정리

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피타고라스 정리는 유명한 정리 중 하나로, 370개 이상의 증명이 알려져 있다.

수학과 형식 논리학에서, 정리(定理, 영어: theorem)는 참임이 증명된 명제이다. 정리를 증명하는 것이란, 형식 체계 내의 추론 규칙들을 적용하여 해당 정리가 공리와 기존에 증명된 정리들로부터 논리적으로 귀결됨을 입증하는 것이다.

좁은 의미로는 수학적으로 중요한 결과에 대해서 정리라는 명칭을 붙인다. 또 일반적으로 정리라고 명시적으로 불리는 것은 다른 알려진 정리들의 직접적인 결과가 아닌, 증명된 결과 중 중요한 것을 지칭한다. 이런 의미에서의 정리를 증명하기 위해 사용되는 보조적인 명제를 보조정리(영어: lemma)라 하고, 정리로부터 쉽게 도출되는 부가적인 명제를 따름정리(영어: corollary)라 한다. 상대적으로 덜 중요한 정리를 명제(영어: proposition)라고도 부른다. 참임이 증명될 가능성이 있지만, 증명되지 않은 명제를 추측(영어: conjecture)라고 한다.

수리 논리학에서는 정리와 증명이라는 개념이 수학적으로 형식화된다. 명제는 특정 형식 언어의 논리식(formula)이 된다. 이론(영어: axiomatic system)은 공리(영어: axiom)라고 부르는 일련의 기본 명제들과 (때로는 공리에 포함되기도 하는) 추론 규칙(영어: rule of inference)으로 구성된다. 이론의 정리는 추론 규칙을 사용하여 공리로부터 도출될 수 있는 명제들이다. 이러한 형식화는 정리와 증명 자체에 대한 일반적인 사실을 분석하는 증명 이론으로 이어졌다. 대표적으로 괴델의 불완전성 정리는, 자연수를 포함하는 모든 무모순적인 이론에는, 참이지만 그 이론 내에서는 정리로 증명할 수 없는(즉, 이론 내에서 증명 불가능한) 자연수에 대한 명제가 존재함을 보여준다.

현대 주류 수학에서 공리와 추론 규칙은 보통 암묵적으로 전제되며, 이 경우 대부분 선택 공리가 포함된 체르멜로-프렝켈 집합론이나 페아노 공리계와 같은 체계를 따른다.

공리는 종종 물리적 세계의 성질들을 수학적으로 추상화한 것이기 때문에 정리는 어떤 진리를 표현하는 것으로 간주될 수 있다. 그러나 경험과 측정에 근거한 귀납 추론으로 검증하는 과학 법칙과는 대조적으로, 정리는 순전히 연역적으로 사실임을 증명한다.

설명

논리적으로 많은 정리는 다음과 같은 조건문 형태를 취한다.

'만약 A이면, B이다.'

예를 들면 "만약 n이 짝수인 자연수라면, n/2는 자연수이다"와 같은 정리가 있다. 이러한 정리는 B 자체를 주장하는 것이 아니라, B가 A의 필연적 결과라는 것을 말한다. 이 경우 A를 정리의 가정(영어: hypothesis)이라 하고, B를 정리의 논리적 귀결 또는 결론이라 한다. A와 B를 각각 전건과 후건이라고도 부른다. 앞선 예에서는 가정이 "n은 짝수인 자연수이다"이고, 결론이 "n/2 또한 자연수이다"이다. '만약 A이면, B이다' 꼴의, 참 또는 거짓인 조건문 자체는 명제라고 한다.

정리가 증명되기 위해서는 원칙적으로 정확하고 형식적인 진술로 표현될 수 있어야 한다. 그러나 정리는 보통 완전히 기호적인 형태보다는 자연어로 표현되는데, 이는 비형식적 진술로부터 형식적 진술을 도출할 수 있다는 전제하에 이루어진다.

수학에서는 주어진 언어 내에서 몇 가지 가정을 선택하고, 이론이 이 가정들로부터 증명 가능한 모든 진술로 구성된다고 선언하는 것이 일반적이다. 이 가정들은 이론의 토대가 되며 공리 또는 공준이라고 불린다. 증명 이론이라 알려진 수학 분야는 형식 언어, 공리, 그리고 증명의 구조를 연구한다.

