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Arquimedes

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Arquimedes de Siracusa
Ἀρχιμήδης
Pintura de um homem barbado inclinado sobre papéis e livros, com o queixo apoiado na mão.
Representação de Arquimedes por Domenico Fetti, por volta de 1620.
Conhecido(a) porPrincípio de Arquimedes, parafuso de Arquimedes, centro de gravidade, estática, hidrostática e lei da alavanca
Nascimento
c. 287 a.C.

Siracusa, Sicília
Morte
c. 212 a.C. (cerca de 75 anos)

Siracusa, Sicília
OcupaçãoMatemático, físico, astrônomo, engenheiro e inventor

Arquimedes de Siracusa[nota 1] (c. 287–212 a.C.) foi um matemático, físico, engenheiro, astrônomo e inventor grego de Siracusa, na Sicília. Pouco se sabe sobre sua vida. Seus escritos o situam entre os cientistas da Antiguidade Clássica e os matemáticos de maior destaque da história. Ao empregar grandezas infinitesimais e o método da exaustão, antecipou procedimentos do cálculo infinitesimal e da análise matemática para obter e demonstrar teoremas sobre a área de um círculo, a área e o volume da esfera, a área da elipse, a área delimitada por uma parábola, volumes de segmentos de paraboloides e hiperboloides de revolução e a área de uma espiral.

Também calculou uma aproximação de π, estudou a espiral de Arquimedes e criou um sistema para escrever números muito grandes com potências. Aplicou a matemática a problemas de estática e hidrostática, demonstrou a lei da alavanca, empregou o conceito de centro de gravidade e formulou o princípio do empuxo que leva seu nome. Estimou por limites o diâmetro aparente do Sol e investigou as dimensões do Universo. Cícero lhe atribui um globo celeste e um mecanismo que reproduzia os movimentos dos astros; outras fontes antigas associam a seu nome a bomba conhecida como parafuso de Arquimedes, sistemas de polias compostas e máquinas para a defesa de Siracusa.

Arquimedes morreu durante o cerco de Siracusa, morto por um soldado romano apesar das ordens para que fosse poupado. Cícero relatou uma visita a seu túmulo, que trazia uma esfera e um cilindro, figuras ligadas à demonstração matemática de que Arquimedes mais gostava.

Seus escritos matemáticos circularam pouco na Antiguidade, embora fossem lidos e citados em Alexandria. Uma compilação mais abrangente surgiu por volta de 530, associada a Isidoro de Mileto, em Constantinopla, e os comentários de Eutócio de Ascalão ampliaram sua circulação. Suas obras chegaram ao árabe no século IX e ao latim a partir do século XII, e foram estudadas no Renascimento e na Revolução Científica. O estudo do Palimpsesto de Arquimedes, redescoberto em 1906, trouxe à luz parte de seus métodos de investigação.

Biografia

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Pintura de pessoas reunidas entre árvores e ruínas, diante de um túmulo.
O relato de Cícero sobre a descoberta do túmulo de Arquimedes inspirou esta pintura de Benjamin West, feita em 1805.

Os detalhes da vida de Arquimedes são incertos. Eutócio preservou duas referências a uma biografia perdida, atribuída em uma passagem a Heráclides e em outra a Heráclio. A identificação do biógrafo é debatida.[1]

A estimativa de seu nascimento, por volta de 287 a.C., em Siracusa, então uma cidade grega autônoma da Magna Grécia, deriva de uma passagem do erudito bizantino João Tzetzes que lhe atribui 75 anos ao morrer, em 212 a.C. Em O Contador de Areia, Arquimedes chama seu pai de Fídias e diz que ele era astrônomo. Plutarco, em Vidas Paralelas, afirma que Arquimedes era parente de Hierão II, governante de Siracusa.[2] Já Cícero e Sílio Itálico dão a entender que sua origem era modesta.[3] Não se sabe se casou, teve filhos ou visitou Alexandria na juventude.[4] Seus tratados foram dirigidos a Dositeu de Pelúsio, discípulo de Conão de Samos, e ao bibliotecário Eratóstenes, o que atesta contatos com estudiosos de Alexandria.[5] No prefácio de Sobre as Espirais, Arquimedes diz que já se haviam passado muitos anos desde a morte de Conão, que viveu aproximadamente entre 280 e 220 a.C. É possível, portanto, que estivesse mais velho ao redigir parte de suas obras.[6]

A coroa de ouro

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Dois cilindros graduados com água. Uma peça mergulhada no segundo faz o nível subir.
A subida da água permite medir o volume de um objeto irregular, como na história da coroa de Hierão.

