ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നം

ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം

https://ml.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_symbol

ടെൻസർ കലനത്തിൽ(Tensor calculus) ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രചിഹ്നമാണ് ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നം.ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനുമായിരുന്ന ടുള്ളിയോ ലെവി സിവിറ്റയോടുള്ള ബഹുമാനാർഥമായാണ് ഈ പേര് നൽകപ്പെട്ടത്.

നിർവചനം

ത്രിമാന ലെവി സിവിറ്റ ചിഹ്നം താഴെക്കാണുന്ന വിധത്തിലാണ് നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്;

ε_{i j k} = {\begin{matrix} + 1 & if (i, j, k) is (1, 2, 3), (3, 1, 2) or (2, 3, 1), \\ - 1 & if (i, j, k) is (1, 3, 2), (3, 2, 1) or (2, 1, 3), \\ 0 & if i = j or j = k or k = i \end{matrix}

$ε_{i j k}$ ന്റെ വില,(i, j, k)എന്നത് (1,2,3) ന്റെ ഇരട്ട ക്രമചയമാണെങ്കിൽ (even permutation) 1ഉം ഒറ്റ ക്രമചയമാണെങ്കിൽ(odd permutation) -1ഉം i,j,k എന്നിവയിലേതെങ്കിലും ആവർത്തിക്കുകയാണെങ്കിൽ 0വും ആണ്.

ത്രിമാന ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാൻ താഴെക്കാണുന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം;

ε_{i j k} = \frac{(j - i) (k - i) (k - j)}{2} = \frac{(i - j) (j - k) (k - i)}{2}

ചതുർമാനത്തിൽ ഇതിന്റെ മൂല്യം;

ε_{i j k l} = \frac{(j - i) (k - i) (l - i) (k - j) (l - j) (l - k)}{12} = \frac{(i - j) (i - k) (i - l) (j - k) (j - l) (k - l)}{12}

ആണ്.

ഉദാഹരണത്തിന് രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിൽ,3×3 മാട്രിക്സിന്റെ സാരണികം(determinant) ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നമുപയോഗിച്ച്

det A = \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} ε_{i j k} a_{1 i} a_{2 j} a_{3 k}

എന്നെഴുതാം. രണ്ടു സദിശങ്ങളുടെ ക്രോസ് പ്രോഡക്ട് എഴുതാനും ഈ ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കാം

𝐚 \times 𝐛 = | \begin{matrix} 𝐞_{𝟏} & 𝐞_{𝟐} & 𝐞_{𝟑} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} | = \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} ε_{i j k} 𝐞_{𝐢} a_{j} b_{k}

കുറച്ചുകൂടി ലളിതമായിപ്പറഞ്ഞാൽ:

𝐚 \times 𝐛 = 𝐜, c_{i} = \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} ε_{i j k} a_{j} b_{k} .

അവലംബം

Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (See section 3.5 for a review of tensors in general relativity).