Conjunto de nível

O conjunto de nível é a generalização das curvas de nível, com dim>2.

No mapa cartográfico, a curva de nível (ou linha de contorno, curva de contorno, linha de mesmo valor, isolinha, isograma) e formada por pontos no mapa que possuem a mesma altitude.

Na matemática, a curva de nível para uma função de várias variáveis, é uma curva com vários pontos que fazem a função ter sempre o mesmo valor.

Seja $f:D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ um campo escalar e seja $\alpha \in \mathbb {R}$. O conjunto de nível $N_{\alpha }$ da função $f$ é o subconjunto de pontos $x$ em $D$ tais que $f(x)=\alpha$.

Simbolicamente:

$N_{\alpha }=\left\{x\in D\ |\ f(x)=\alpha \right\}.$

Se $\alpha \not \in f(D)$ um conjunto de nível pode coincidir com o conjunto vazio.

Se estiver em uma das dimensões, pode-se nomear o conjunto de nível:

• Se n=2 em $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, os conjuntos de nível são curvas, podendo ser chamados de curvas de nível;
• Se n=3 em $D\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, os conjuntos de nível são superfícies, podendo ser chamados de superfícies de nível.

Por exemplo, usando f(x,y)=x2−y2 pode-se calcular as suas curvas de nível (conjuntos de nível) e obter um gráfico da função:

$N(0)=\{(x,y)\in D:x^{2}-y^{2}=0\}$

$N(0)=\{(x,y)\in D:x^{2}=y^{2}\}$

$N(0)=\{(x,y)\in D:y=xVy=-x\}$

Para obter a melhor ideia da função, calcule as curvas de nível $N(k)$ e $N(-k)$ , com $k>0$.

Aplicações

Exemplos de aplicações dos conjuntos de nível às mais diversas áreas:

• Em cartografia, as curvas de nível unem pontos de um mapa que se encontram à mesma altitude.
• Em meteorologia, utilizam-se curvas de nível para unir pontos de um mapa com igual pressão (linhas isobáricas).
• Em eletromagnetismo, utilizam-se curvas ou superfícies de nível para representar conjuntos de pontos de um dado espaço que apresentam igual potencial.