ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်

ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugation) ဆိုသည်မှာ ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ် (Cartesian coordinate) များတွင် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသော ဖီးလ်ဒ် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (field automorphism) ${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {C} \to \mathbb {C} } ဖြစ်သည်။

$z=a+b\mathrm {i} \mapsto {\overline {z}}=a-b\mathrm {i}$

ဤတွင် $a,b\in \mathbb {R}$ ဖြစ်သည်။

ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ (polar form) တွင် $r\geq 0$ နှင့် $\varphi \in \mathbb {R}$ ပါဝင်သော $z=re^{\mathrm {i} \varphi }$ အတွက် ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugate) မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။

${\overline {z}}=re^{-\mathrm {i} \varphi }$

ဂျီဩမေတြီအရ ဤတွက်ချက်မှုသည် $\mathbb {C}$ အား ကိန်းစစ်ဝင်ရိုးတစ်လျှောက် အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (reflection) တစ်ခုနှင့် ကိုက်ညီသည်။

အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Algebraic Properties)

$z=a+b\mathrm {i}$ ဖြစ်သော အားလုံးသော $z,z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ အတွက် ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်သည် အောက်ပါ ထပ်တူညီမှုများကို ပြည့်စုံစေသည်။

• ${\overline {\overline {z}}}=z$ အင်ဗော်လူးရှင်း (involution) ဖြစ်သည်။
• $z={\overline {z}}\iff z\in \mathbb {R}$
• ${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z}}_{1}+{\overline {z}}_{2}$
• ${\overline {z_{1}z_{2}}}={\overline {z}}_{1}{\overline {z}}_{2}$
• $z_{2}\neq 0$ အတွက် ${\overline {\left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)}}={\frac {{\overline {z}}_{1}}{{\overline {z}}_{2}}}$
• $\mathrm {Re} (z)={\frac {1}{2}}(z+{\overline {z}})=a$
• $\mathrm {Im} (z)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(z-{\overline {z}})=b$
• $|z|=|{\overline {z}}|$
• $z{\overline {z}}=|z|^{2}=a^{2}+b^{2}$
• $|z|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$
• $\exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}$
• အနုတ် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် မရှိသော $z\neq 0$ အတွက် $\log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}$
• $\mathbb {R}$ သို့ ကန့်သတ်ခြင်းက ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိဖြစ်ပြီး $\mathbb {R}$ ကို ဖြတ်သန်းသွားသည့် ကွန်ဂျူဂိတ်တွင် မပြောင်းလဲသော ဆက်စပ်နေသည့် အဖွင့် အရင်းအမြစ်စုတစ်ခုပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော မည်သည့် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင် (holomorphic function) $\varphi$ အတွက်မဆို ${\overline {\varphi (z)}}=\varphi ({\overline {z}})$ ဖြစ်သည်။

• ဤဂုဏ်သတ္တိများသည် $z\neq 0$ ၏ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (multiplicative inverse) အတွက် ပုံသေနည်းကို တိုက်ရိုက်ရရှိစေသည်။

$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}$

• အကျိုးဆက်အားဖြင့် ကိန်းထွေး နှစ်ခု၏ စားခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}{\overline {z}}_{2}}{|z_{2}|^{2}}}={\frac {(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+(b_{1}a_{2}-a_{1}b_{2})\mathrm {i} }{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$

ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations)

ကိန်းအုံ ကွန်ဂျူဂိတ် (Matrix Conjugation)

ကိန်းအုံ $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ တစ်ခုအတွက် ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းအုံ (complex conjugate matrix) ${\overline {A}}$ ကို $({\overline {A}})_{ij}={\overline {A_{ij}}}$ ဖြင့် သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (component-wise) သတ်မှတ်သည်။ ဟာမီရှန် ထရန်စပို့စ် (Hermitian transpose) သို့မဟုတ် တွဲဖက် (adjoint) ကိန်းအုံကို ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းအုံ၏ ထရန်စပို့စ် (transpose) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်။

$A^{*}={\overline {A}}^{T}$

ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (Field Theory)

$L/K$ ကို ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ဆိုကြပါစို့။ $L/K$ သည် မူမှန် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (normal field extension) တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ယူဆလျှင် $K$ အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ (algebraic) ဖြစ်သော အစုဝင်နှစ်ခုဖြစ်သည့် $\alpha ,\beta \in L$ သည် $K[x]$ တွင် တူညီသော အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ် (minimal polynomial) ကို မျှဝေသုံးစွဲပါက $K$ အပေါ်ရှိ ကွန်ဂျူဂိတ်အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီစွာဖြင့် $\sigma (\alpha )=\beta$ ဖြစ်စေသော $K$-အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) $\sigma \in \mathrm {Aut} (L/K)$ တစ်ခု တည်ရှိပါက $\beta$ သည် $\alpha$ ၏ ကွန်ဂျူဂိတ်တစ်ခုဖြစ်သည်။

ကိုးကား (References)

• Arens၊ Tilo; Hettlich၊ Frank; Karpfinger၊ Christian; Kockelkorn၊ Ulrich; Lichtenegger၊ Klaus; Stachel၊ Hellmuth (2008)၊ Mathematik၊ Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag၊ ISBN 978-3-8274-1758-9
• Bronstein၊ I. N.; Semendjajew၊ K. A.; Musiol၊ Gerhard; Mühlig၊ Heiner (2008)၊ Taschenbuch der Mathematik (7th ed.)၊ Frankfurt: Verlag Harri Deutsch၊ ISBN 978-3-8171-2007-9
• Merziger၊ Gerhard; Wirth၊ Thomas (2006)၊ Repetitorium der höheren Mathematik (5th ed.)၊ Springe: Binomi၊ ISBN 978-3923923335