အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု

ပြောင်းပြန် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု (opposite isometry) နှစ်ခု၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) သည် တိုက်ရိုက် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု (direct isometry) တစ်ခုဖြစ်သည်။ မျဉ်းတစ်ကြောင်းအတွင်းရှိ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (reflection) သည် ပြောင်းပြန် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုတစ်ခုဖြစ်သည်။ ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်း (translation) $T$ သည် တိုက်ရိုက် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုတစ်ခုဖြစ်ပြီး ပုံမပျက် ရွေ့လျားမှု (rigid motion) တစ်ခုဖြစ်သည်။

အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု (isometry) သို့မဟုတ် ထပ်တူညီ အသွင်ပြောင်းခြင်း (congruent transformation) ဆိုသည်မှာ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) များအကြား အကွာအဝေးကို ထိန်းသိမ်းထားသော ပုံဖော်မှု (distance-preserving map) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ၎င်းအသွင်ပြောင်းခြင်း (transformation) သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုမှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့ သက်ရောက်ပါက ၎င်းသည် ရွေ့လျားမှု (motion) တစ်ခုဖြစ်သည်။

အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ (Metric spaces)

$(X,d_{X})$ နှင့် $(Y,d_{Y})$ တို့ကို အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ပုံဖော်မှု (map) $f:X\to Y$ သည် $a,b\in X$ အားလုံးအတွက် $d_{X}(a,b)=d_{Y}(f(a),f(b))$ ကို ပြည့်စုံစေပါက ၎င်းကို အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုတစ်ခု သို့မဟုတ် အကွာအဝေးကို ထိန်းသိမ်းထားသော ပုံဖော်မှုတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။

အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုတစ်ခုသည် တိကျစွာ အင်ဂျက်တစ် (strictly injective) ဖြစ်သည်။ အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုတိုင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ထည့်သွင်းခြင်း (topological embedding) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အလုံးစုံ အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု (global isometry) သို့မဟုတ် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းသော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isometric isomorphism) ဆိုသည်မှာ ဘိုင်ဂျက်တစ် (bijective) ဖြစ်သော အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုဖြစ်သည်။

လမ်းကြောင်း အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု (path isometry) သို့မဟုတ် မျဉ်းပိုင်းအတိုင်း အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု (arcwise isometry) ဆိုသည်မှာ မျဉ်းကွေး (curve) များ၏ အလျား (length) များကို ထိန်းသိမ်းထားသော ပုံဖော်မှုဖြစ်သည်။ ထိုကဲ့သို့သော ပုံဖော်မှုသည် အလုံးစုံ အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းခြင်းသဘောတရားအရ အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုတစ်ခု ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ဘဲ တိကျစွာ အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်ရန်လည်း မလိုအပ်ပေ။

စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Normed vector spaces)

ကိန်းစစ် စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ရပ်ဝန်းများ (real normed spaces) အကြား $0\to 0$ ကို ပုံဖော်ပေးသော မည်သည့် ဆာဂျက်တစ် (surjective) ဖြစ်သည့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု $A:X\to Y$ မဆို အလယ်မှတ် (midpoint) များကို အလယ်မှတ်များသို့ ပုံဖော်ပေးပြီး ၎င်းသည် $\mathbb {R}$ အပေါ်တွင် တိကျစွာ မျဉ်းဖြောင့် (strictly linear) ဖြစ်ကြောင်း မာဇူးရ်-အူလမ် သီအိုရမ် (Mazur–Ulam theorem) က ဖော်ပြထားသည်။

စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (normed vector space) များဖြစ်သည့် $V$ နှင့် $W$ တို့အတွက် မျဉ်းဖြောင့် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု (linear isometry) ဆိုသည်မှာ စံနှုန်းများ (norms) ကို ထိန်းသိမ်းထားသော မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု $A:V\to W$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $v\in V$ အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။

