Îhtîmal

Îhtîmalên hatina çend hejmaran bi karanîna du zaran

Îhtîmal an jî dibetî, bi bûyer û terîfên hejmarî yên derbarê îhtîmala pêkhatina wan de mijûl dibe. Îhtîmala bûyerekê hejmareke di navbera 0 û 1 de ye; çiqas ew hejmar mezintir be, ew qas îhtîmala pêkhatina bûyerê zêdetir e. Ew hejmar bi gelemperî wekî rêje (%), di navbeya %0 û %100 de, tê temsîl kirin. Meselakek hêsan avêtina pereyekî adil (bêalî) e. Ji ber ku pere adil e, îhtîmala her du encaman ("ser" û "bin") wekhev e; îhtîmala "ser"ê bi îhtîmala "bin"ê re wekhev e; û ji ber ku tu encamên dî nînin, îhtîmala derketina "ser" an "bin"ê 1/2 ye (ku dikare wekî 0.5 an jî %50 jî were nivîsîn).

Di teoriya îhtîmalê de, ji bo van konseptan formulasyoneke matematîkî ya li ser bingeha aksiomantîk hatiye danîn; ew teorî di warên wekî statîstîk, matematîk, zanist, fînans, qumar, jîriya çêkirî, fêrbûna makîneyê, zanista komputerê, teoriya lîstikan û felsefeyê de bi berfirehî tê bikaranîn, mesela, ji bo derxistina encaman derbarê frekansa pêşbînîkirî ya bûyeran de. Herwiha, teoriya îhtîmalê ji bo ravekirina mekanîzma û rêzikên bingehîn ên sîstemên kompleks jî tê bikaranîn.

Tarîx

Lêkolîna zanistî ya îhtimalê pêşkeftinek modern a matematîkê ye. Qumar temsîl dide ku di seranserê tarîxê de eleqeyek ji bo pîvandina ramanên îhtimalê hebûye, lê danasînên matematîkî yên rast pir dereng derketine holê. Sebebên pêşveçûna yawaş ya matematîka îhtimalê hene. Her çend lîstikên şansê motîvasyona lêkolîna matematîkî ya îhtimalê peyda kirin jî, pirsgirêkên bingehîn hîn jî ji hêla xurafeyan ve têne veşartin.

Ligorî Richard Jeffrey, "Berî nîvê sedeya heftê, têgeha 'îhtimal' (latînî probabilis) tê maneya pejirandî, û bi wê maneyê, bi yekdengî, ji bo raman û çalakiyê dihat bikaranîn. Çalakiyek an ramanek îhtimal ew bû ku însanên aqilmend dê di şert û mercan de bikin an bigirin." Lêbelê, bi taybetî di çarçoveyên qanûnî de, 'îhtimal' dikare ji bo pêşniyarên ku delîlên baş ji bo wan hebûn jî were sepandin.

Gerolamo Cardano (sedeya 16an)

Christiaan Huygens, yek ji kitêbên yekêdi derbare îhtîmalê weşan kir (sedeya 17an).

Zanyarê îtalî a sedeya şanzdehan Gerolamo Cardano, tesîriya terîfkirina "şans" wekî rêjeya encamên erênî li hember encamên neyînî temsîl da (ew yek tê wê maneyê ku îhtîmala bûyerekê bi rêjeya encamên erênî li hember hejmara giştî ya encamên gengaz tê diyarkirin). Ji bilî eserên destpêkê yên Cardano, teoriya îhtîmalan vedigere serdema pevguhertina nameyan di navbeya Pierre de Fermat û Blaise Pascal de (1654). Christiaan Huygens (1657) yekê lêkolîna zanistî ya naskirî li ser vê meseleyê pêşkêş kir. Esera Jakob Bernoulli ya bi navê Ars Conjectandi (piştî mirina wî, 1713) û ya Abraham de Moivre ya bi navê Doctrine of Chances (1718), ew mesele wekî şaxek ji matematîkê nirxandin.

Kokên teoriya xeletiyê digihîjin esera Roger Cotes a bi navê Opera Miscellanea (ku piştî mirina wî di sala 1722an de hat weşandin), lêbelê nivîseke Thomas Simpson a sala 1755an (ku di 1756an de hat çapkirin) yekê car ew teorî li ser nîqaşa xeletiyên çavdêriyê bikaranî. Çapa nû ya vê nivîsê (1757) wan prensîbên bingehîn (aksiyom) temsîl dike ku xeletiyên erênî û neyînî xwedî eynî îhtîmala rûdanê ne, û ku hin sinorên diyarkirî çarçoveya gî xeletiyan diyar dikin. Simpson herwiha behsa xeletiyên berdewam dike û behsa kurveke îhtîmalê dike.

