Formule de Larmor

Extrait de l'article de Joseph Lamor où il établit cette formule

En électromagnétisme, la formule de Larmor donne la puissance moyenne perdue par une charge électrique Q animée d'un mouvement périodique. Elle fut établie par Joseph Larmor en 1897 dans le contexte de la théorie ondulatoire de la lumière. D'après les équations de Maxwell, une charge électrique accélérée émet un rayonnement électromagnétique. La puissance moyenne émise est donnée par l'expression suivante :

$\langle P\rangle ={\frac {2}{3}}{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}={\frac {Q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}$

où $a$ est l'accélération, $Q$ la charge totale du système, $c$ la célérité de la lumière dans le vide, et $\epsilon _{0}\simeq$ 8,854 × 10⁻¹² F m⁻¹ est la permittivité du vide.

Cette formule n'est valable que pour des vitesses faibles devant celle de la lumière : la version relativiste de cette formule est celle de Liénard-Wiechert.

Établissement de la formule

Deux méthodes permettent de retrouver cette formule : l'une consiste à moyenner temporellement la puissance échangée avec la force d'Abraham-Lorentz, et l'autre à utiliser le théorème de Poynting.

Puissance dissipée par la force d'Abraham-Lorentz

Soit un corps chargé oscillant, de charge totale Q. La puissance échangée par ce système avec la force d'Abraham-Lorentz est donnée par :

$$P=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}$$

avec :

$$\mathbf {F} ={\frac {2}{3}}\,{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\,{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}$$

La moyenne temporelle de P sur chaque période d'oscillation est donnée par :

$$\langle P\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \right)\,dt$$

$$\Rightarrow \langle P\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left({\frac {2}{3}}{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {v} \right)dt$$

$$\Rightarrow \langle P\rangle ={\frac {2}{3}}{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left({\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {v} \right)dt$$

Or, pour un mouvement périodique de période T, on a :

$$\int _{0}^{T}\left({\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {v} \right)dt=-\int _{0}^{T}\left(a^{2}\right)dt$$

On obtient donc finalement :

$\langle P\rangle =-{\frac {2}{3}}{\frac {Q^{2}\langle a^{2}\rangle }{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}$

On a ici un signe (-) car il s'agit d'une puissance perdue par le système.

Calcul par le théorème de Poynting

L'idée consiste ici à intégrer le vecteur de Poynting sur une sphère fictive entourant la charge oscillante, de manière à déterminer le flux total quittant la charge.

Voir aussi

• Force d'Abraham-Lorentz
• Théorème de Poynting