্ম • ক্লিফোর্ড বীজগণিত • অন্তরক রিং • ভিট ভেক্টর • মান আরোপন • আদেলীয় বীজগাণিতিক গ্রুপ • কেলি বীজগণিত • জর্ডান বীজগণিত • মডিউল • হোমোলজীয় বীজগণিত • হপ্‌ফ বীজগণিত
গ্রুপ তত্ত্ব	গ্রুপ • আবেলীয় গ্রুপ • মুক্ত গ্রুপ • সসীম গ্রুপ • ধ্রুপদী গ্রুপ • টপোগাণিতিক গ্রুপ • টপোগাণিতিক আবেলীয় গ্রুপ • সংবদ্ধ গ্রুপ • লি গ্রুপ • লি বীজগণিত • বীজগাণিতিক গ্রুপ • সমধর্মী জগৎ • প্রতিসম রীমানীয় জগৎ ও বাস্তব ফর্ম • বিচ্ছিন্ন গ্রুপ • স্ফটিকীয় গ্রুপ • উপস্থাপন • ঐকিক উপস্থাপন • অব্যয় ও সমপরিবর্তিতা
সংখ্যাতত্ত্ব	সংখ্যাতত্ত্ব • অবিরত ভগ্নাংশ • সংখ্যাতাত্ত্বিক ফাংশন • যোগাত্মক সংখ্যা তত্ত্ব • সংখ্যার বিভাজন • মৌলিক সংখ্যার বিন্যাস • ল্যাটিস-বিন্দু সমস্যা • দিওফান্তুসীয় সমীকরণ • সংখ্যার জ্যামিতি • তুরীয় সংখ্যা • দ্বিঘাত ফিল্ড • বীজগাণিতিক সংখ্যা • বীজগাণিতিক সংখ্যা ফিল্ড • শ্রেণী ফিল্ড তত্ত্ব • জটিল গুণন • ফের্মার সমস্যা • স্থানীয় ফিল্ড • সহযোগী বীজগণিতের পাটীগণিত • জেটা ফাংশন
ইউক্লিডীয় এবং অভিক্ষেপী জ্যামিতি	জ্যামিতি • জ্যামিতির ভিত্তি • ইউক্লিডীয় জ্যামিতি • ইউক্লিডীয় জগৎ • জ্যামিতিক অঙ্কন • সুষম বহুভুজ • পাই • ত্রিকোণমিতি • কনিক • চতুর্মাত্রিক তল • উত্তল সেট • ভেক্টর • স্থানাংক • অভিক্ষেপী জ্যামিতি • অ্যাফাইন জ্যামিতি • অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি • সমরূপী জ্যামিতি • এরলাঙেন প্রকল্প • অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতি • বক্ররেখা • তল • চার বর্ণ উপপাদ্য
অন্তরক জ্যামিতি	অন্তরক জ্যামিতি • অন্তুরীকরণযোগ্য প্রজগৎ • রিমানীয় প্রজগৎ • সংযোজন • টেনসর ক্যালকুলাস • প্রভূমিতি • প্রতিসম জগৎ • জি-সংগঠন • জটিল প্রজগৎ • কেলার প্রজগৎ • হারমনিক যোগজ • বক্ররেখা ও তলের অন্তরক জ্যামিতি • রিমানীয় উপ-প্রজগৎ • ন্যূনতম উপ-প্রজগৎ • হারমনিক চিত্রণ • মোর্স তত্ত্ব • ফিন্সলার জগৎ • যোগজ জ্যামিতি • জিগেল ডোমেন • ছদ্মসমরূপী জ্যামিতি • বর্ণালী জ্যামিতি • সামগ্রিক বিশ্লেষণ
বীজগাণিতিক জ্যামিতি	বীজগাণিতিক জ্যামিতি • বীজগাণিতিক বক্ররেখা • বীজগাণিতিক তল • বীজগাণিতিক ভ্যারাইটি • আবেলীয় ভ্যারাইটি • রিমান-রখ উপপাদ্য
