Гипотеза Артина

Гипотеза Артина — теоретико-числовая гипотеза о существовании бесконечного количества простых чисел, по модулю которых заданное неквадратное целое число $a\neq -1$ является первообразным корнем, а также дающая асимптотическую оценку $N_{a}(x)$ таких простых чисел, не превышающих $x$:

$N_{a}(x)\sim A(a){\frac {x}{\ln x}}$ при $x\to \infty$,

где $A(a)$ — константа, зависящая только от $a$.

Сформулирована Эмилем Артином в письме Хельмуту Хассе от 27 сентября 1927 года. По состоянию на 2026 год является открытой проблемой, притом неизвестно даже, верна ли гипотеза, например, для $a=2$ — конечна ли последовательность простых чисел:

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, …,

для которых двойка является первообразным корнем.

Литература

• Сендеров В., Спивак А. Малая теорема Ферма // Квант. — 2000. — № 4. — С. 15—18.
• Murty M. R. Artin’s conjecture for primitive roots // Mathematical Intelligencer. — 1988. — Т. 10. — С. 59—67. — doi:10.1007/BF03023749.
• Хооли К. Применение методов решета в теории чисел. — Наука, 1987.