Експоненційне згладжування

Експоненці́йне згла́джування (англ. exponential smoothing) — клас методів згладжування та прогнозування часових рядів, у яких вплив попередніх спостережень зменшується за експоненційним законом.^[1]

У найпростішому випадку, відомому як просте експоненційне згладжування (англ. simple exponential smoothing, SES), згладжене значення $s_{t}$ обчислюють рекурсивно:

s_{t}=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1},

де $x_{t}$ — поточне спостереження, а $0<\alpha <1$ — параметр згладжування. Після розкриття рекурсії ваги попередніх спостережень утворюють геометричну послідовність і експоненційно зменшуються з їхнім віком.^[1]

Для часових рядів із трендом або сезонністю застосовують розширення простого методу, зокрема метод Голта та сезонний метод Голта — Вінтерса. Сучасне статистичне формулювання експоненційного згладжування ґрунтується на моделях простору станів, що дає змогу оцінювати параметри, порівнювати моделі та будувати прогнозні інтервали.^[2]

Та сама рекурсія простого експоненційного згладжування в цифровій обробці сигналів відповідає рекурсивному фільтру низьких частот першого порядку та часто має назву експоненційного ковзного середнього (англ. exponential moving average, EMA).

Експоненційне згладжування як цифровий фільтр

Просте експоненційне згладжування можна розглядати як цифровий рекурсивний фільтр першого порядку. Для рекурсії

y[n]=\alpha x[n]+(1-\alpha )y[n-1]

за нульових початкових умов Z-перетворення дає

Y(z)=\alpha X(z)+(1-\alpha )z^{-1}Y(z).

Звідси передавальна функція фільтра має вигляд

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\alpha }{1-(1-\alpha )z^{-1}}}.

Таким чином, експоненційне згладжування є однополюсним IIR-фільтром із полюсом $z=1-\alpha$ . Оскільки для $0<\alpha <1$ полюс лежить усередині одиничного кола, фільтр є стійким.

Підставивши $z=e^{j\omega }$ , отримують частотну характеристику

H(e^{j\omega })={\frac {\alpha }{1-(1-\alpha )e^{-j\omega }}},

а її модуль дорівнює

|H(e^{j\omega })|={\frac {\alpha }{\sqrt {\alpha ^{2}+4(1-\alpha )\sin ^{2}(\omega /2)}}}.

При нульовій частоті $|H(0)|=1$ , тоді як на частоті Найквіста

|H(\pi )|={\frac {\alpha }{2-\alpha }}.

Отже, просте експоненційне згладжування діє як фільтр низьких частот: зі зменшенням параметра $\alpha$ високочастотні складові пригнічуються сильніше, а ефективна пам'ять фільтра зростає.

Якщо амплітудно-частотна характеристика досягає рівня $-3$ дБ у межах від нуля до частоти Найквіста, відповідна кутова частота визначається як

\omega _{c}=2\arcsin \left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {1-\alpha }}}}\right).

Для малих значень $\alpha$ виконується наближення $\omega _{c}\approx \alpha$ радіан на відлік.

Див. також

Рухоме середнє

Література

Грешилов А. А., Стакун В. А., Стакун А. А. Математические методы построения прогнозов. — М.: Радио и связь, 1997.- 112 с. — ISBN 5-256-01352-1. (рос.)

Посилання

Процедура Холта-Винтерса для временных рядов с наличием сезонности [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.] (рос.)
Forecasting: principles and practice - Holt-Winters seasonal method [Архівовано 14 травня 2018 у Wayback Machine.]

Це незавершена стаття зі статистики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

1 2 Hyndman, Rob J.; Athanasopoulos, George (2021). Forecasting: Principles and Practice (англ.) (вид. 3). OTexts. ISBN 978-0-9875071-3-6.
↑ Hyndman, Rob J.; Koehler, Anne B.; Ord, J. Keith; Snyder, Ralph D. (2008). Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach (англ.). Springer. doi:10.1007/978-3-540-71918-2. ISBN 978-3-540-71916-8.

[FPP3-1] 1 2 Hyndman, Rob J.; Athanasopoulos, George (2021). Forecasting: Principles and Practice (англ.) (вид. 3). OTexts. ISBN 978-0-9875071-3-6.

[Hyndman2008-2] Hyndman, Rob J.; Koehler, Anne B.; Ord, J. Keith; Snyder, Ralph D. (2008). Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach (англ.). Springer. doi:10.1007/978-3-540-71918-2. ISBN 978-3-540-71916-8.

[1]

[2]