Eenvoudige harmonische beweging

Animatie van een eenvoudige harmonische beweging.

In de mechanica en natuurkunde is een eenvoudige harmonische beweging een bijzondere vorm van periodieke beweging. Hierbij ondervindt een voorwerp een terugdrijvende kracht waarvan de grootte recht evenredig is met de afstand tot de evenwichtsstand en die steeds naar die evenwichtsstand is gericht. Het resultaat is een trilling die wordt beschreven door een sinusoïde. Zonder wrijving of andere vormen van dissipatie van energie zou deze trilling in theorie onbeperkt doorgaan.

Eenvoudige harmonische beweging kan dienen als wiskundig model voor verschillende soorten bewegingen. Een bekend voorbeeld is de trilling van een massa aan een veer, waarbij de terugdrijvende kracht wordt beschreven door de wet van Hooke. De beweging is sinusvormig in de tijd en heeft één karakteristieke frequentie.

Ook andere verschijnselen kunnen bij benadering als eenvoudige harmonische beweging worden beschreven. Een voorbeeld hiervan is de beweging van een slinger, mits de uitwijking klein blijft. In dat geval kan de beweging met de kleine-hoekbenadering worden benaderd. Daarnaast wordt eenvoudige harmonische beweging gebruikt bij het beschrijven van onder meer moleculaire vibratie.

Eenvoudige harmonische beweging vormt ook een basis voor het analyseren van ingewikkeldere periodieke bewegingen, bijvoorbeeld met behulp van Fourieranalyse.

Beschrijving

Eenvoudige harmonische beweging weergegeven in de gewone ruimte en in de faseruimte. De baan is periodiek. In deze afbeelding zijn de assen voor snelheid en positie omgekeerd ten opzichte van de gebruikelijke conventie, zodat de twee diagrammen beter op elkaar aansluiten.

De beweging van een deeltje langs een rechte lijn wordt een eenvoudige harmonische beweging genoemd wanneer de versnelling steeds gericht is naar een vast punt op die lijn en de grootte van die versnelling recht evenredig is met de uitwijking ten opzichte van dat vaste punt.

Een eenvoudig voorbeeld is een harmonische oscillator, bestaande uit een massa die aan het uiteinde van een veer is bevestigd. Het andere uiteinde van de veer is verbonden met een vast steunpunt, bijvoorbeeld een muur. Wanneer het systeem in de evenwichtsstand tot rust komt, werkt er geen resulterende kracht op de massa. Wordt de massa echter uit de evenwichtsstand gebracht, dan oefent de veer een terugdrijvende elastische kracht uit die voldoet aan de wet van Hooke.

Wiskundig wordt dit geschreven als:

$\mathbf {F} =-k\mathbf {x}$

waarin F de terugdrijvende elastische kracht is die door de veer wordt uitgeoefend, uitgedrukt in newton (N), k de veerconstante is, uitgedrukt in newton per meter (N/m), en x de uitwijking ten opzichte van de evenwichtsstand is, uitgedrukt in meter.

Bij een eenvoudige mechanische harmonische oscillator geldt dat wanneer het systeem uit zijn evenwichtsstand wordt gebracht, een terugdrijvende kracht ontstaat die het systeem naar de evenwichtsstand probeert terug te brengen. Deze kracht voldoet in het ideale geval aan de wet van Hooke.

Zodra de massa uit de evenwichtsstand wordt verplaatst, ondervindt zij een resulterende terugdrijvende kracht. Daardoor versnelt de massa en beweegt zij terug in de richting van de evenwichtsstand. Naarmate de massa dichter bij de evenwichtsstand komt, neemt de terugdrijvende kracht af. In de evenwichtsstand zelf is de resulterende terugdrijvende kracht nul. De massa heeft op dat moment echter nog impuls door de versnelling die eerder door de terugdrijvende kracht is veroorzaakt. Daardoor beweegt de massa voorbij de evenwichtsstand en wordt de veer samengedrukt of verder uitgerekt. Vervolgens werkt opnieuw een terugdrijvende kracht, die de massa afremt totdat de snelheid nul wordt. Daarna wordt de massa opnieuw in de richting van de evenwichtsstand versneld.

