径

初等幾何学における図形の径（けい、英: diameter）は、その図形の差し渡しをいう。ギリシア語: διάμετρος（δια-「亙りの」+ μέτρον「大きさ」）^[1]に由来する。

円の直径は、その円の中心を通り両端点がその円周上にある任意の線分で、その円の最長の弦でもある。球体の直径も同様である。

現代的な用法では任意の直径の（一意な）長さ自身も同じく「直径」と称する。一つの円に対して線分の意味で直径は無数にあるが、その何れも同じ長さを持つ。故に（量化を伴わない）単なる「円の直径」は、一般的に長さを意味する。長さとして直径は半径 (radius) の二倍に等しい。

平面上の凸図形に対して、その径は図形の両側から接する二本の平行線の間の最長距離として定義される。同様の最小距離は幅 (width) と称する。径（および幅）は回転キャリパー法（英語版）を用いて効果的に計算することができる^[2]。ルーローの三角形のような定幅図形は、任意の平行接線が同じ長さを持つために径と幅は一致する。

定義

円や球や凸図形に対して個別に径を定義する代わりに、それらを特別の場合として含む任意の $n$ -次元図形（凸または非凸、あるいは連続的または散在的な点集合）に対するより一般の径の定義を与えることができる。

定義: 距離空間の空でない部分集合の径は、その部分集合に属する点の任意の対の間の距離全体の成す集合の上限を言う。; 式では、距離空間 $(X, d)$ の部分集合 $A \neq \emptyset$ に対し $\operatorname {diam} (A):=\sup\{d(x,y)\mid x,y\in A\}$ と書ける。
注意: 多くの文献では、部分集合 $A$ が空集合である場合への言及を行わない^[3]^:p. IX.14。; いくつかの文献では、上記の定義を空集合に対しても拡張して、 $diam(\emptyset) = sup(\emptyset) = - \infty$ （負の無限大）とする^[4]^[5]。ここで $sup(\emptyset)$ の値は考えている全体集合によって変化する相対的なものであることに注意しなければならない。 $- \infty$ とするのは、いま $d$ の終域を実数直線 $R$ と考えていることによる。上限は補完数直線 $R \cup {\pm \infty}$ に値をとる^[6]。; あるいは別の規約として、 $diam(\emptyset) = 0$ とするものもある^[7]。これは $d$ の終域を非負実数全体 $[0, + \infty)$ と見なすことに対応する^[8]。

空でない部分集合 $A$ の径が有限な正の実数となるのは $A$ が有界なるときで、さもなくば $diam(A) = +\infty$ である。
$n$ -次元ユークリッド空間内の任意の（中身の詰まった）立体あるいは散在点集合の径は、その凸包の径に等しい。
微分幾何学において、径は重要な大域リーマン不変量である。

位相構造とノルム空間における性質

位相空間・一様空間における扱い

一般的・抽象的な位相空間には距離（スケール）の概念が含まれないため、直接的に「集合の直径」を数値として定義することはできない。しかし、一様空間（あるいは距離空間から誘導される位相構造）においては、直径の概念と関連した以下の重要な性質が存在する。

閉包の直径不変性: 距離空間 $(X,d)$ の部分集合 $A\subseteq X$ に対し、その閉包 ${\bar {A}}$ の直径は元の集合 $A$ の直径と等しい：

\operatorname {diam} ({\bar {A}})=\operatorname {diam} (A)

この性質により、極限操作や位相的な完備化を行っても集合の「径の大きさ」は変化しない。

全有界性と一様空間: 直径が任意の正の実数 $\epsilon >0$ より小さい集合を「 $\epsilon$ -小集合」と呼ぶ。距離空間（あるいは一様空間）の部分集合が全有界（前コンパクト）であるとは、任意の $\epsilon >0$ に対して、直径が $\epsilon$ 未満であるような有限個の部分集合で全体を覆えることと同値である。
カントールの積集合定理: 完備距離空間において、空でない閉集合の減少列 $F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq \cdots$ が $\lim _{n\to \infty }\operatorname {diam} (F_{n})=0$ を満たすならば、それらの共通部分 $\bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}$ はちょうど1点からなる。

ノルム空間における特殊な性質

ノルム空間（ベクトル空間にノルム $\|\cdot \|$ が導入された空間）においては、距離が $d(x,y)=\|x-y\|$ と定義されるため、ベクトル空間の線型性を反映した以下の優れた性質が成り立つ。

平行移動不変性と斉次性: 任意の集合 $A\subseteq X$ 、ベクトル $v\in X$ 、スカラー $c$ に対し、次が成り立つ：

\operatorname {diam} (A+v)=\operatorname {diam} (A)

\operatorname {diam} (cA)=|c|\cdot \operatorname {diam} (A)

ミンコフスキー和の直径: 2つの集合 $A,B$ のミンコフスキー和 $A+B=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}$ の直径について、次の不等式が成り立つ：

\operatorname {diam} (A+B)\leq \operatorname {diam} (A)+\operatorname {diam} (B)

凸包の直径不変性: ノルム空間（およびユークリッド空間）の任意の部分集合 $A$ に対し、その凸包 $\operatorname {conv} (A)$ の直径は $A$ 自身の直径と一致する：

\operatorname {diam} (\operatorname {conv} (A))=\operatorname {diam} (A)