Uma história sobre os serviços prestados a Hierão II trata da composição de uma coroa de ouro.[7] Vitrúvio, que escreveu cerca de dois séculos depois, conta que o rei forneceu ouro puro a um ourives para confeccionar uma coroa destinada a um templo.[8] Suspeitando que parte do metal tivesse sido substituída por prata, pediu a Arquimedes que examinasse a peça sem destruí-la.[9] Ao entrar numa banheira, Arquimedes teria percebido a subida da água e reconhecido que o deslocamento do líquido permitiria medir o volume da coroa. A história diz que saiu nu pelas ruas gritando "Eureca!"[nota 2], isto é, "Encontrei!".[10] Na narrativa de Vitrúvio, ele comparou a água deslocada pela coroa com a deslocada por massas de ouro e prata de igual peso. A coroa deslocou mais água que o ouro e menos que a prata, sinal de que continha os dois metais.[11]

O poema didático latino Carmen de ponderibus, datado aproximadamente de 400 d.C., foi atribuído a Prisciano, mas é hoje associado a Rêmio Favino (ou Flavino). Ele conta a experiência de outro modo.[12] Nele, as massas de ouro e prata são colocadas nos pratos de uma balança e todo o conjunto é mergulhado na água. A diferença entre as densidades faz a balança pender para um dos lados.[13] Esse procedimento emprega o princípio da hidrostática apresentado em Sobre os Corpos Flutuantes: um corpo imerso sofre um empuxo igual ao peso do fluido que desloca.[14] Galileu Galilei, que construiu uma balança hidrostática em 1586, julgava provável que Arquimedes tivesse empregado esse método, por sua precisão e por se apoiar nas demonstrações do próprio matemático.[15]

Lançamento do Siracusia

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Animação em corte de um tubo transparente com hélice interna que transporta uma esfera vermelha.
Ao girar, a hélice leva material pelo tubo, princípio do parafuso de Arquimedes usado para elevar água.

Boa parte do trabalho de engenharia de Arquimedes talvez atendesse às necessidades de Siracusa.[16] Ateneu reproduz em Deipnosophistae a descrição de Mósquion de um navio encomendado por Hierão II, o Siracusia, apresentado como o maior da Antiguidade e lançado ao mar por Arquimedes.[17] Plutarco narra outra versão: depois de Arquimedes afirmar que podia deslocar qualquer peso, o rei o desafiou a mover um navio.[18] Esses relatos contêm pormenores difíceis de aceitar historicamente e divergem quanto ao mecanismo usado.[19] Plutarco menciona um conjunto de polias, Heron de Alexandria fala de um baroulkos, espécie de guincho,[20] e Papo de Alexandria atribui a façanha à aplicação da vantagem mecânica da alavanca. Também lhe atribuiu a frase: "Deem-me um lugar onde eu possa me apoiar e moverei a Terra"[nota 3].[21][22]

Ateneu diz ainda que Arquimedes usou um "parafuso" para esgotar a água que entrasse no casco do Siracusia.[23] Embora o aparelho receba seu nome, pode ser muito anterior a ele. Filão de Bizâncio, Estrabão e Vitrúvio, autores antigos que descrevem seu uso, não atribuem a invenção a Arquimedes.[24]

Máquinas de guerra

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Diagrama com o Sol, raios refletidos por espelhos e um navio sobre o mar.
Os espelhos incendiários pertencem a relatos posteriores ao cerco de Siracusa. O desenho apresenta uma hipótese para seu funcionamento.

Na Antiguidade, Arquimedes ficou conhecido sobretudo pela defesa de Siracusa contra os romanos.[25] Plutarco afirma que as máquinas haviam sido construídas para Hierão II e permaneceram sem uso durante sua vida.[26] Durante a Segunda Guerra Púnica, Siracusa passou a apoiar Cartago. No cerco romano de 213–212 a.C., quando as forças de Marco Cláudio Marcelo tentaram tomar a cidade, Arquimedes teria dirigido o emprego dos engenhos defensivos.[27][28] Plutarco, Tito Lívio e Políbio descrevem catapultas e guindastes que lançavam cargas pesadas sobre os navios ou os levantavam com uma garra de ferro para deixá-los cair na água.[nota 4][29][30]

Mais tardia e menos plausível é a história de que Arquimedes incendiou navios romanos com espelhos que concentravam a luz solar.[31] Luciano de Samósata, no século II d.C., menciona navios incendiados pela técnica de Arquimedes, sem especificar o meio utilizado.[32][33] Galeno, também no século II, emprega um termo grego para dispositivos de produzir fogo cuja interpretação é debatida; sua passagem não identifica inequivocamente espelhos.[34][35] Um relato atribuído a Dião Cássio, historiador do século III, mas preservado em compilações bizantinas, associa a defesa de Siracusa a um refletor solar.[28] Mais tarde, Antêmio de Trales examinou a geometria de um possível refletor sem confirmar o uso histórico do aparelho.[36][37] A credibilidade do chamado raio de calor de Arquimedes é discutida desde o Renascimento.[38] René Descartes a rejeitou. Reconstruções modernas que conseguiram concentrar luz em uma embarcação dependem de condições favoráveis de sol, distância e imobilidade do alvo, o que limita seu valor como prova do episódio histórico.[39]