Du yasayên ewil ên derbarê xeletiyan de, ku hatin pêşniyarkirin, ji aliyê Pierre-Simon Laplace ve hatin derxistin. Yasaya yekê di sala 1774an de hat weşandin û tê de dihat gotin ku frekansa xeletiyeke dikare wekî fonksiyoneke eksponensiyel a mezinahiya hejmarî ya xeletiyê were îfadekirin, bêyî ku li temsîla wê (erênî an neyînîbûna wê) were nihêrîn. Yasaya duyê a xeletiyan di sala 1778an de ji aliyê Laplace ve hat pêşniyarkirin û tê de dihat gotin ku frekansa xeletiyê fonksiyoneke eksponensiyel a çargoşeya xeletiyê ye. Yasaya duyê a xeletiyan wekî "belavbûna normal" an jî "yasaya Gauss" tê naskirin. "Ji hêla tarîxê ve zehmet e ku însan wê yasayê bispêre Gauss; çunkî Gauss, tevî jêhatîbûna xwe ya awarte ya di temenekî biçûk de, îhtîmaleke mezin e ku ew keşf nekiribe berî ku bigihîje temenê du saliyê."

Daniel Bernoulli (1778) prensîba "esera herî mezin a îhtîmalên sîstemeke xeletiyên hevdem" (an jî xeletiyên ku bi hev re çêdibin) da nasîn.

Carl Friedrich Gauss

Adrien-Marie Legendre (1805) metoda kêmtir a çargoşeyan pêşxist û di Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Metodên Nû ji bo Diyarkirina Orbîtên Kometan) de da nasîn. Nivîskarê îrlandî-amerîkî, Robert Adrain, edîtorê "The Analyst" (1808), pêşî qanûna tesîsa çewtiyê derxist holê,

$$\phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}}$$

li vir $h$ konstanteke girêdayî hûrgiliya çavdêriyê ye, û $c$ faktoreke pîvanê ye ku piştrast dike rûbera di bin xetê de (kurvê) wekhevî 1ê be. Wî du îsbat pêşkêş kirin; ya duyê di eslê xwe de eynî îsbata John Herschel (1850) bû. Gauss di sala 1809an de yekê îsbat pêşkêş kir ku wisa xuya dike li Ewropayê dihat zanin (piştî ya Adrain, ew ya sêyê bû). Îsbatên din ji hêla Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W.F. Donkin (1844, 1856) û Morgan Crofton (1870) ve hatin pêşkêşkirin. Kesên din ên ku beşdarî vê meseleyê bûn wan bûne: Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) û Giovanni Schiaparelli (1875). Formula Peters (1856) ya ji bo r ku xeletiya muhtemel a çavdêriyeke yekane ye, baş tê zanin.

Di sedeya nozdehan de, di nav nivîskarên ku li ser teoriya giştî xebitîne de kesên wekî Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion û Karl Pearson hebûn. Augustus De Morgan û George Boole şêwaza pêşkêşkirina teoriyê baştir kirin.

Di sala 1906an de, Andrey Markov konsepta zincîra Markovê pêşkêş kir; wê konseptê di teoriya pêvajoyên stokastîk û sepanên wê de rolek giring lîst. Teoriya modern a îhtîmalê ku li ser bingeha teoriya pîvanê hatiye avakirin, di sala 1931ê de ji heta Andrey Kolmogorov ve hate pêşxistin.

Teoriya îhtîmalê

Mîna teoriyên din, teoriya îhtîmalê jî temsîl kirina konseptên xwe ye bi awayekî formal, ango, bi wan konseptên ku dikarin ji maneya xwe ferq werin hesibandin. Ew konseptên formal ligorî yasayên matematîk û mantiqê tên bikaranîn û guhertin, û encamên ku derdikevin holê, dîsa di çarçoveya pirsgirêkê bixwe de tên şirovekirin an veguhestin.

