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1	關於Fibonacci數列後前項比值的恆等式	3	2	零醇	2026-11-01 21:16

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關於Fibonacci數列後前項比值的恆等式

$F_n$為Fibonacci數列的第$n$項，$n$為正整數，證明

${(\frac{F_{n+1}}{F_n}\times 2-1)}^2-5=\frac{4}{(F_n{)}^2}\times (-1{)}^n$

---游蛇脫殼/克勞棣 2026年10月31日 (六) 11:56 (UTC)

通分整理後，簡單用數學歸納法即可。--零醇（留言） 2026年11月1日 (日) 12:43 (UTC)

具體證明大致如下：

通分整理得：$(F_{n+1}{)}^2-F_{n+1}{F}_n-(F_n{)}^2=(-1{)}^n$，$n=1$時顯然成立

若$n=k$時該式成立，即$(F_{k+1}{)}^2-F_{k+1}{F}_k-(F_k{)}^2=(-1{)}^k$，

則$(F_{k+2}{)}^2-F_{k+2}{F}_{k+1}-(F_{k+1}{)}^2=(F_{k+1}+F_k{)}^2-(F_{k+1}+F_k)F_{k+1}-(F_{k+1}{)}^2$（$F_n$定義）

$=(F_{k+1}{)}^2+(F_k{)}^2+2F_{k+1}{F}_k-(F_{k+1}{)}^2-F_k{F}_{k+1}-(F_{k+1}{)}^2$

$=-(F_{k+1}{)}^2+(F_k{)}^2+F_{k+1}{F}_k=-(-1{)}^n=(-1{)}^{n+1}$（$n=k$時該式成立的假設）

即$n=k+1$時該式成立

由數學歸納法，該式對任意正整數恆成立。--零醇（留言） 2026年11月1日 (日) 13:16 (UTC)