টপোগণিত	টপোগণিত • মৌলিক গ্রুপ • আবরক জগৎ • চিত্রণের মাত্রা • কমপ্লেক্স • হোমোলজি তত্ত্ব • স্থির-বিন্দু উপপাদ্য • কোহোমোলজি অপারেশন • হোমোটপি তত্ত্ব • ফাইবার জগৎ • বাধা • লি গ্রুপ ও সমমাত্রিক জগতের টপোগণিত • ফাইবার গুচ্ছ • বিশিষ্ট শ্রেণী • কে-তত্ত্ব • গিঁট তত্ত্ব • গুচ্ছবিন্যাসীয় প্রজগৎ • অন্তরক টপোগণিত • রূপান্তর গ্রুপ • ব্যতিক্রম বিন্দুর তত্ত্ব • ফোলিয়েশন • গতি ব্যবস্থা • আকার তত্ত্ব • বিপর্যয় তত্ত্ব
বিশ্লেষণ গণিত	বিশ্লেষণ গণিত • অবিচ্ছিন্ন ফাংশন • অসমতা • উত্তল বিশ্লেষণ • সীমিত ভেদের ফাংশন • অন্তরকলন • অব্যক্ত ফাংশন • প্রাথমিক ফাংশন • সি-অসীমঘাত ফাংশন ও অর্ধ-বৈশ্লষিক ফাংশন • যোগজকলন • বক্ররৈখিক যোগজ ও পৃষ্ঠ যোগজ • পরিমাপ তত্ত্ব • যোগজীকরণ তত্ত্ব • অব্যয় পরিমাপ • সেট ফাংশন • দৈর্ঘ্য • ক্ষেত্রফল • দঁজোয়া যোগজ • ধারা • অসীমতটীয় ধারা • বহুপদীয় আসন্নীকরণ • লম্ব ফাংশন • ফুরিয়ে ধারা • ফুরিয়ে রূপান্তর • হারমনিক বিশ্লেষণ • প্রায়-পর্যায়বৃত্ত ফাংশন • লাপ্লাস রূপান্তর • যোগজ রূপান্তর • বিভব তত্ত্ব • হারমনিক ফাংশন ও উপহারমনিক ফাংশন • ডিরিশ্‌লেট সমস্যা • ধারকত্ব • ভেদকলন • প্লাতোর সমস্যা • সমপরিসীমা • ভেদ অসমতা
জটিল বিশ্লেষণ	উৎপাদকে বিশ্লেষণ • হলোমর্ফিক ফাংশন • ঘাত ধারা • ডিরিশলেট ধারা • সীমিত ফাংশন • একযোজী ও বহুযোজী ফাংশন • তুরীয় সমগ্র ফাংশন • আনুপাতিক ফাংশন • জটিল ফাংশনের মানসমূহের বিন্যাস • গুচ্ছ সেট • বীজগাণিতিক ফাংশন • অ্যালজেব্রয়ডাল ফাংশন • রিমান তল • আদর্শ সীমানা • সমরূপী চিত্রণ • অর্ধ-সমরূপী চিত্রণ • টাইখম্যুলার জগৎ • ক্লাইনীয় গ্রুপ • চরমমান দৈর্ঘ্য • ফাংশনতাত্ত্বিক শূন্য সেট • জটিল রাশির বিশ্লেষণী ফাংশন • বিশ্লেষণী জগৎ • স্বসমচিত্রণী ফাংশন
ফাংশনাল বিশ্লেষণ	ফাংশনাল বিশ্লেষণ • হিলবার্ট জগৎ • বানাখ জগৎ • ক্রমায়িত যোগাশ্রয়ী জগৎ • টপোগাণিতিক যোগাশ্রয়ী জগৎ • ফাংশন জগৎ • বন্টন ফাংশন ও অতিফাংশন • ভেক্টর-মানকৃত যোগজ • যোগাশ্রয়ী অপারেটর • সংবদ্ধ ও নিউক্লীয় অপারেটর • অপারেটরসমূহের অন্তঃপাতন • অপারেটরের বর্ণালী বিশ্লেষণ • যোগাশ্রয়ী অপারেটরের বিচলন • অপারেটরের সেমিগ্রুপ ও বিবর্তন সমীকরণ • অন্তরক অপারেটর • অণুস্থানীয় বিশ্লেষণ • বানাখ বীজগণিত • ফাংশন বীজগণিত • অপারেটর বীজগণিত • অপারেশনাল ক্যালকুলাস • অ-যোগাশ্রয়ী ফাংশনাল বিশ্লেষণ
