Kumulativ fördelningsfunktion

Fördelningsfunktionen för en diskret fördelning överst, i mitten för en kontinuerlig fördelning och nederst för en fördelning som är en kombination.

Den kumulativa fördelningsfunktionen beskriver en sannolikhetsfördelning för en slumpvariabel inom den matematiska statistiken. För en slumpvariabel $X$ definierad på sannolikhetsrummet $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ definieras den kumulativa fördelningsfunktionen $F_{X}(x)$ som

$F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)$.

$F_{X}(x)$ beskriver sannolikheten att $X$ antar ett värde mindre än eller lika med $x$. Den kumulativa fördelningsfunktionen är monotont växande och högerkontinuerlig. Den har alltid egenskaperna

• $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$

• $\lim _{x\to \infty }F(x)=1$

• $0\leq F(x)\leq 1$

För en diskret slumpvariabel som kan anta värdena $x_{1},x_{2}\dots$ är $F$ diskontinuerlig i punkterna $x_{i}$ och har konstant värde däremellan, det vill säga, den har ett trappstegsliknande utseende.

För en kontinuerlig slumpvariabel är $F$ en kontinuerlig funktion. Om $F$ dessutom är absolutkontinuerlig så gäller

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt$

där $f(t)$ är täthetsfunktionen (eller frekvensfunktionen) för variabelns fördelning.

Sannolikheten för att en slumpvariabel ska anta värden större än $a$ och mindre eller lika med $b$ kan beräknas med:

$\Pr(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$

Tabell över värdena hos den kumulativa normalfördelningsfunktionen finns att läsa här. Andra fördelningar har andra tabeller.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Kumulativ fördelningsfunktion.
  Bilder & media