Bi kêmanî du hewldanên serkeftî ji bo formalîzekirina îhtîmalê hene: formulasyona Kolmogorov û formulasyona Cox. Di formulasyona Kolmogorov de kom wekî bûyer û îhtîmal jî wekî pîvanek li ser koman tên şirovekirin. Di teorema Coxê de, îhtîmal wekî konsepteke bingehîn (ango, ya ku zêdetir nayê analîzkirin) tê girtin û giringî tê dayîn avakirina sîstemeke hevgirtî ji bo dayîna nirxên îhtîmalê ji pêşniyaran re. Di herdu rewşan de jî, yasayên îhtîmalê eynî in, tenê hûrgiliyên teknîkî ji hev ferq ne.

Metodën din jî ji bo pîvandina nezelaliyê hene, wekî teoriya Dempster–Shafer an teoriya îmkanê, lê ew di bingeh de ferq ne û bi yasayên îhtîmalê yên ku bi gelemperî tên zanin re li hev nayên.

Warên bikaranînê

Teoriya îhtimalê di jiyana rojane de di nirxandina rîsk û modelkirinê de tê bikaranîn. Pîşesaziya sîgorteyê û bazar zanista aktuarî bikartînin da ku bihayê diyar bikin û biryarên bazirganiyê bidin. Hikumet metodên îhtimalê di hiqûqa hawirdorê, analîza heqdariyê û rêziknameya fînansê de bikartînin.

Meselayeke ji karanîna teoriya îhtimalê di bazirganiya sermayeyê de tesîra îhtimala têgihîştî ya her pevçûnek berfireh a Rojhilata Navîn li ser bihayên petrolê ye ku tesîrên pêlan li ser ekonomiyê bi tevahî dike. Nirxandinek ji hêla bazirganek kelûpelan ve ku herbek îhtîmaltir e dikare bihayên wê kelûpelê bilind an nizm bike, û ji bazirganên din re jî îşaretek wê ramanê bike. Li gorî vê yekê, îhtimal ne bi serbixwe û ne jî bi awayekî maqûl têne nirxandin. Teoriya fînansa tevgerî derket holê da ku tesîra ramana komî ya wisa li ser bihayê, li ser siyasetê û li ser aştî û pevçûnê diyar bike.

Ji bilî nirxandina darayî, îhtimal dikare ji bo analîzkirina trendên di biyolojiyê de (mesela, belavbûna nexweşiyê) û herwiha ekolojiyê de were bikaranîn. Wekî fînansê, nirxandina rîskê dikare wekî amûrek statîstîkî were bikaranîn da ku îhtîmala bûyerên nexwestî were hesab kirin, û dikare di bicîhanîna protokolan de ji bo dûrketina ji rewşên wiha bibe alîkar. Îhtîmal ji bo sêwirandina lîstikên şansê tê bikaranîn da ku kasîno karibin qezencek garantîkirî bi dest bixin, lê di eynî zamanê de dravdanên ku ji bo teşwîqkirina berdewamiya lîstikê pir caran têne dayîn bidin lîstikvanan.

Yek ji bikaranînên dî ên giring yê teoriya îhtîmalê di heyata rojane de, meseleya pêbaweriyê ye. Di sêwirana gelek eserên xerîdariyê de, wekî otomobîl û amûrên elektronîkî, teoriya pêbaweriyê tê bikaranîn da ku îhtîmala têkçûnê were kêm kirin. Îhtîmala têkçûnê dikare tesîra li biryarên hilberîner ên têkildarî garantiya eserê bike.

Modela zimanê keşê (cache language model) û modelên din ên statîstîkî ên zimên ku di prosekirina zimanê xwezayî de tên bikaranîn jî, meselayên bikaranîna teoriya îhtîmalê ne.

Metodên matematîkê

Hesabkirina îhtîmal (rîsk) û şans

Ezmûnekê bifikirin ku dikare çendîn encaman derxîne holê. Koma gî encamên gengaz wekî "qada nimûneyê" ya ezmûnê tê binavkirin ku carinan bi sembola Ω tê temsîl kirin. Koma qûwetê ya qada nimûneyê, bi rêya liçavgirtina gî komên ferq yên encamên gengaz pêk tê. Mesela avêtina zarê dikare şeş encamên gengaz derxîne holê. Komeke encamên gengaz ew e ku tê de hejmareke tek (ne cot) li ser zarê derdikeve. Bi vî awayî, binekoma {1,3,5} elementeke koma qûwetê ya qada nimûneyê ya avêtina zarê ye. Ew kom wekî "bûyer" tên binavkirin. Di wê rewşê de, {1,3,5} ew bûyer e ku tê de zar li ser hejmareke tek dikeve. Eger encamên ku bi rastî çêdibin di nav bûyereke diyarkirî de bin, tê gotin ku ew bûyer pêk hatiye.