অন্তরক, যোগজ এবং ফাংশনাল সমীকরণসমূহ	অন্তরক সমীকরণ • সাধারণ অন্তরক সমীকরণ • আদিমান সমস্যা • সীমাস্থ মান সমস্যা • সমাধানের অসীমতটীয় আচরণ • যোগাশ্রয়ী সাধারণ অন্তরক সমীকরণ • অ-যোগাশ্রয়ী অন্তরক সমীকরণ • অ-যোগাশ্রয়ী দোলন • অ-যোগাশ্রয়ী সমস্যাসমূহ • সুস্থিতি • যোগজ অব্যয় • অন্তর সমীকরণ • ফাংশনাল-অন্তরক সমীকরণ • পূর্ণ অন্তরক সমীকরণ • স্পর্শ রূপান্তর • আংশিক অন্তরক সমীকরণ • মোঁজ-অম্পেয়্যার সমীকরণ • উপবৃত্তীয় ধরনের আংশিক অন্তরক সমীকরণ • অধিবৃত্তীয় ধরনের আংশিক অন্তরক সমীকরণ • পরাবৃত্তীয় ধরনের আংশিক অন্তরক সমীকরণ • মিশ্র ধরনের আংশিক অন্তরক সমীকরণ • গ্রিনের ফাংশন • গ্রিনের অপারেটর • যোগজকলনীয় সমীকরণ • যোগজ-অন্তরক সমীকরণ • বিশেষ ফাংশনাল সমীকরণ • ছদ্ম-অন্তরক অপারেটর
বিশেষ ফাংশনসমূহ	বিশেষ ফাংশন • সৃজক ফাংশন • উপবৃত্তীয় ফাংশন • গামা ফাংশন • অধিজ্যামিতিক ফাংশন • গোলকীয় ফাংশন • সম্মিলিত অধিজ্যামিতিক ফাংশন • বেসেল ফাংশন • উপগোলকীয় ফাংশন • মাতিও ফাংশন
সাংখ্যিক বিশ্লেষণ	সাংখ্যিক পদ্ধতি • অন্তঃপাতন • ত্রুটি বিশ্লেষণ • আইগেনমানের সাংখ্যিক গণনা • সাংখ্যিক যোগজীকরণ • অ্যানালগ গণনা • ফাংশনের মূল্যায়ন
কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং গুচ্ছবিন্যাস তত্ত্ব	স্বয়ংক্রিয়ক • কম্পিউটার • কোডিং তত্ত্ব • সাইবারনেটিক্‌স • দৈব সংখ্যা • সিমুলাশন • উপাত্ত প্রক্রিয়াকরণ • জীববিজ্ঞানে ব্যবহৃত গাণিতিক মডেলসমূহ • গণনার জটিলতা • গুচ্ছবিন্যাস তত্ত্ব • লাতিন বর্গ • গ্রাফ তত্ত্ব
সম্ভাবনা তত্ত্ব	সম্ভাবনা তত্ত্ব • সম্ভাবনা পরিমাপ • সম্ভাবনা তত্ত্বের সীমা উপপাদ্য • সম্ভাবনাযুক্ত প্রক্রিয়া • মার্কভ প্রক্রিয়া • মার্কভ শৃঙ্খল • ব্রাউনীয় চলন • ব্যাপন প্রক্রিয়া • যোগাত্মক প্রক্রিয়া • শাখায়ন প্রক্রিয়া • মার্টিংগেল • স্থিতিশীল প্রক্রিয়া • গাউসীয় প্রক্রিয়া • সম্ভাবনাযুক্ত অন্তরক সমীকরণ • আর্গডিক তত্ত্ব • সম্ভাবনাযুক্ত নিয়ন্ত্রণ • সম্ভাবনাযুক্ত শোধন • পরিসংখ্যানিক বলবিজ্ঞানের সম্ভাবনাভিত্তিক পদ্ধতি