この性質は、点の集合の最小包含球や広がりを計算・評価する幾何学的アルゴリズムにおいて極めて重要である。

例

ユークリッド平面において、長方形の径は対角線によって与えられる。
一点集合の径は $0$ に等しい^[3]。

円の直径の表れ方の例

異なる定義

上記の定義と異なる用語法に従うものが存在する。

回転体の径は、軸に垂直な弦のうち最長のもの、およびその長さを一般的に指す。これは module^[9] (modulus) とも称する。
平面幾何学における楕円に対する標準的な用語法では、楕円の中点を通る任意の弦を径と称する^[10]。両端点における楕円の接線が互いに平行となるような径を共軛径（英語版）と称する。最長の径は長径（英語版） (major axis) と称する。同様に、任意の円錐曲線の径は、典型的にはその中心を通る任意の弦として定義される。このような意味の径は、それが円（離心率 $e = 0$ ）でない限り必ずしも一定の長さを持たない。

直径記号

この節には、一部のコンピュータや閲覧ソフトで表示できない文字が含まれています（詳細）。

径を表す記号は「⌀」で、「直径記号 (diameter sign)」と称する。ゼロ0と区別するため丸印○に斜線を加えたもので、元来の読みは「まる」だがギリシア文字Φ「ファイ」と字形の類似から「ふぁい」の読みも見られ、「ファイ」を聞き間違えた「パイ」^[11]など誤読^[12]も散見される。

JIS製図分野

→「製図」を参照

JIS Z8317-1:2008 『製図ー寸法及び公差の記入方法ー第1部：一般原則』^[13]を下記する。

寸法補助記号のひとつとして、直径を表す記号は、⌀ である^[12]。
「まる」または「ふぁい」と称する。
寸法数値の前に寸法補助記号⌀を付すが、弧を張る角度が180°を超える場合は省略する。

呼称は、以前のJIS Z 8317 で「まる」、後年の改定で「ふぁい」を追加した。

符号位置

直径記号は Unicode に U+2300 ^[14]で登録されている。

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
⌀	`U+2300`	`-`	`⌀` `⌀`	DIAMETER SIGN

注

↑ Online Etymology Dictionary
↑ Toussaint, Godfried T. (1983). Solving geometric problems with the rotating calipers. Proc. MELECON '83, Athens.
1 2 Bourbaki, N., Topologie générale, Éléments de mathématique, III
↑ Mícheál Ó Searcóid (2006). Metric Spaces (英語). Springer. p. 21..
↑ S. C. Sharma (2006). Metric Space (英語). Discovery Publishing House. p. 156..
↑ (PDF) 集合と位相第一講義資料 11, p. 4
↑ Ramis, Jean-Pierre; Warusfel, André; al. (2014) [2007]. Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence. Vol. 2 (2 ed.). Dunod. p. 400. ISBN 978-2-10-071392-9.
↑ Re: diameter of an empty set
↑ Définitions lexicographiques et étymologiques de « module » (sens A, 2, a) du Trésor de la langue française informatisé, sur le site du Centre national de ressources textuelles et lexicales (consulté le 21 mai 2016).
↑ Cut-the-Knot
↑ 「パイ」は Π や π である。
1 2 空集合の記号 ∅ 、ギリシャ文字大文字イタリックの Φ 、北欧系母音の Ø（スラッシュ付きオー）、など類似形の誤記が見られる。
↑ JIS Z8317-1:2008 『製図ー寸法及び公差の記入方法ー第1部：一般原則』§7.1「寸法補助記号」(p. 12)、§7.2「直径」(p. 13)。
↑ Korpela, Jukka K. (2006), Unicode Explained, O'Reilly Media, Inc., pp. 23–24, ISBN 978-0-596-10121-3

外部リンク

デジタル大辞泉『径』 - コトバンク
直径数理検定協会数学情報館算数用語集

この項目は、自然科学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（Portal:自然科学）。

この項目は、工学・技術に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（Portal:技術と産業）。

[1] Online Etymology Dictionary

[2] Toussaint, Godfried T. (1983). Solving geometric problems with the rotating calipers. Proc. MELECON '83, Athens.

[Bourbaki-3] 1 2 Bourbaki, N., Topologie générale, Éléments de mathématique, III

[4] Mícheál Ó Searcóid (2006). Metric Spaces (英語). Springer. p. 21..

[5] S. C. Sharma (2006). Metric Space (英語). Discovery Publishing House. p. 156..

[6] (PDF) 集合と位相第一講義資料 11, p. 4

[Ramis-7] Ramis, Jean-Pierre; Warusfel, André; al. (2014) [2007]. Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence. Vol. 2 (2 ed.). Dunod. p. 400. ISBN 978-2-10-071392-9.

[8] Re: diameter of an empty set

[9] Définitions lexicographiques et étymologiques de « module » (sens A, 2, a) du Trésor de la langue française informatisé, sur le site du Centre national de ressources textuelles et lexicales (consulté le 21 mai 2016).

[10] Cut-the-Knot

[11] 「パイ」は Π や π である。

[diametersymbol-12] 1 2 空集合の記号 ∅ 、ギリシャ文字大文字イタリックの Φ 、北欧系母音の Ø（スラッシュ付きオー）、など類似形の誤記が見られる。

[13] JIS Z8317-1:2008 『製図ー寸法及び公差の記入方法ー第1部：一般原則』§7.1「寸法補助記号」(p. 12)、§7.2「直径」(p. 13)。

[14] Korpela, Jukka K. (2006), Unicode Explained, O'Reilly Media, Inc., pp. 23–24, ISBN 978-0-596-10121-3

[1]

[2]

[3]

p. IX.14

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

定義