Îhtîmal metodek e ji bo dayîna nirxekî di navbera sifir û yekê de ji her bûyerekê re, bi wê şertê ku ji bo bûyera ku ji hemû encamên gengaz pêk tê (di mesela me de, bûyera {1,2,3,4,5,6}), nirxê yekê were diyarkirin. Ji bo ku tiştek wekî îhtîmal were hesibandin, divê ew diyarkirina nirxan wê şertê pêk bîne ku ji bo her komeke bûyerên ku hevdu derdixin derve (ango bûyerên bêyî ti encamên hevpar, wekî bûyerên {1,6}, {3} û {2,4}), îhtîmala pêkhatina herî kêm yek ji wan bûyeran, bi rêya komkirina îhtîmalên gî bûyerên takekesî tê bidestxistin.

Îhtîmala bûyereke A bi awayê $P(A)$, $p(A)$ an jî ${\text{Pr}}(A)$ tê nivîsîn. Ew terîfa matematîkî ya îhtîmalê, bi bikaranîna konsepta pîvanê dikare ji bo fezayên nimûneyê yên bêsinor û heta fezayên nimûneyê yên nehejmartinbar jî were berfirehkirin.

Berevajî an temamkera bûyereke A, bûyera [ne A] ye (ango bûyera ku A lê nayê pêkanîn); ev yek bi gelemperî bi awayên $A',A^{c}$, ${\overline {A}},A^{\complement },\neg A$ an jî ${\sim }A$ tê temsîl kirin û îhtîmala wê bi rêya P(ne A) = 1 − P(A) tê diyarkirin.

Mesela îhtîmala ku di zarê şeş-rûyî de hejmara şeş neyê kişandin, ev e 1 – (îhtîmala kişandina şeşê) = 1 − 1/6 = 5/6.⁠

Eger di carek pêkanîna ceribandinekê de du bûyerên A û B pêk werin, ew yek wekî hevbirîn an jî îhtîmala hevbeş a A û B tê binavkirin û bi awayê $P(A\cap B)$ tê temsîl kirin.

Bûyerên serbixwe

Bûyerên A û B di qada Ω de wekî hevdu-derxîner li hemberî ne-hevdu-derxîner têne temsîl kirin.

Eger du bûyerên A û B serbixwe bin, wê çaxê îhtîmala hevbeş ew e

$$P(A{\mbox{ û }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B).$$

Mesela eger du pere bên avêtin, îhtîmala ku her du jî "ser" derkevin ew e: ${\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}.$

Bûyerên ku hevdu derdixin

Eger bûyera A an jî bûyera B dikarin çêbibin lê qet herdu jî di eynî çaxê de çênebin, wê çaxê ji wan re bûyerên hevdu nelihev tên gotin.

Eger du bûyer hevdu nelihev bin, wê çaxê îhtîmala çêbûna herduyan wekî $P(A\cap B)$ û

$$P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=0$$

Eger du bûyer ji hev ferq bin, wê çaxê îhtîmala çêbûna yek ji wan wekî $P(A\cup B)$ û tê temsîl kirin.

$$P(A{\mbox{ an }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B)$$

Bo mesele, îhtîmala hatina 1 an 2yê di zarê şeş-rûyî de ew e: $P(1{\mbox{ or }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}.$

Bûyerên ku ne (pêwîst) hevdu derdixin derve

Eger bûyer (pêwîst) ji hev ferq nebin, wê çaxê

$$P\left(A{\hbox{ an }}B\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A{\mbox{ û }}B\right).$$

Formeke din

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Mesela wexta ku însan kartekê ji desteyeke kartan dikişîne, îhtîmala bidestxistina karta "dil" an jî karta "resimî" (J, Q, K) (an jî her duyan bi hev re) ew e:${\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}},$ ji ber ku di nav 52 kartên desteyê de, 13 kart "dil" in, 12 kart "resimî" ne û 3 kart jî her du taybetmendiyan li xwe digirin: li vir, ew 3 kartên ku her du taybetmendiyan li xwe digirin, hem di nav wan "13 kartên dil" de û hem jî di nav wan "12 kartên resimî" de cih digirin, lê divê tenê carekê bên hejmartin.