Morte

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Os autores antigos contam versões diferentes da morte de Arquimedes durante o saque de Siracusa.[40] Na mais antiga, de Tito Lívio, ele desenhava figuras na terra quando foi morto por um soldado que não o reconheceu.[41] Plutarco relata que o soldado o mandou acompanhá-lo, mas Arquimedes quis terminar um problema matemático e foi morto à espada.[42] Outra versão de Plutarco diz que o soldado confundiu seus instrumentos matemáticos com objetos valiosos.[43] Valério Máximo lhe atribui o pedido para que o soldado não perturbasse os desenhos na terra. A frase usualmente citada, "Não perturbe meus círculos", não aparece com essas palavras nos testemunhos antigos: Valério Máximo se refere aos desenhos na areia, sem mencionar círculos.[44][45]

Pintura de um homem idoso curvado sobre um desenho enquanto um soldado armado se aproxima.
A pintura de Thomas Degeorge, de 1815, segue a versão em que Arquimedes trabalhava num problema de geometria quando foi morto.

Marcelo teria ficado contrariado com a morte, pois ordenara que Arquimedes fosse poupado e o comparava ao gigante de cem braços Briareu por sua habilidade geométrica.[46][47] Cícero escreve que Marcelo levou a Roma duas esferas atribuídas a Arquimedes: um globo celeste que representava as constelações, oferecido ao Templo da Honra e da Virtude, e um planetário mecânico que mostrava o movimento do Sol, da Lua e dos cinco planetas então conhecidos. O segundo teria sido a única peça do saque que Marcelo guardou para si.[48][49] No relato de Cícero, Caio Sulpício Galo demonstrou esse segundo aparelho: ao movê-lo, mostrou como a Lua acompanhava o Sol e como o mecanismo podia representar eclipses.[48] Papo menciona um tratado perdido, Sobre a Construção de Esferas, talvez relativo a esses dispositivos.[50] A construção de mecanismos desse tipo exigiria conhecimentos avançados de engrenagens. A descoberta da Máquina de Anticítera, artefato grego de finalidade semelhante, de datação ainda debatida, comprovou que a tecnologia existia na Antiguidade. Alguns pesquisadores veem nos aparelhos atribuídos a Arquimedes um precedente desse mecanismo.[51][52]

Quando exercia o cargo de questor na Sicília, Cícero encontrou perto da porta agrigentina de Siracusa um túmulo que julgou ser o de Arquimedes. Coberto de arbustos e abandonado, foi limpo a seu pedido. Cícero pôde então ler parte da inscrição e ver uma esfera e um cilindro esculpidos, alusão ao resultado de que a esfera tem dois terços do volume e da área da superfície do cilindro circunscrito, consideradas também as bases deste.[53]

Matemática

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Arquimedes criou dispositivos mecânicos e desenvolveu métodos matemáticos próprios, além de obter novos resultados com técnicas de seus predecessores.

Método da exaustão

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Semicírculo com cordas e segmentos internos identificados por letras e pelo raio.
As relações entre cordas de um semicírculo ajudam a calcular os lados dos polígonos usados por Arquimedes para limitar o valor de π.

Em A Quadratura da Parábola, Arquimedes recorda uma proposição de Os Elementos de Euclides demonstrada com o que hoje se chama propriedade arquimediana: repetindo a adição do excesso de uma grandeza sobre outra, pode-se superar qualquer grandeza limitada dada. Eudoxo de Cnido e outros matemáticos anteriores já haviam aplicado esse princípio na técnica conhecida como método da exaustão, usada nas demonstrações dos volumes da pirâmide, do cilindro, do cone e da esfera no livro XII dos Elementos.[nota 5][54]

Em Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes demonstrou que a área de um círculo é igual à de um triângulo retângulo cujos catetos correspondem ao raio e à circunferência.[55] Para aproximar π, inscreveu e circunscreveu hexágonos regulares a um círculo e duplicou sucessivamente o número de lados dos polígonos. Com 96 lados, obteve os limites 3 + 10/71 (aproximadamente 3,1408) e 3 + 1/7 (aproximadamente 3,1429), entre os quais está π, aproximadamente 3,1416.[56] No mesmo tratado, deu para a raiz quadrada de 3 os limites 265/153 (aproximadamente 1,7320261) e 1351/780 (aproximadamente 1,7320512). O procedimento exato que usou para obtê-los não é conhecido.[57]

Segmento parabólico lilás acima de um triângulo azul, ambos sobre fundo preto.
A área do segmento parabólico é quatro terços da área do triângulo inscrito, resultado demonstrado por Arquimedes.

