Hiperbolično število

Hiperbolično število (tudi kompleksno število hiperboličnega tipa ali razcepljeno kompleksno število) je v abstraktni algebri dvorazsežna komutativna algebra nad realnimi števili, ki se razlikujejo od kompleksnih števil. Vsako hiperbolično število lahko zapišemo v obliki

x + y j

kjer je

$x$ realno število
$y$ realno število
$j$ število podobno imaginarni enoti, razen, da zanj velja

j^{2} = 1

tako, da pri tem upoštevamo samo nerealne korene.

Značilnosti

Seštevanje je definirano kot

(x + j y) + (u + j v) = (x + u) + j (y + v)

Množenje pa je definirano z

(x + j y) (u + j v) = (x u + y v) + j (x v + y u)

Velja tudi zakon komutativnosti, asociativnosti in distributivnosti.

Konjugirano število

Podobno kot pri običajnih kompleksnih številih je tudi za hiperbolično števil $z = x + j y$ konjugirano število določeno kot

z = x^{*} - j y

.

Konjugirana vrednost zadošča podobnim značilnostim kot običajna kompleksna števila:

(z + w)^{*} = z^{*} + w^{*}

(z w)^{*} = z^{*} w^{*}

(z^{*})^{*} = z

Velja pa tudi

(z w)^{*} = | z | | w |

.

Geometrija

Množica točk $z$ za katere velja $z : ‖ z ‖ = a^{2}$ je hiperbola za vse $a$ iz $ℝ$ , ki so različni od nič. Hiperbola je sestavljena iz dveh vej, ki gresta skozi točki $(a, 0)$ in $(- a, 0)$ . Kadar je $a = 1$ dobimo enotsko hiperbolo. Konjugirana hiperbola pa je določena z

{z : ‖ z ‖ = - a^{2}}

Matrična predstavitev

Hiperbolična števila se zelo lepo prikažejo tudi z matriko. Hiperbolično število $z = x + j . y = 1. x + j . y$ lahko prikažemo kot matriko

z \mapsto [\begin{matrix} x & y \\ y & x \end{matrix}] .

,

ker je

1 \mapsto [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

in

j \mapsto [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

.

Eulerjeva formula, ki velja za hiperbolična kompleksna števila ima obliko:

\exp (j θ) = \cosh (θ) + j \sinh (θ) .

.

Absolutna vrednost

Absolutna vrednost hiperboličnega kompleksnega števila $z = x + j y$ je enaka

| z | = z . z^{*} = z^{*} . z = x^{2} - y^{2}

.

Zgodovina

Uporaba razcepljenih kompleksnih števil se je pričela že v letu 1848, ko je angleški odvetnik in matematik James Cockle (1819 – 1895) odkril tesarine. Angleški matematik in filozof William Kingdom Clifford (1845 - 1879) je uporabil razcepljena kompleksna števila za prikaz vsote spinov. Clifford je pričel z uporabo razcepljenih kompleksnih števil kot koeficientov v kvaternionski algebri, ki jih sedaj imenujemo razcepljeni bikvaternioni. Clifford jih je imenoval motorji (predstavljajo vrtenje in premik- translacijo) v skladu z rotorji (predstavljajo vrtenje), ki pa se izvajajo nad običajnimi kompleksnimi števili (iz krožne grupe)

Sopomenke

Za hiperbolična števila se uporabljajo različna imena (sinonimi). Najbolj pogosta so

(realna) tesarina
(algebrajski) motor
hiperbolično kompleksno število
birealno število
hiperbolično število iz Muséjevih hiperštevil
dualno število
nenormalno kompleksno število
perpleksno število
Lorentzovo število
razcepljeno kompleksno število
prostorsko-časovno število
dvokompleksno število

Zunanje povezave

Hiperbolična števila (angleško)
Uvod v algebrske motorje (angleško)

p p u Množice, sistemi in vrste števil
Števne množice	naravna ( $ℕ$ ) cela ( $ℤ$ ) racionalna ( $ℚ$ ) konstruktabilna algebrska ( $\overline{ℚ}$ ) periode izračunljiva aritmetična Gaussova cela
Realna števila in njihove razširitve	realna ( $ℝ$ ) kompleksna ( $ℂ$ ) kvaternioni ( $ℍ$ ) bikvaternioni ( $ℂ \otimes ℍ$ ) oktonioni ( $𝕆$ ) sedenioni ( $𝕊$ ) Cayley-Dicksonova konstrukcija dualna hiperbolična bikompleksna hiperkompleksna superrealna iracionalna transcendentna hiperrealna ( $^{*} ℝ$ ) Levi-Civitajev obseg surrealna
Drugi sistemi	kardinalna ordinalna transfinitna p-adična supernaravna
Druge lastnosti	praštevilskost sestavljenost deljivost brez kvadrata palindromnost normalnost mera iracionalnosti algebrska neodvisnost