Ew dikare ji bo gelek bûyerên ku ne lazim ye hevdu derxînin (ango ne lazim e hevdu-neguncaw bin), bêtir were berfirehkirin. Ji bo sê bûyeran, ew yek bi vî awayî dimeşe:

$${\begin{aligned}P\left(A\cup B\cup C\right)=&P\left(\left(A\cup B\right)\cup C\right)\\=&P\left(A\cup B\right)+P\left(C\right)-P\left(\left(A\cup B\right)\cap C\right)\\=&P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)+P\left(C\right)-P\left(\left(A\cap C\right)\cup \left(B\cap C\right)\right)\\=&P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-\left(P\left(A\cap C\right)+P\left(B\cap C\right)-P\left(\left(A\cap C\right)\cap \left(B\cap C\right)\right)\right)\\P\left(A\cup B\cup C\right)=&P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-P\left(A\cap C\right)-P\left(B\cap C\right)+P\left(A\cap B\cap C\right)\end{aligned}}$$

Îcar tê dîtin ku ew şablon dikare ji bo her hejmarek ji bûyeran were dubarekirin.

Îhtîmala şertî

Îhtîmala şertî îhtîmala bûyerek A ye, bi dayîna bûyerek din B. Îhtîmala şertî wekî $P(A\mid B)$ tê nivîsîn, û wekî "îhtîmala A, bi dayîna B" tê xwendin. Ew bi vê tê terîf kirin

$$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\,$$ Eger $P(B)=0$ be, wê çaxê $P(A\mid B)$ bi vê derbirînê bi awayekî resmî nayê terîf kirin. Di wê rewşê de $A$ û $B$ serbixwe ne, ji ber ku $P(A\cap B)=P(A)P(B)=0.$ Lêbelê mimkun e ku ji bo hin bûyerên xwedî îhtîmala sifir, îhtîmaleke şertî were terîf kirin; mesela bi bikaranîna σ-cebîr ji bo wan cure bûyeran.

Mesela di kîsekî de ku 2 gogên sor û 2 gogên şîn tê de ne (bi giştî 4 gog), îhtîmala derxistina gogeke sor $1/2;$ ye; lêbelê wexta ku goga duyê tê derxistin, îhtîmala ku ew gog sor an şîn be, bi wê goga ku berê hatiye derxistin ve girêdayî ye. Mesela eger gogeke sor hatibe derxistin, wê wextê îhtîmala hilbijartina gogeke sor a din dibe $1/3,$ ji ber ku tenê 1 goga sor û 2 gogên şîn dimînin. Û eger berê gogeke şîn hatibe derxistin, îhtîmala derxistina gogeke sor dibe $2/3.$

Îhtîmala berevajî

Di teoriya îhtîmalê û bikaranînên wê de, yasaya Bayesê têkiliya di navbeya îhtîmalên bûyera $A_{1}$ û bûyera $A_{2},$ de diyar dike, hem berî û hem jî piştî şertkirina li ser bingeha bûyereke din a wekî $B.$ Rêjeya îhtîmalên $A_{1}$ li hember $A_{2}$ bi hêsanî tê maneya rêjeya îhtîmalên her du bûyeran. Wexta ku ne tenê du, lê hejmareke zêde ya bûyerên $A$ (bi awayekî giştî) têne nirxandin, ew metod dikare bi wî awayî were îfadekirin: îhtîmala paşîn (posterior) bi encama lêkdana îhtîmala pêşîn (prior) û îhtîmala şertî (likelihood) re di têkiliya rêjeyî de ye, ango $P(A|B)\propto P(A)P(B|A)$; li vir, nîşana têkiliya rêjeyî (proportionality) tê wê maneyê ku aliyê çepê bi aliyê rastê re di têkiliya rêjeyî de ye (ango, wekhev e bi nirxekî sabît ku bi aliyê rastê ve hatiye zêdekirin/lêkdan) çaxa ku $A$ diguhere û $B$ sabît an diyarkirî dimîne (Lee, 2012; Bertsch McGrayne, 2012). Ew form vedigere serdema Laplace (1774) û Cournot (1843); binêre Fienberg (2005).

Kurteya îhtîmalan

Kurteya îhtîmalan

Bûyer	Îhtîmal
A	$P(A)\in [0,1]$
ne A	$P(A^{\complement })=1-P(A)\,$
A an B	${\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\P(A\cup B)&=P(A)+P(B)\qquad {\mbox{eger A û B hevdu derdixin}}\\\end{aligned}}$
A û B	${\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)\\P(A\cap B)&=P(A)P(B)\qquad {\mbox{eger A û B serbixwe ne}}\\\end{aligned}}$
A dide B	$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}\,$

Binêre

• Logarîtma