Symbole de Levi-Civita

En mathématiques, le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un objet antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :

Visualisation d'un symbole de Levi-Civita en 3 dimensions (i d'avant en arrière, j de haut en bas et k de gauche à droite).

${\epsilon }_{ijk}=\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{i1}& {\delta }_{i2}& {\delta }_{i3}\\ {\delta }_{j1}& {\delta }_{j2}& {\delta }_{j3}\\ {\delta }_{k1}& {\delta }_{k2}& {\delta }_{k3}\end{array}\right|$.

Ainsi, ${\epsilon }_{ijk}$ ne peut prendre que trois valeurs : –1, 0 ou 1.

Dimension 3

En dimension 3, on peut figurer le symbole de Levi-Civita comme suit :

${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{si }(i,j,k)\text{ est }(1,2,3),(2,3,1)\text{ ou }(3,1,2),\\ -1& \text{si }(i,j,k)\text{ est }(3,2,1),(1,3,2)\text{ ou }(2,1,3),\\ 0& \text{si }i=j\text{ ou }j=k\text{ ou }k=i.\end{array}$

On remarque que si $i\ne j$, $i\ne k$ et $j\ne k$, alors $(i,j,k)$ représente une permutation et le symbole de Levi-Civita correspondant est sa signature.

La relation du symbole Levi-Civita au symbole de Kronecker est :

${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{lmn}={\delta }_{il}{\delta }_{jm}{\delta }_{kn}+{\delta }_{im}{\delta }_{jn}{\delta }_{kl}+{\delta }_{in}{\delta }_{jl}{\delta }_{km}-{\delta }_{il}{\delta }_{jn}{\delta }_{km}-{\delta }_{in}{\delta }_{jm}{\delta }_{kl}-{\delta }_{im}{\delta }_{jl}{\delta }_{kn}$

$\sum _{i=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$

$\sum _{i,j=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{ijn}=2{\delta }_{kn}$

Dimension 2

En dimension 2, le symbole de Levi-Civita est défini par :

${\epsilon }_{ij}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{si }(i,j)=(1,2)\\ -1& \text{si }(i,j)=(2,1)\\ 0& \text{si }i=j\end{array}$

On peut disposer ces valeurs dans une matrice carrée 2×2 comme suit :

$\left(\begin{array}{cc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

dont le déterminant vaut 1. De même, les valeurs du symbole de Kronecker peuvent être vues comme les éléments de la matrice-identité

$\left(\begin{array}{cc}{\delta }_{11}& {\delta }_{12}\\ {\delta }_{21}& {\delta }_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

Dimension n

En dimension n, on peut démontrer que

$\sum _{i_1,\dots ,i_n=1}^n{\left({\epsilon }_{i_1\dots i_n}\right)}^2=n!$

Démonstration

S'il existe deux indices égaux, c'est-à-dire s'il existe $j,k\in \{1,\dots ,n\}$ tels que $i_j=i_k$, alors on obtient ${\epsilon }_{i_1\dots i_n}=0$ (le déterminant est nul car il y a égalité des lignes j et k).

Ainsi ${\epsilon }_{i_1\dots i_n}\ne 0⟺(i_1,\dots ,i_n)\in {𝔖}_n$

Finalement $\sum _{i_1,\dots ,i_n=1}^n{\left({\epsilon }_{i_1\dots i_n}\right)}^2=\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}1=|{𝔖}_n|=n!$ .

Interprétation

Dans une base orthonormée directe $(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3})$, ${\epsilon }_{ijk}$ représente le volume orienté du parallélépipède construit à partir des vecteurs $\overrightarrow{e_i},\overrightarrow{e_j},\overrightarrow{e_k}$.

D'où une valeur égale à 0 si i = j ou j = k ou k = i.

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Permutation Symbol », sur MathWorld

Voir aussi

Articles connexes

• Algèbre multilinéaire
• Symbole de Levi-Civita d'ordre N

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Levi-Civita symbol » (voir la liste des auteurs).