Em A Quadratura da Parábola, demonstrou que a área entre uma parábola e uma reta equivale a 4/3 da área de um triângulo inscrito. Seu raciocínio pode ser expresso por uma série geométrica de razão 1/4:[58]

Se o primeiro termo corresponde à área do triângulo maior, o segundo reúne as áreas de dois triângulos construídos sobre as secantes menores. O processo se repete com novos triângulos, cujos vértices ficam na parábola. As áreas acrescentadas após o primeiro triângulo somam 1/3 da área inicial. Arquimedes aplicou o método à área da esfera e do cone,[59] à área da elipse[60] e à área delimitada por uma espiral.[61][62]

Método mecânico

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"Depois de conhecer, por esse método, algo acerca do que investigamos, torna-se mais fácil apresentar uma demonstração do que investigar sem saber nada a respeito."
— Arquimedes, O Método dos Teoremas Mecânicos.[63]

Arquimedes também empregou a lei da alavanca para obter áreas e volumes. Esboçou o procedimento em A Quadratura da Parábola, ao lado de uma demonstração geométrica, e o explicou com mais detalhes em O Método dos Teoremas Mecânicos.[64] Ele diz que primeiro encontrou certos resultados por esse caminho e só depois elaborou as demonstrações pelo método da exaustão.[65]

Números grandes

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Fotografia aproximada de uma superfície coberta de pequenos grãos de areia.
Arquimedes não precisava contar cada grão: em O Contador de Areia, criou uma maneira de escrever números grandes o bastante para estimar quantos caberiam no universo.

Em O Contador de Areia, Arquimedes criou um sistema baseado na miríade[nota 6], palavra grega para 10.000, e em potências de uma miríade de miríades, ou 100 milhões. Queria mostrar que podia escrever um número superior ao de grãos de areia necessários para preencher o universo. Seu limite equivalia a 8 × 1063 na notação atual.[66] A construção mostra como representar números tão grandes quanto se queira.

No Problema Bovino, dirigiu aos matemáticos de Alexandria um desafio sobre o número de animais no rebanho do Sol. O problema leva a um sistema de equações diofantinas. As condições adicionais requerem um quadrado perfeito e um número triangular; a menor solução completa tem aproximadamente 7,760271 × 10206544.[67]

Sólidos de Arquimedes

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Numa obra perdida mencionada por Papo de Alexandria, Arquimedes demonstrou que existem exatamente treze poliedros semirregulares desse tipo.[68]

Escritos

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Arquimedes transmitiu seus trabalhos por correspondência com matemáticos de Alexandria.[69] Os escritos de Arquimedes preservam traços do grego dórico, dialeto falado em Siracusa.[70]

Obras preservadas

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Página de rosto antiga com texto grego em vermelho e preto e uma vinheta impressa.
A edição greco-latina de 1615, organizada por David Rivault, faz parte da transmissão impressa das obras de Arquimedes.

A sequência abaixo segue a ordenação cronológica proposta com base em critérios terminológicos e históricos por Wilbur Knorr, em 1978, e T. Sato, em 1986.[71][72]

Sobre as Medidas do Círculo

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Esse tratado breve, apresentado como carta a Dositeu de Pelúsio, discípulo de Conão de Samos, contém três proposições. Arquimedes limita π entre 223/71 (3,1408...) e 22/7 (3,142857...).

O Contador de Areia

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Também chamado Psammites, o tratado constrói um número superior à quantidade de grãos de areia que seriam necessários para encher o universo. Arquimedes menciona o modelo heliocêntrico de Aristarco de Samos, discute as dimensões da Terra e as distâncias entre os astros e procura medir o diâmetro aparente do Sol.[73][74] Seu sistema, baseado em potências da miríade, fornece o limite 8 × 1063. A carta introdutória identifica seu pai, Fídias, como astrônomo. É o único escrito preservado em que Arquimedes expõe suas ideias astronômicas.[75]

Além das medidas da Terra, do Sol e da Lua, o texto examina o modelo de Aristarco.[76] Arquimedes explica como observou o diâmetro aparente do Sol com uma haste e pequenas peças deslizantes, sem recorrer à trigonometria ou a uma tabela de cordas.[77] Também levou em conta a largura da pupila ao corrigir as observações e expressou o resultado por limites superior e inferior para representar a incerteza das medidas.[78] Ptolemeu, ao citar Hiparco no Almagesto, também menciona observações de solstícios realizadas por Arquimedes em anos sucessivos.[4]

Sobre o Equilíbrio dos Planos

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O primeiro dos dois livros reúne sete postulados e quinze proposições; o segundo, dez proposições. No primeiro, Arquimedes demonstra a lei da alavanca:[79]

"Grandezas estão em equilíbrio a distâncias inversamente proporcionais a seus pesos."

Formulações anteriores do princípio aparecem em uma obra de Euclides e nos Problemas Mecânicos da escola peripatética, por vezes atribuídos a Arquitas de Tarento.[80] Com os princípios que estabelece, Arquimedes calcula áreas e centros de gravidade de triângulos, paralelogramos e parábolas.[81] A transmissão do primeiro livro inclui teoremas cuja atribuição ao original foi contestada por estudos textuais.[82]

A Quadratura da Parábola

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Nas 24 proposições dirigidas a Dositeu, Arquimedes demonstra por dois caminhos que a área entre uma parábola e uma reta corresponde a 4/3 da área de um triângulo inscrito com a mesma base e altura. Emprega primeiro a lei da alavanca e depois uma demonstração geométrica que pode ser expressa por uma progressão de razão 1/4.[83]

Sobre a Esfera e o Cilindro

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Esfera rosa inscrita em cilindro azul transparente, com raios assinalados.
A esfera tem dois terços do volume do cilindro circunscrito. A mesma razão vale para as áreas das superfícies se forem incluídas as bases do cilindro.

