กฎผลคูณ

ในคณิตศาสตร์ กฎผลคูณของแคลคูลัส หรือเรียกว่า กฎของไลบ์นิซ^[1] เป็นสูตรสำหรับหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันหรือมากกว่า ซึ่งอาจเขียนในสัญกรณ์ของลากร็องฌ์ได้ดังนี้

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

หรือด้วยสัญกรณ์ไลบ์นิซดังนี้

\frac{d}{d x} (u v) = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}

กฎผลคูณสามารถขยายไปยังผลคูณของฟังก์ชันสามตัวหรือมากกว่าก็ได้ หรือในกรณีอื่น ๆ ที่ไม่ใช่การหาอนุพันธ์โดยตรง

การค้นพบโดยไลบ์นิซ

ไลบ์นิซได้ชื่อว่าเป็นผู้ค้นพบกฎนี้ ซึ่งพิสูจน์โดยใช้คณิตศาสตร์ดิฟเฟอเรนเชียล^[2] แต่ J. M. Child ผู้แปลผลงานของไลบ์นิซ์เสนอว่า ไอแซค บาร์โรว์ เป็นผู้ค้นพบกฎผลคูณก่อน^[3] การพิสูจน์ของไลบ์นิซ์เริ่มต้นโดยสมมติให้ u(x) และ v(x) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ของ x ดิฟเฟอเรนเชียลของ uv คือ

$d (u v)$	$= (u + d u) (v + d v) - u v$
	$= u (d v) + v (d u) + (d u) (d v)$

แต่เนื่องจากเทอม (du) (dv) มีค่าน้อย ไลบ์นิซสรุปว่า

d (u v) = (d u) v + u (d v)

และนี่คือกฎผลคูณในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล ถ้าเราหารตลอดด้วยดิฟเฟอเรนเชียล dx เราจะได้

\frac{d}{d x} (u v) = (\frac{d u}{d x}) v + u (\frac{d v}{d x})

ซึ่งสามารถเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

ตัวอย่าง

สมมติว่าคุณต้องการหาอนุพันธ์ของ f(x) = x²sin(x) โดยการใช้กฎผลคูณจะได้คำตอบ f'(x) = 2x sin(x) + x²cos(x) (เนื่องจากอนุพันธ์ของ x² คือ 2x และอนุพันธ์ของ sin(x) คือ cos(x))
กฎการคูณด้วยค่าคงที่ (Constant Multiple Rule) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของกฎผลคูณ กล่าวไว้ว่า: ถ้า c เป็น จำนวนจริง และ f (x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า cf (x) ก็หาอนุพันธ์ได้เช่นกัน และมีอนุพันธ์เป็น (c × f)' (x) = c × f'(x) (นี่เป็นผลจากกฎการคูณ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ มีค่าเป็นศูนย์) เมื่อนำผลที่ได้นี้รวมเข้ากับกฎผลบวกจะได้ว่า การหาอนุพันธ์เป็นกระบวนการเชิงเส้น
กฎผลคูณสามารถใช้พิสูจน์การหาปริพันธ์ทีละส่วน และกฎผลหารแบบ "อ่อน" (เพราะกฎผลคูณไม่ได้พิสูจน์ว่าผลหารของฟังก์ชันสองฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ แต่พิสูจน์ว่า หากอนุพันธ์หาได้ จะมีค่าเท่าใดเท่านั้น)

การพิสูจน์กฎผลคูณ

กฎผลคูณสามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลิมิต นิยามของอนุพันธ์ และทฤษฎีบทที่ว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง:

พิสูจน์ —

สมมุติว่า $f (x) = g (x) h (x)$ โดยที่ $g$ และ $h$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ พิจารณาลิมิตของเศษส่วนในนิยามของอนุพันธ์

lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x + Δ x) h (x + Δ x) - g (x) h (x)}{Δ x}

เนื่องจาก

g (x + Δ x) h (x + Δ x) - g (x) h (x) = g (x) (h (x + Δ x) - h (x)) + h (x + Δ x) (g (x + Δ x) - g (x)),

จะได้ว่า

\begin{matrix} f^{'} (x) & = lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x) (h (x + Δ x) - h (x)) + h (x + Δ x) (g (x + Δ x) - g (x))}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} [g (x) (\frac{(h (x + Δ x) - h (x))}{Δ x}) + h (x + Δ x) (\frac{(g (x + Δ x) - g (x))}{Δ x})] \end{matrix}

เนื่องจาก h หาอนุพันธ์ได้ที่ x ดังนั้นจึงต่อเนื่องที่ x ด้วย เราได้

lim_{Δ x \to 0} h (x + Δ x) = h (x)

และจาก $g$ และ $h$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ จะได้ว่า

h^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{h (x + Δ x) - h (x)}{Δ x}