Zolang er geen energieverlies in het systeem optreedt, blijft de massa heen en weer bewegen. Eenvoudige harmonische beweging is daarom een vorm van periodieke beweging. Wanneer er wel energie verloren gaat, bijvoorbeeld door wrijving, ontstaat een gedempte trilling.

Wanneer de voorstelling in de gewone ruimte en die in de faseruimte niet collineair zijn, krijgt de beweging in de faseruimte de vorm van een ellips. De oppervlakte binnen deze ellips hangt af van de amplitude en de maximale impuls.

Dynamica

In de newtoniaanse mechanica kan de bewegingsvergelijking voor een eendimensionale eenvoudige harmonische beweging worden afgeleid uit de tweede wet van Newton en de wet van Hooke. Voor een massa aan een veer geldt:

$F_{\mathrm {res} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,$

waarin m de traagheidsmass van het trillende lichaam is, x de uitwijking ten opzichte van de evenwichtsstand is en k een constante is. Bij een massa aan een veer is k de veerconstante.

Hieruit volgt:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x.$

Deze differentiaalvergelijking heeft als oplossing een sinusvormige functie:

$x(t)=c_{1}\cos(\omega t)+c_{2}\sin(\omega t),$

waarbij

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.$

De constanten $c_{1}$ en $c_{2}$ worden bepaald door de beginvoorwaarden. Voor $t=0$ geldt dat $x(0)=c_{1}$, zodat $c_{1}$ de beginpositie is. Door de afgeleide van de plaatsfunctie te nemen volgt dat ${\dot {x}}(0)=\omega c_{2}$. Daarmee is $c_{2}$ gelijk aan de beginsnelheid gedeeld door de hoekfrequentie:

$c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}.$

De plaats als functie van de tijd kan daarom worden geschreven als:

$x(t)=x_{0}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}\,t\right)+{\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}\,t\right).$

Een veelgebruikte equivalente vorm is:

$x(t)=A\cos(\omega t-\varphi ),$

waarbij A de amplitude is en φ de beginfase. De grootheden A en φ hangen samen met c₁ en c₂ volgens:

$A={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}},$

$\tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}},$

en

$\sin \varphi ={\frac {c_{2}}{A}},\qquad \cos \varphi ={\frac {c_{1}}{A}}.$

Met behulp van differentiaalrekening kunnen ook de snelheid en versnelling als functie van de tijd worden bepaald:

$v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),$

$a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).$

De maximale snelheid wordt bereikt in de evenwichtsstand en is:

$v_{\mathrm {max} }=\omega A.$

De snelheid kan ook worden uitgedrukt als functie van de uitwijking:

$v=\omega {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}.$

De maximale versnelling treedt op in de uiterste standen van de beweging en is:

$a_{\mathrm {max} }=A\omega ^{2}.$

Voor een eenvoudige harmonische beweging is de versnelling per definitie recht evenredig met de uitwijking en tegengesteld daaraan gericht:

$a(x)=-\omega ^{2}x.$

Voor een massa aan een veer geldt:

$\omega ^{2}={\frac {k}{m}}.$

Omdat ω = 2πf, volgt voor de frequentie:

$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}.$

Aangezien de periode T gelijk is aan T = 1/f, geldt:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.$

Uit deze vergelijkingen blijkt dat een ideale eenvoudige harmonische beweging isochroon is: de periode en frequentie zijn onafhankelijk van de amplitude en van de beginfase van de beweging.

Energie

De energie in een oscillerend systeem wordt voortdurend omgezet tussen potentiële energie en kinetische energie. Door $\omega ^{2}$ te vervangen door ${\frac {k}{m}}$, kan de kinetische energie $K$ van het systeem op tijdstip $t$ worden geschreven als:

$$K(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}(t)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ).$$

De potentiële energie is:

$$U(t)={\frac {1}{2}}kx^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).$$

Bij afwezigheid van wrijving en andere vormen van energieverlies door externe krachten blijft de totale mechanische energie constant:

$$E=K+U={\frac {1}{2}}kA^{2}.$$