குலச் சமஅமைவியம்

நுண்புல இயற்கணிதத்தில் குலச் சமஅமைவியம் (group isomorphism) என்பது இரு குலங்களின் உறுப்புகளுக்கிடையில் ஒன்றுக்கு-ஒன்று தொடர்பினை ஏற்படுத்தும் சார்பாகும். இரு குலங்களுக்கிடையே சமஅமைவியம் இருக்குமானால் அவையிரண்டும் சமஅமைவியமுடைய குலங்கள் எனப்படும். சமஅமைவியமுடைய குலங்களின் பண்புகள் ஒரேமாதிரியாக அமைந்திருக்கும்.

வரையறையும் குறியீடும்

(G, *) , (H, $⊙$ ) ஆகிய இரு குலங்களுக்கிடையே குலச் சமஅமைவியமானது G லிருந்து H க்கு வரையறுக்கப்படும் இருவழிக் குலக் காப்பமைவியமாகும்.

வரையறை:

f : G \to H

f (u * v) = f (u) ⊙ f (v), \forall u, v \in G

.

குறியீடு: (G, *) , (H, $⊙$ ) இரண்டும் சம அமைவியமுடைய குலங்கள் என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு:

(G, *) ≅ (H, ⊙)

இரு குலங்களின் ஈருறுப்புச் செயலிகளும் நன்கறியப்பட்டவையாக இருப்பின், அவையில்லாமல் இக்குறியீட்டைச் சுருக்கமாக எழுதலாம்:

G ≅ H

சிலசமயங்களில் G = H எனவும் குறிக்கப்படலாம். ஆனால் இது எல்லா சூழ்நிலைகளிலும் சரியாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக இரு குலங்களும் ஒரே குலத்தின் உட்குலங்களாக இருந்தால் சமஅமைவியத்திற்கு சமக்குறிமட்டும் இடுதல் பொருந்தாது.

மறுதலையாக, குலம் (G, *); கணம் H; இருவழிக்கோப்பு $f : G \to H$ மூன்றும் தரப்பட்டால்,

f (u) ⊙ f (v) = f (u * v)

என வரையறுப்பதன் மூலம் H கணத்தை (H, $⊙$ ) எனும் குலமாக்கலாம்.

H = G , $⊙$ = * எனில் இச்சார்பு தன்னமைவியம் எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் ( $ℝ$ ,+), நேர் மெய்யெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் ( $ℝ$ ⁺,×): சமஅமைவியமுடையது:

(ℝ, +) ≅ (ℝ^{+}, \times)

சமஅமைவியம்:

f (x) = e^{x}, \forall x \in ℝ

மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் ( $ℝ$ ,+) இன் உட்குலம் முழு எண்களின் கூட்டல் குலம் ( $ℤ$ , +). காரணி குலம் $ℝ / ℤ,$ தனி மதிப்பு 1 கொண்ட சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் ( $S^{1}$ , ×) சமஅமைவியமுடையது:

ℝ / ℤ ≅ S^{1}

சமஅமைவியம்:

f (x + ℤ) = e^{2 π x i}, \forall x \in ℝ

கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம், $ℤ_{2} = ℤ / 2 ℤ$ இன் இரு நகல்களின் நேர்பெருக்கல் குலத்துடன் ( $ℤ_{2} \times ℤ_{2}$ ) சமஅமைவியமுடையது.
(G, *) ஒரு முடிவுறா சுழற் குலம் எனில் முழு எண்களின் கூட்டல் குலத்துடன் (G, *) சமஅமைவியம் கொண்டது.
மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் ( $ℝ$ , +) சிக்கலெண்களின் கூட்டல் குலத்துடன் ( $ℂ$ , +) சமாமைவியமுடையது.
பூச்சியமற்ற சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலம் ( $ℂ$ ^*, ·) தனிமதிப்பு 1 உடையசிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் ( $S^{1}$ , ×) சமஅமைவியமுடையது.