Nesse tratado de dois livros dedicado a Dositeu, Arquimedes demonstra a relação entre uma esfera e o cilindro circunscrito de mesma altura e diâmetro, resultado de que mais se orgulhava. Para um raio r, o volume da esfera é 4πr3/3 e o do cilindro é 2πr3. As áreas são, respectivamente, 4πr2 e 6πr2, contando as duas bases do cilindro.[84][85]

Sobre as Espirais

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As 28 proposições desse tratado também são dirigidas a Dositeu. Nele, Arquimedes define a curva hoje chamada espiral de Arquimedes.[86] Ela é traçada por um ponto que se afasta a velocidade constante de uma origem ao longo de uma reta que gira com velocidade angular constante. Em coordenadas polares, tomando a origem como ponto inicial, sua equação é , com b positivo.[87] É um exemplo antigo de curva gerada pelo movimento de um ponto.

Sobre Conoides e Esferoides

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O tratado Sobre Conoides e Esferoides, dirigido a Dositeu, contém 32 proposições, sobretudo sobre volumes de segmentos de paraboloides e hiperboloides de revolução e de esferoides obtidos pela rotação de elipses.[88][89]

Curva espiral dentro de um círculo, com a região entre a origem e uma volta sombreada em laranja.
A região sombreada é limitada por uma volta da espiral de Arquimedes e por um segmento radial.

Sobre os Corpos Flutuantes

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O primeiro dos dois livros estuda o equilíbrio dos fluidos e demonstra, no modelo adotado por Arquimedes, que a superfície de um líquido em repouso é esférica e concêntrica com a Terra. O princípio do empuxo apresentado na obra pode ser expresso da seguinte forma:[90]

Na formulação moderna, o empuxo sobre um corpo total ou parcialmente imerso equivale ao peso do fluido deslocado e atua em sentido oposto ao peso.

O segundo livro calcula posições de equilíbrio de segmentos de paraboloides. É possível que essas formas idealizassem cascos de embarcações. Alguns segmentos flutuam com a base submersa e o vértice acima da água, como acontece com os icebergs.[91]

Stomachion

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Quadrado formado por peças geométricas coloridas com padrões diferentes.
As 14 peças do Stomachion podem formar um quadrado de muitas maneiras, possibilidade examinada nos estudos do tratado.

Também chamado Loculus Archimedius ou "caixa de Arquimedes", o Stomachion trata de um quebra-cabeça de dissecação semelhante ao tangram. O Palimpsesto conserva uma página fragmentária de sua introdução; uma tradição textual árabe descreve a construção do jogo e as áreas das catorze peças.[92] Reviel Netz propôs uma interpretação combinatória segundo a qual Arquimedes estudava as maneiras de reuni-las num quadrado. A contagem moderna encontrou 536 soluções geométricas distintas, que correspondem a 17.152 arranjos quando consideradas as equivalências entre peças e simetrias. O fragmento não permite saber se Arquimedes chegou a calcular esse total.[93] O problema se aproxima da combinatória.

A origem do nome é incerta. Uma hipótese o relaciona a stomachos (στόμαχος), palavra grega para garganta ou estômago.[94] O poeta romano Ausônio também descreveu o jogo como uma combinação de peças que podiam formar figuras.[92]

Problema Bovino

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Nesse poema dirigido a Eratóstenes e aos matemáticos de Alexandria, Arquimedes desafia os leitores a encontrar o número de animais do rebanho do Sol mediante equações diofantinas. Gotthold Ephraim Lessing encontrou o texto grego de 44 versos num manuscrito da Biblioteca Herzog August, em Volfembutel, em 1773. As condições adicionais exigem que uma soma seja um quadrado perfeito e outra, um número triangular. Em 1880, A. Amthor estabeleceu a ordem de grandeza da menor solução, aproximadamente 7,760271 × 10206544, um número de 206.545 algarismos. Seus algarismos foram calculados com computadores em 1965.[95][96][67]

O Método dos Teoremas Mecânicos

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Animação de um triângulo e de uma região parabólica representados em equilíbrio numa alavanca.
Ao imaginar figuras geométricas como pesos, Arquimedes encontrava relações entre suas áreas antes de demonstrá-las por geometria.