정의, 공리, 그리고 다른 정리들로부터 명백하게 따라나와 당연해 보이는 정리들은 자명하다(영어: trivial)고 표현한다. 반면 증명이 길고 어렵거나, 정리 자체의 진술과는 표면적으로 구분되는 수학 분야를 포함하거나, 서로 다른 수학 분야 간의 놀라운 연결을 보여주는 심오한 정리들도 있다. 정리는 서술하기 간단하면서도 심오할 수 있는데, 예를 들면 페르마의 마지막 정리가 있으며 수론과 조합론 등 많은 분야에 간단하면서도 심오한 정리들이 많다.

어떤 정리는 증명은 알려져 있지만 쉽게 글로 쓸 수 없는 경우도 있다. 대표적으로 4색 정리와 케플러의 추측이 있는데, 두 정리는 컴퓨터 프로그램으로 검증함으로써 참임이 증명되었다. 초기에는 많은 수학자가 이러한 형태의 컴퓨터를 이용한 증명을 받아들이지 않았으나, 점차 널리 받아들여졌다.

정리와 진리

19세기 말 수학의 근본적인 기초에 위기가 오기 전까지, 모든 수학적 이론은 자명하다고 여겨지는 몇 가지 기본 성질들(예: 모든 자연수는 다음 수가 있다, 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나다 등) 위에서 구축되었다. 절대적으로 명백하다고 여겨진 이 기본 성질들은 공리 또는 공준이라 불렸다(예: 유클리드의 공준). 모든 정리는 암묵적 혹은 명시적으로 이러한 기본 성질들을 사용하여 증명되었으며, 기본 성질의 명백함 때문에 증명된 정리는 증명 과정에 오류가 없는 한 결정적인 진리로 간주되었다. 예를 들어, 삼각형의 내각의 합이 180°라는 것은 의심할 여지 없는 사실로 여겨졌다.

수학의 기초에 위기가 온 한 측면은 비유클리드 기하학의 발견이었다. 비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180°와 다르지만 모순이 발생하지 않는다. 따라서 "삼각형의 내각의 합은 180°이다"라는 성질은 유클리드의 제5공준(평행선 공준)을 가정하느냐 거부하느냐에 따라 참이 될 수도, 거짓이 될 수도 있다. 이와 유사하게, 집합의 "자명한" 기본 성질을 사용하는 것은 '모든 집합의 집합'과 같은 러셀의 역설을 낳았다. 이는 집합을 다룰 수 있는 허용된 규칙을 정교화함으로써 해결되었다.

이 위기는 수학의 기초를 더욱 엄밀하게 재정립함으로써 해결되었다. 새로운 기초 위에서, 정리는 이론의 공리와 추론 규칙으로부터 증명될 수 있는 논리식으로 정의된다. 따라서 앞서 언급한 삼각형 내각의 합에 대한 정리는 다음과 같이 바뀐다: "유클리드 기하학의 공리와 추론 규칙하에서, 삼각형의 내각의 합은 180°이다." 마찬가지로 이러한 공리화된 집합론에서는 '모든 집합의 집합'을 논리식으로 표현할 수 없으므로 러셀의 역설이 사라진다.

이러한 맥락에서 정리의 타당성은 오직 증명의 정확성에만 의존한다. 그것은 공리의 진리성이나 심지어 공리의 의미와도 독립적이다. 이는 공리의 의미가 흥미롭지 않다는 뜻이 아니라, 정리의 타당성이 공리의 의미와는 별개라는 뜻이다. 이러한 독립성은 수학의 한 분야의 결과를 겉보기에 관련 없어 보이는 다른 분야에 사용할 수 있게 해주므로 유용하다.

수학을 이렇게 바라보는 것의 중요한 결과는 수학적 이론과 정리 자체를 수학적 대상으로 정의하고, 그것들에 대한 정리를 증명할 수 있게 한다는 점이다. 그 예가 괴델의 불완전성 정리이다. 특히, 더 포괄적인 이론에서는 증명할 수 있지만, 해당 이론 내에서는 정리가 아님을(증명 불가능함을) 증명할 수 있는 명제들이 존재한다. 예를 들어 굿스타인 정리는 페아노 공리계의 언어로 서술할 수 있지만, 페아노 공리계 내에서는 증명할 수 없음이 증명되었다. 하지만 체르멜로-프렝켈 집합론과 같은 더 일반적인 이론에서는 증명 가능하다.

같이 보기

• 수학기초론
• 가설
• 공식