และ

g^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x}

เมื่อรวมทุกอย่างเข้าด้วยกันจะได้

\begin{matrix} f^{'} (x) & = lim_{Δ x \to 0} g (x) (\frac{(h (x + Δ x) - h (x))}{Δ x}) + h (x + Δ x) (\frac{(g (x + Δ x) - g (x))}{Δ x}) \\ = [lim_{Δ x \to 0} g (x)] [lim_{Δ x \to 0} \frac{(h (x + Δ x) - h (x))}{Δ x}] + [lim_{Δ x \to 0} h (x + Δ x)] [lim_{Δ x \to 0} \frac{(g (x + Δ x) - g (x))}{Δ x}] \\ = g (x) h^{'} (x) + h (x) g^{'} (x) \end{matrix}

เป็นการแสดงว่า

f

หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ และอนุพันธ์ของ

f

เท่ากับ

g (x) h^{'} (x) + h (x) g^{'} (x)

นัยทั่วไป

ผลคูณมากกว่าสองฟังก์ชัน

กฎผลคูณสามารถวางนัยทั่วไปให้กับกรณีที่มีตัวประกอบคูณกันมากกว่าสองตัวได้ อย่างเช่น หากมีตัวประกอบสามตัวจะได้

$\frac{d (u v w)}{d x} = \frac{d u}{d x} v w + u \frac{d v}{d x} w + u v \frac{d w}{d x}$

และสำหรับเซตของฟังก์ชัน $f_{1}, \dots, f_{k}$ จะได้ว่า

$\frac{d}{d x} [\prod_{i = 1}^{k} f_{i} (x)] = \sum_{i = 1}^{k} ((\frac{d}{d x} f_{i} (x)) \prod_{j = 1, j \neq i}^{k} f_{j} (x)) = (\prod_{i = 1}^{k} f_{i} (x)) (\sum_{i = 1}^{k} \frac{f'_{i} (x)}{f_{i} (x)})$

พีชคณิตนามธรรม

ในพีชคณิตนามธรรม กฎผลคูณใช้เป็นนิยามของการดำเนินการอนุพันธ์

แคลคูลัสเวกเตอร์

กฎผลคูณขยายไปยังการคูณด้วยสเกลาร์ ผลคูณจุด และผลคูณไขว้ของฟังก์ชันเวกเตอร์ดังต่อไปนี้^[4]

สำหรับการคูณด้วยสเกลาร์: $(f \cdot 𝐠)^{'} = f^{'} \cdot 𝐠 + f \cdot 𝐠^{'}$

สำหรับผลคูณจุด: $(𝐟 \cdot 𝐠)^{'} = 𝐟^{'} \cdot 𝐠 + 𝐟 \cdot 𝐠^{'}$

สำหรับผลคูณไขว้: $(𝐟 \times 𝐠)^{'} = 𝐟^{'} \times 𝐠 + 𝐟 \times 𝐠^{'}$

นอกจากนี้ยังมีกฎผลคูณสำหรับกระบวนการอื่นที่คล้ายคลึงกับการหาอนุพันธ์: ถ้า f และ g เป็นฟีลด์สเกลาร์แล้วเกรเดียนต์จะสอดคล้องกับกฎผลคูณ

$\nabla (f \cdot g) = \nabla f \cdot g + f \cdot \nabla g$

อ้างอิง

↑ "Leibniz rule - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. ^{[ลิงก์เสียถาวร]}
↑ Cirillo, Michelle. "Humanizing Calculus". The Mathematics Teacher. 101 (1): 23–27. doi:10.5951/MT.101.1.0023. ISSN 0025-5769.
↑ Leibniz, Gottfried Wilhelm, Freiherr von (2005). The early mathematical manuscripts of Leibniz. J. M. Child (พิมพ์ครั้งที่ Dover). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-44596-8. OCLC 60321838.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (ลิงก์)
↑ Stewart, James (2016), Calculus (พิมพ์ครั้งที่ 8), Cengage, Section 13.2.

ดูเพิ่ม

[1] "Leibniz rule - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. ^{[ลิงก์เสียถาวร]}

[2] Cirillo, Michelle. "Humanizing Calculus". The Mathematics Teacher. 101 (1): 23–27. doi:10.5951/MT.101.1.0023. ISSN 0025-5769.

[3] Leibniz, Gottfried Wilhelm, Freiherr von (2005). The early mathematical manuscripts of Leibniz. J. M. Child (พิมพ์ครั้งที่ Dover). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-44596-8. OCLC 60321838.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (ลิงก์)

[4] Stewart, James (2016), Calculus (พิมพ์ครั้งที่ 8), Cengage, Section 13.2.