Como o Problema Bovino, a obra foi redigida em forma de carta a Eratóstenes. Arquimedes emprega um procedimento que lembra o posterior princípio de Cavalieri para reencontrar resultados de A Quadratura da Parábola, Sobre a Esfera e o Cilindro, Sobre as Espirais e Sobre Conoides e Esferoides.[97][98] Com a lei da alavanca, determina centros de gravidade e raciocina geometricamente para chegar a áreas e volumes.[99] Diz que encontrou primeiro os resultados pelo método mecânico e depois os demonstrou rigorosamente pela exaustão. Ao explicar a utilidade de saber qual resultado se procura demonstrar, recorda que Demócrito havia afirmado uma relação sobre os volumes de pirâmides e cones antes das demonstrações de Eudoxo.[100] O tratado era dado como perdido até a descoberta do Palimpsesto de Arquimedes, em 1906.[101]

Obras de atribuição incerta

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O corpus atribuído a Arquimedes sem segurança inclui o Livro dos Lemas, também chamado Liber Assumptorum, que reúne quinze proposições sobre círculos. A cópia mais antiga conhecida está em árabe. T. L. Heath observou que o texto, na forma preservada, cita Arquimedes pelo nome e, portanto, teria sido compilado depois dele, embora pudesse conter ideias suas, como o arbelos e o salinon.[102] Paul Tannery supôs que uma obra original, se existiu, já estava perdida no tempo de Papo, que chamou lemas semelhantes de antigos e provenientes de obras diferentes.[103][104]

O poema latino Carmen de ponderibus et mensuris, atribuído a Rêmio Favino (ou Flavino), retoma a história da coroa mediante uma balança hidrostática, mas não é uma obra de Arquimedes.[12]

Animação de linhas e pontos geométricos em torno de um quadrado, com regiões triangulares sombreadas.
Uma construção do heptágono regular circulou em árabe sob o nome de Arquimedes, mas a atribuição do tratado é discutida.

Um tratado sobre a divisão do círculo em sete partes iguais sobreviveu em árabe sob o nome de Arquimedes e foi associado a uma tradução de Tábite ibne Curra. O original grego não se conservou. A autoria arquimediana da construção do heptágono é controversa, e o texto transmitido apresenta alterações.[105][106]

Obras perdidas

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Muitos escritos de Arquimedes não se conservaram ou sobreviveram em fragmentos muito alterados.[107] Papo cita Sobre a Construção de Esferas, uma obra sobre poliedros semirregulares e outra sobre espirais. Téon de Alexandria reproduz uma observação sobre refração da perdida Catóptrica. Havia ainda Princípios, dirigido a Zeuxipo e dedicado ao sistema numérico de O Contador de Areia, Sobre as Balanças e Sobre os Centros de Gravidade.[108]

Autores do mundo islâmico medieval também atribuíram a Arquimedes a fórmula que calcula a área do triângulo a partir dos três lados. Ela é chamada fórmula de Heron porque a primeira ocorrência conhecida está numa obra de Heron de Alexandria, do século I d.C. É possível que figurasse em um escrito perdido de Arquimedes.[109]

Palimpsesto de Arquimedes

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Duas páginas amareladas de manuscrito com colunas de escrita e desenhos geométricos pouco visíveis.
Sob as orações do século XIII, o Palimpsesto de Arquimedes conserva cópias de tratados gregos que se julgavam perdidos.

Em 1906, o filólogo dinamarquês Johan Ludvig Heiberg examinou em Constantinopla um manuscrito de orações do século XIII composto hoje por 174 fólios de pergaminho. O livro de orações foi concluído até abril de 1229, possivelmente em Jerusalém.[110] Athanasios Papadopoulos-Kerameus publicara em 1899 uma breve transcrição que chamara sua atenção.[111][112] Heiberg constatou que se tratava de um palimpsesto: as páginas de velino haviam sido raspadas e reutilizadas para um novo texto. Sob as orações, estudiosos reconheceram cópias do século X de obras de Arquimedes. Essa cópia é conhecida como códice C na tradição dos manuscritos arquimedianos.[113][111][114] O manuscrito conserva sete tratados, entre eles a única cópia em grego preservada de Sobre os Corpos Flutuantes e a única fonte conhecida de O Método dos Teoremas Mecânicos. Contém ainda uma versão mais completa do Stomachion.

Os textos de Arquimedes presentes no palimpsesto são:

O manuscrito também contém discursos de Hiperides, político do século IV a.C., um comentário às Categorias de Aristóteles e outros textos.

Página de pergaminho com linhas de escrita sobrepostas, realçadas por processamento de imagem.
A imagem processada ajuda a ler a escrita antiga escondida sob as orações do palimpsesto.

Depois de passar por uma biblioteca ligada ao Patriarcado de Jerusalém em Constantinopla, o pergaminho chegou a uma coleção particular francesa; a família dos antigos proprietários afirmou possuí-lo desde a década de 1920, mas a data de sua saída da biblioteca não é conhecida.[115] Em outubro de 1998, foi arrematado por um comprador anônimo por dois milhões de dólares.[115] Foi depositado no Museu de Arte Walters, em Baltimore, para conservação e estudo. Fotografias em diferentes comprimentos de onda, inclusive sob luz ultravioleta, e técnicas de fluorescência por raios X ajudaram a ler parte dos textos encobertos.[116][117] O códice pertence a um colecionador particular e, segundo o CNRS em 2026, estava sob os cuidados do museu.[118]