$\|Av\|_{W}=\|v\|_{V}$

အကယ်၍ $V$ နှင့် $W$ တို့သည် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများဖြစ်ပါက ၎င်းသည် $\langle v,v\rangle _{V}=\langle Av,Av\rangle _{W}$ ဖြစ်သည်ဟု ဆိုလိုပြီး တစ်နည်းအားဖြင့် $A^{\dagger }A=\operatorname {Id} _{V}$ နှင့် ထပ်တူညီသည် (equivalently)။

ရီးမန်း မန်နီဖိုးများ (Riemannian manifolds)

$(M,g)$ နှင့် $(M',g')$ တို့ကို ဆူဒို-ရီးမန်း မန်နီဖိုး (pseudo-Riemannian manifold) များအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ အကယ်၍ $g=f^{*}g'$ ဖြစ်ပါက ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင် (diffeomorphism) $f:M\to M'$ သည် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုတစ်ခုဖြစ်သည်။ ထိုနေရာတွင် $f^{*}g'$ သည် $f$ ဖြင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) $g'$ ကို ပြုလုပ်ထားသော ပူးလ်ဘက် (pullback) ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ရှေ့သို့တွန်းပို့ချက် (pushforward) $f_{*}$ ကို အသုံးပြု၍ $M$ ပေါ်ရှိ မည်သည့် ဗက်တာစက်ကွင်း (vector field) များဖြစ်သော $v,w$ အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

$g(v,w)=(g'(f_{*}v,f_{*}w))\circ f$

မိုင်ယာစ်-စတင်းရော့ဒ် သီအိုရမ် (Myers–Steenrod theorem) အရ ဆက်စပ်နေသော (connected) ရီးမန်း မန်နီဖိုး (Riemannian manifold) နှစ်ခုအကြားရှိ မည်သည့် အလုံးစုံ အကွာအဝေးကို ထိန်းသိမ်းထားသော ပုံဖော်မှု (မက်ထရစ် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု) မဆို ချောမွေ့သော ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင် (smooth diffeomorphism) တစ်ခုဖြစ်ရန် မဖြစ်မနေလိုအပ်ပြီး ရီးမန်းဆိုင်ရာ အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု (Riemannian isometry) တစ်ခုဖြစ်သည်။

ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations)

• $\varepsilon >0$ အတွက် $\varepsilon$-အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု သို့မဟုတ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှု (Hausdorff approximation) သည် $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon$ ဖြစ်သည့် ပုံဖော်မှု $f:X\to Y$ တစ်ခုဖြစ်ပြီး မည်သည့် $y\in Y$ အတွက်မဆို $d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon$ ကို ပြည့်စုံစေမည့် $x\in X$ တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤပုံဖော်မှုကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သည်ဟု (continuous) မယူဆထားပေ။
• သရုပ်မဲ့ ထပ်တူရပါသော C*-အက္ခရာသင်္ချာ (unital C*-algebra) တစ်ခုအတွင်းရှိ အစုဝင် $a$ တစ်ခုသည် $a^{*}a=1$ ဖြစ်ပါက C*-အက္ခရာသင်္ချာ အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။

ကိုးကား (References)

• Beckman၊ F. S.; Quarles၊ D. A. (1953)၊ "On isometries of Euclidean spaces"၊ Proceedings of the American Mathematical Society၊ 4 (5): 810–815၊ doi:10.2307/2032415
• Coxeter၊ H. S. M. (1969)၊ Introduction to Geometry (2nd ed.)၊ John Wiley & Sons၊ ISBN 978-0-471-50458-0
• Narici၊ Lawrence; Beckenstein၊ Edward (2011)၊ Topological Vector Spaces (2nd ed.)၊ CRC Press၊ ISBN 978-1584888666
• Wilansky၊ Albert (2013)၊ Modern Methods in Topological Vector Spaces၊ McGraw-Hill၊ ISBN 978-0-07-070180-9