[1]

[2]

[3]

[4]

ด ค ก แคลคูลัส
ก่อนแคลคูลัส	ทฤษฎีบททวินาม ฟังก์ชันเว้า ฟังก์ชันต่อเนื่อง แฟกทอเรียล ผลต่างอันตะ ตัวแปรเสรีและตัวแปรแบบมีขอบเขต กราฟของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเชิงเส้น เรเดียน ทฤษฎีบทของโรลล์ เส้นตัด ความชัน เส้นสัมผัส
ลิมิต	รูปแบบยังไม่กำหนด ลิมิตของฟังก์ชัน ลิมิตข้างเดียว ลิมิตของลำดับ อันดับของการประมาณ นิยาม(ε, δ)ของลิมิต
แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์	อนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสอง อนุพันธ์ย่อย ผลต่างเชิงอนุพันธ์ ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม สัญกรณ์ สัญกรณ์ของไลป์นิซ สัญกรณ์ของนิวตัน กฎการหาอนุพันธ์ สภาพเชิงเส้น เลขยกกำลัง ผลบวก ลูกโซ่ โลปีตาล ผลคูณ กฎทั่วไปของไลบ์นิทซ์ ผลหาร เทคนิคอื่น ๆ การหาอนุพันธ์โดยปริยาย ฟังก์ชันผกผันและการหารอนุพันธ์ อนุพันธ์โดยลอการิทึม อัตราสัมพันธ์ จุดนิ่ง การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง ทฤษฎีบทค่าสุดขีด ค่าต่ำสุด-สูงสุด การประยุกต์ใช้ วิธีของนิวตัน ทฤษฎีบทเทย์เลอร์ สมการเชิงอนุพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก
แคลคูลัสเชิงปริพันธ์	ปฏิยานุพันธ์ ความยาวส่วนโค้ง ปริพันธ์แบบรีมันน์ สมบัติพื้นฐาน ค่าคงตัวของการหาปฎิยานุพันธ์ ทฤษฎีมูลฐานของแคลคูลัส หาอนุพันธ์ในเครื่องหมายปริพันธ์ การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า ตรีโกณมิติ ออยเลอร์ การแทนค่าด้วยแทนเจนต์ครึ่งมุม เศษส่วนย่อยในการหาปริพันธ์ ปริพันธ์กำลังสอง หลักเกณฑ์เชิงสี่เหลี่ยมคางหมู ปริมาตรจากการหมุน วิธีจานและแหวน วิธีเปลือก สมการเชิงปริพันธ์ สมการเชิงปริพันธ์-อนุพันธ์
แคลคูลัสเวกเตอร์	อนุพันธ์ เคิร์ล อนุพันธ์ระบุทิศทาง ไดเวอร์เจนซ์ เกรเดียนต์ ลาปลาเชียน ทฤษฎีบทพื้นฐาน ปริพันธ์ตามเส้น กรีน สโตกส์ เกาส์
แคลคูลัสหลายตัวแปร	ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ เชิงเรขาคณิต เมทริกซ์เฮสเซียน เมทริกซ์จาโคเบียนและดีเทอร์มิแนนต์ ตัวคูณลากรานจ์ ปริพันธ์ตามเส้น แคลคูลัสเมทริกซ์ ปริพันธ์หลายชั้น อนุพันธ์ย่อย ปริพันธ์ตามผิว ปริพันธ์ตามปริมาตร หัวข้อขั้นสูง ฟอร์มเชิงอนุพันธ์ อนุพันธ์ภายนอก ทฤษฎีบทของสโตกส์วางนัยทั่วไป แคลคูลัสเทนเซอร์
ลำดับและอนุกรม	ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต ชนิดของอนุกรม สลับ ทวินาม ฟูเรียร์ เรขาคณิต ฮาร์มอนิก อนันต์ กำลัง แมคลอริน เทย์เลอร์ เทเลสโกป การทดสอบการลู่ออก อาเบล อนุกรมสลับ ความควบแน่นโคชี เปรียบเทียบโดยตรง ดิริชเลต์ ปริพันธ์ เปรียบเทียบลิมิต อัตราส่วน ราก พจน์
ฟังก์ชันและ ตัวเลขพิเศษ	เลขแบร์นูลลี e (ค่าคงตัว) ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิทึมธรรมชาติ การประมาณสเตอร์ลิง
ประวัติของแคลคูลัส	ความสมบูรณ์ บรูก เทย์เลอร์ คอลิน แมคลอริน การวางนัยทั่วไปของพีชคณิต ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ กณิกนันต์ แคลคูลัสกณิกนันต์ ไอแซก นิวตัน ฟลักเซียน กฎของความต่อเนื่อง เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
รายการ	กฎการหาอนุพันธ์ รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกผกผัน รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันอตรรกยะ รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันตรรกยะ รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เซแคนต์ เซแคนต์กำลังสาม รายการลิมิต รายการปริพันธ์
หัวข้อพิเศษ	แคลคูลัสเชิงซ้อน ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ แมนิโฟลด์ ความโค้ง ของเส้นโค้ง ของผิว เทนเซอร์ สูตรออยเลอร์-แมคลอริน แตรของแกรเบรียล อินทีเกรชันบี บทพิสูจน์ที่ว่าค่าของ 22/7 มากกว่า π ปัญหามุมมากสุดของเรจีโอมอนมานุส ของแข็งสไตน์เม็ทส์