Em 2026, o pesquisador Victor Gysembergh identificou no Museu de Belas Artes de Blois, na França, um fólio ausente do volume desde o século XX. A comparação com fotografias feitas no tempo de Heiberg confirmou que se trata da folha 123, com passagens das proposições 39 a 41 do primeiro livro de Sobre a Esfera e o Cilindro. Um dos lados conserva diagramas e texto parcialmente legíveis; o outro está coberto por uma pintura acrescentada no século XX. Dois outros fólios fotografados por Heiberg continuam desaparecidos.[119][118]

Recepção e influência

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As provas geométricas de Arquimedes e seus métodos para encontrar áreas e volumes despertaram o interesse de matemáticos de épocas posteriores.[120]

Estátua de bronze de um homem barbado sentado, com uma perna dobrada e uma mão voltada para a base.
Em Berlim, a escultura de Gerhard Thieme retoma a imagem de Arquimedes concentrado em seus estudos.

Antiguidade clássica

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Entre os autores antigos que escreveram sobre Arquimedes, Ateneu narra sua participação no lançamento do Siracusia,[121][122] enquanto Apuleio menciona seus estudos de catóptrica, o estudo dos espelhos.[123][124] Plutarco afirmava que Arquimedes desprezava a mecânica e preferia a geometria pura.[125] Seus escritos, porém, também investigam o equilíbrio dos corpos e dos líquidos, assuntos da estática e da hidrostática.[120]

Idade Média

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Na Idade Média, Tábite ibne Curra traduziu para o árabe obras atribuídas a Arquimedes, e Gerardo de Cremona traduziu textos do árabe para o latim. Os tratados chegaram aos leitores por caminhos diferentes, conforme as cópias que estavam ao alcance dos tradutores.[126]

Em 1269, Guilherme de Moerbeke traduziu diretamente do grego para o latim um conjunto de obras de Arquimedes em Viterbo, na Itália. Tinha à disposição dois manuscritos, chamados códices A e B. O B continha Sobre os Corpos Flutuantes e desapareceu dos registros depois de 1311. O A foi usado na primeira edição impressa das obras gregas, em 1544, antes de também se perder no século XVI. A tradução latina de Moerbeke manteve Sobre os Corpos Flutuantes acessível mesmo onde não havia uma cópia grega.[127][128] Iacobus Cremonensis também passou obras gregas para o latim.[126]

Renascimento e início da era moderna

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As obras gregas de Arquimedes foram impressas ao lado de versões latinas pela primeira vez em Basileia, em 1544, numa edição de Johann Herwagen.[129] Os livros passaram pelas mãos de matemáticos do Renascimento e da Revolução Científica.[130][131]

Desenho antigo de uma moeda: perfil de homem barbado à esquerda e objeto esférico sobre suporte à direita.
O desenho de 1612 registra uma moeda hoje perdida, cuja datação e identificação permanecem incertas.

No início do século XVI, Francisco de Melo refez os argumentos de um tratado medieval sobre corpos mergulhados em líquidos que circulava sob o nome de Arquimedes, embora não fosse obra dele. Os comentários de Melo chegaram a leitores franceses numa tradução publicada em 1565.[132]

Página impressa de 1544 com texto grego e um diagrama geométrico.
Na edição de Basileia de 1544, diagramas apareciam ao lado do texto grego, permitindo acompanhar as demonstrações de Arquimedes.

Em 1546, Pedro Nunes recorreu aos limites calculados por Arquimedes para π ao contestar a suposta quadratura do círculo apresentada por Orôncio Fineu. Ao escrever depois sobre navegação, voltou a O Contador de Areia e Sobre a Esfera e o Cilindro para tratar de medidas astronômicas e de distâncias na superfície de uma esfera.[133]

Leonardo da Vinci admirava Arquimedes e lhe atribuiu o Architronito, projeto de canhão a vapor, embora nenhum testemunho de sua época confirme que ele tivesse inventado o aparelho.[134] Galileu o chamou de "meu mestre" e estudou especialmente os textos sobre equilíbrio e flutuação.[135] Christiaan Huygens voltou a problemas semelhantes: aproximou π usando polígonos, investigou áreas e centros de gravidade de cônicas e escreveu sobre corpos flutuantes.[136]

Um manual em português escrito por Manuel de Campos para a Aula da Esfera do Colégio de Santo Antão, em Lisboa, ensinava os limites de π estabelecidos por Arquimedes e teoremas sobre a área da esfera. O livro foi publicado em 1735 para uso dos estudantes.[137]

Filippo Paruta e Leonardo Agostini falaram de uma moeda siciliana de bronze que trazia um retrato de Arquimedes de um lado e uma esfera, um cilindro e as letras ARMD do outro.[138] A moeda se perdeu, e não se sabe ao certo quando foi cunhada. Ivo Schneider propôs que a figura pudesse mostrar um dos planetários atribuídos a Arquimedes e levantou a possibilidade de uma cunhagem em Roma para Marcelo.[139]

Matemática moderna

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Medalha dourada com busto de homem barbado de perfil e inscrição latina ao redor.
A Medalha Fields traz o rosto de Arquimedes e, no verso, a esfera e o cilindro que Cícero encontrou em seu túmulo.