পরিসংখ্যান	পরিসংখ্যানিক উপাত্ত বিশ্লেষণ • পরিসংখ্যানিক অনু্মান • পরিসংখ্যা • নমুনায়ন বিন্যাস • পরিসংখ্যানিক মডেল • পরিসংখ্যানিক সিদ্ধান্ত ফাংশন • পরিসংখ্যানিক মূল্যায়ন • পরিসংখ্যানিক অনুকল্প পরীক্ষণ • বহুচলকীয় বিশ্লেষণ • রোবাস্ট পদ্ধতি • অপরামিতিক পদ্ধতি • সময় ধারা বিশ্লেষণ • পরীক্ষাসমূহের ডিজাইন • নমুনা জরিপ • পরিসংখ্যানিক মান নিয়ন্ত্রণ • অর্থমিতি • জীবমিতি • মনোমিতি • ইন্সুরেন্স গণিত
গাণিতিক প্রোগ্রামিং এবং অপারেশন গবেষণা	গাণিতিক প্রোগ্রামিং • যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামিং • দ্বিঘাত প্রোগ্রামিং • অ-যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামিং • নেটওয়ার্ক প্রবাহ সমস্যা • পূর্ণ সংখ্যা প্রোগ্রামিং • সম্ভাবনাযুক্ত প্রোগ্রামিং • গতিশীল প্রোগ্রামিং • ক্রীড়া তত্ত্ব • অন্তরক ক্রীড়া • নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব • তথ্য তত্ত্ব • অপারেশন গবেষণা • মজুতভাণ্ডার নিয়ন্ত্রণ • তফসিলীকরণ ও উৎপাদন পরিকল্পনা
বলবিজ্ঞান এবং তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান	এককের ব্যবস্থাসমূহ • মাত্রিক বিশ্লেষণ • ভেদ বিশ্লেষণ • বলবিজ্ঞান • গোলকীয় জ্যোতির্বিজ্ঞান • নভোমণ্ডলীয় বলবিজ্ঞান • কক্ষপথ নির্ণয় • n-বস্তু সমস্যা • উদগতিবিজ্ঞান • উদগতিবৈজ্ঞানিক সমীকরণ • চৌম্বক-উদগতিবিজ্ঞান • আলোড়ন ও বিশৃঙ্খলা • তরঙ্গ বিস্তারণ • কম্পন • জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞান • তড়িত-চৌম্বকত্ব • নেটওয়ার্ক • তাপগতিবিজ্ঞান • পরিসংখ্যানিক বলবিজ্ঞান • বোল্‌ৎস্‌মান সমীকরণ • আপেক্ষিকতা • একীভূত ফিল্ড তত্ত্ব • কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান • লোরেন্‌ৎস গ্রুপ • রাকাহ বীজগণিত • বিক্ষেপণ তত্ত্ব • দ্বিতীয় কোয়ান্টায়ন • ফিল্ড তত্ত্ব • এস-মেট্রিক্স • ফাইনম্যান যোগজ • মৌলিক কণা • পুনঃঅব্যায়ন গ্রুপ • অ-যোগাশ্রয়ী ল্যাটিস গতিবিজ্ঞান • সলিটন • পদার্থবিজ্ঞানে আসন্নীকরণ পদ্ধতি • পদার্থবিজ্ঞানে অসমতা
গণিতের ইতিহাস	প্রাচীন গণিত • গ্রিক গণিত • রোমান ও মধ্যযুগীয় গণিত • আরব গণিত • ভারতীয় গণিত • চৈনিক গণিত • জাপানি গণিত • রেনেসাঁস গণিত • ১৭শ শতকের গণিত • ১৮শ শতকের গণিত • ১৯শ শতকের গণিত * বিংশ শতাব্দীর গণিত