பண்புகள்

(G, *) லிருந்து (H, $⊙$ ) க்குள்ள சம அமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) எப்பொழுதும் {e_G} ஆக இருக்கும். இங்கு e_G, (G, *) குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு.
(G, *) , (H, $⊙$ ) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது G ஏபெல் குலமாக இருந்தால் H ம் ஏபெல் குலமாக இருக்கும்.
(G, *) , (H, $⊙$ ) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது (f), G இன் ஒரு உறுப்பு a இன் வரிசை n எனில், H இல் f(a) இன் வரிசையும் n ஆக இருக்கும்.
(G, *) இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமெனில் (locally finite group) அதனுடன் சமஅமைவியம் கொண்ட (H, $⊙$ ) ம் இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமாக இருக்கும்
குலத்தின் பண்புகள் எப்பெழுதும் சம அமைவியத்தின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகின்றன என்பதை மேலே தரப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் அறியலாம்.

சுழற் குலங்கள்

தரப்பட்ட கிரமமுள்ள அனைத்து சுழற் குலங்களும் $(ℤ_{n}, +_{n})$ உடன் சமஅமைவியம் கொண்டவை.

நிறுவல்

G , n கிரம குலம் என்க. G ஐப் பின்வரும் பிறப்பிக்கப்பட்ட குலமாகக் கொள்ளலாம்.

< x > = {e, x, ..., x^{n - 1}}

.

$φ$ எனும் சார்பு கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

φ : G \to ℤ_{n} = {0, 1, ..., n - 1},

:

φ (x^{a}) = a

.

இச்சார்பு இருவழிக்கோப்பாக உள்ளது.

φ (x^{a} \cdot x^{b}) = φ (x^{a + b}) = a + b = φ (x^{a}) +_{n} φ (x^{b})

எனவே,

G ≅ ℤ_{n}, +_{n}

.

விளைவுகள்

$f : G \to H$ எனும் சமஅமைவியம், G இன் முற்றொருமை உறுப்புடன் H இன் முற்றொருமை உறுப்பை இணைக்கிறது:

f (e_{G}) = e_{H}

;

அதேபோல் G இல் உள்ள நேர்மாறு உறுப்பை H இல் அதற்கொத்த நேர்மாறு உறுப்புடன் இணைக்கிறது:

f (u^{- 1}) = {[f (u)]}^{- 1}

பொதுவாக,

f (u^{n}) = {[f (u)]}^{n}, \forall u \in G

மேலும் f இன் நேர்மாறு $f^{- 1} : H \to G$ ம் ஒரு குல சம அமைவியம்.

"சமஅமைவியமானது" என்ற உறவு, ஒரு சமான உறவிற்கான அனைத்து அடிக்கோள்களையும் நிறைவுசெய்கிறது.

$f : G \to H$ என்பது சமஅமைவியம் எனில் G இல் உண்மையாக அமையும் கூற்றுகளில் குல அமைப்புத் தொடர்பானவற்றை மட்டுமே f மூலம் H இல் அமையும் உண்மைக்கூற்றுகளாக மாற்றமுடியும் (அதேபோலத்தான் H லிருந்து G க்கும்).

தன்னமைவியம்

குலம் (G,*) லிருந்து (G,*) க்கே அமையும் சமஅமைவியம், தன்னமைவியம் எனப்படும் இத்தன்னமைவியம் பின்வரும் இருவழிக்கோப்பாகும்:

$f : G \to G,$

f (u) * f (v) = f (u * v), \forall u, v \in G

.

தன்னமைவியமானது குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பை, முற்றொருமை உறுப்பாகவே மாற்றுகிறது; ஒரு இணையியப் பகுதியை அதே இணையியப் பகுதியாகவோ அல்லது வேறொரு இணையியப் பகுதியாகவோ மாற்றுகிறது; தன்னமைவியத்தின் கீழ் ஒரு உறுப்பின் கிரமமும் அதன் எதிருருவின் கிரமமும் சமமாக இருக்கும்.

இரு தன்னமைவியங்களின் சேர்ப்பும் மற்றொரு தன்னமைவியமாக இருக்கும். இச்செயலியின்கீழ் G குலத்தின் அனைத்து தன்னமைவியங்களின் கணம் ஒரு குலமாகும். இக்குலம் G இன் தன்னமைவியக் குலம் என அழைக்கப்படும். மேலும் அதன் குறியீடு: Aut(G).

மேற்கோள்கள்

Herstein, I. N., Topics in Algebra, Wiley; 2 edition (June 20, 1975), பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-01090-1.