A descoberta das obras escondidas no Palimpsesto, em 1906, permitiu acompanhar melhor como Arquimedes encontrava seus resultados.[140] Seu retrato aparece na Medalha Fields, concedida por realizações matemáticas, junto de uma referência à esfera e ao cilindro. Ao redor da cabeça lê-se a frase latina Transire suum pectus mundoque potiri, de Marco Manílio, que pode ser traduzida como "Ir além de si mesmo e abarcar o mundo".[141][142][143]

O texto grego de Sobre as Medidas do Círculo e os fragmentos gregos e árabes do Stomachion ganharam versões anotadas em português em trabalhos publicados no Brasil.[144][145] As notas da tradução do Stomachion ajudam a acompanhar o jogo de peças e as questões matemáticas que ele levanta.[145]

Presença cultural

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Pintura de um homem idoso de barba branca e roupa escura, apontando para o lado.
Retratos posteriores, como este atribuído a Giuseppe Nogari, mostram como Arquimedes foi imaginado muito depois de sua época.

O SS Archimedes foi construído em 1838 e apresentado em 1839 com uma hélice propulsora patenteada por Francis Pettit Smith. Foi o primeiro navio a vapor movido por esse tipo de hélice, que depois passou a ser usada em outras embarcações.[146]

Na animação A Espada Era a Lei, de 1963, a coruja que acompanha Merlin chama-se Arquimedes.[147][148] O romance histórico The Sand-Reckoner, de Gillian Bradshaw, imagina o jovem matemático voltando de Alexandria para Siracusa, onde precisa trabalhar como engenheiro em meio à guerra.[149]

Em Indiana Jones e a Relíquia do Destino, de 2023, a busca por um disco atribuído a Arquimedes leva Indiana Jones à antiga Siracusa, onde ele encontra o próprio matemático.[150] O disco do filme foi inspirado na Máquina de Anticítera, um aparelho real usado para cálculos astronômicos. A capacidade de encontrar passagens pelo tempo pertence à ficção, e a autoria do mecanismo antigo permanece desconhecida.[151][152]

Selos da Alemanha Oriental em 1973, da Grécia e da Itália em 1983, da Nicarágua em 1971, de San Marino em 1982 e da Espanha em 1963 trouxeram imagens de Arquimedes.[153]

A Califórnia adotou como lema a exclamação "Eureca!", atribuída a Arquimedes. Nesse lema, a palavra se refere ao ouro encontrado perto de Sutter's Mill em 1848, descoberta que deu início à corrida do ouro.[154]

Na Lua, a cratera Arquimedes fica a 29,7° N e 4,0° O,[155] enquanto a cordilheira Montes Archimedes fica perto de 25,4° N e 5,4° O.[156]

Ver também

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Notas

  1. ↑ Em grego antigo dórico, Ἀρχιμήδης, pronunciado aproximadamente Arkhimédēs.
  2. ↑ Em grego, εὕρηκα, transliterado heúrēka.
  3. ↑ A frase atribuída a Arquimedes é transmitida em grego como δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω.
  4. ↑ Experimentos modernos examinaram a viabilidade da garra; uma reconstrução apresentada num documentário de 2005 foi considerada funcional.
  5. ↑ Embora Eudoxo receba por vezes o crédito por todo o livro XII dos Elementos, Arquimedes lhe atribui explicitamente apenas as demonstrações de XII.7 e XII.10, sobre o volume da pirâmide e do cone. Acerbi (2018), p. 279.
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Fontes

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Testemunhos antigos

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Estudos modernos

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Leitura adicional

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  • Arquimedes. Sobre os corpos flutuantes. Tradução e comentários de Ceno Pietro Magnaghi. Editora Átomo, 2024. ISBN 978-65-87322-31-5.
  • Ceno Pietro Magnaghi e André Koch Torres Assis. O Método de Arquimedes: análise e tradução comentada. LF Editorial, 2026. ISBN 978-65-5563-731-1.
  • André Koch Torres Assis. Arquimedes, o centro de gravidade e a lei da alavanca. LF Editorial, 2011. ISBN 978-85-7861-105-7.
  • Reviel Netz e William Noel. Códex Arquimedes. Record, 2009. ISBN 978-85-01-07870-4.
  • Amílcar Branquinho. "Arquimedes, uma mente brilhante". Gazeta de Matemática, n.º 181, pp. 17–19, 2017.
  • Marshall Clagett, org. Archimedes in the Middle Ages. 5 volumes. University of Wisconsin Press e American Philosophical Society, 1964–1984. Em inglês.
  • Reviel Netz. The Works of Archimedes: Translation and Commentary. Vol. 1, The Two Books on the Sphere and the Cylinder, 2004, ISBN 978-0-521-66160-7; vol. 2, On Spirals, 2017, ISBN 978-0-521-66145-4. Cambridge University Press. Em inglês.
  • Sherman K. Stein. Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka? Mathematical Association of America, 1999. Em inglês.

Ligações externas

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