Punto a punto (matemáticas)

En matemáticas, el calificador punto a punto, punto por punto o puntualmente, se utiliza para indicar que una determinada propiedad se define considerando cada valor $f(x)$ de alguna función $f.$ Una clase importante de conceptos puntuales son las operaciones puntuales, es decir, operaciones definidas sobre funciones aplicando las operaciones a valores de una función por separado para cada punto en su dominio de definición. Importantes relaciones también se pueden definir puntualmente.

Operaciones puntuales

Suma puntual (gráfico superior, violeta) y producto (verde) de las funciones sin (seno; gráfico inferior, azul) y ln (logaritmo; rojo). La sección vertical resaltada muestra el cálculo en el punto x=2π.

Definición formal

Una operación binaria o: Y × Y → Y en un conjunto Y se puede elevar puntualmente a una operación O: (X→Y) × (X→Y) → (X→Y) en el conjunto X → Y de todas las funciones desde X a Y de la siguiente manera: dadas dos funciones f₁: X → Y y f₂: X → Y, se define la función O(f₁, f₂): X → Y como

(O(f₁, f₂))(x)= o(f₁(x), f₂(x)) para todo x ∈ X.

Comúnmente, o y O se indican con el mismo símbolo. Se utiliza una definición similar para operaciones unarias o y para operaciones de otras aridades.

Ejemplos

La suma puntual $f+g$ de dos funciones $f$ y $g$ con el mismo dominio y codominio se define por:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x).$}}

El producto puntual o multiplicación puntual es:

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).$

El producto puntual con un escalar generalmente se escribe con el término escalar primero. Por tanto, cuando $\lambda$ es un escalar, entonces:

$(\lambda \cdot f)(x)=\lambda \cdot f(x).$

Un ejemplo de una operación en funciones que "no" es puntual es la convolución.

Propiedades

Las operaciones puntuales heredan propiedades como asociatividad, conmutatividad y distributividad de operaciones correspondientes en el codominio. Si $A$ es alguna estructura algebraica, el conjunto de todas las funciones $X$ al conjunto portador de $A$ se puede convertir en una estructura algebraica del mismo tipo de forma análoga.

Operaciones por componentes

Las operaciones por componentes generalmente se definen en vectores, donde los vectores son elementos del conjunto $K^{n}$ para algún número natural $n$ y algún cuerpo $K$. Si se denota el $i$-ésimo componente de cualquier vector $v$ como $v_{i}$, entonces la suma por componentes es $(u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}$.

Las operaciones por componentes se pueden definir en matrices. La suma de matrices, donde $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$ es una operación por componentes, mientras que multiplicación de matrices no lo es.

Un tupla puede considerarse como una función y un vector es una tupla. Por lo tanto, cualquier vector $v$ corresponde a la función $f:n\to K$ tal que $f(i)=v_{i}$, y cualquier operación por componentes sobre vectores es la operación puntual sobre funciones correspondientes a esos vectores.

Relaciones puntuales

En teoría del orden es común definir un orden parcial puntual en funciones. Con A, B conjuntos parcialmente ordenados, el conjunto de funciones A → B se puede ordenar definiendo f = g si (∀x ∈ A) f(x) ≤ g(x). Los órdenes puntuales también heredan algunas propiedades de los conjuntos parcialmente ordenados subyacentes. Por ejemplo, si A y B son retículos continuos, entonces también lo es el conjunto de funciones A → B con orden puntual. Usando el orden puntual en funciones se pueden definir de manera concisa otras nociones importantes, por ejemplo:

• Un operador de cierre c en un conjunto parcialmente ordenado P es un automapa monótono e idempotente en P (es decir, un operador de proyección) con la propiedad adicional de que id_A = c, donde id es la función identidad.
• De manera similar, un operador de proyección k se denomina operador de núcleo si y solo si k = id_A.

Un ejemplo de una relación puntual infinitaria es la convergencia puntual de funciones: una sucesión de funciones

$(f_{n})_{n=1}^{\infty }$

con

$f_{n}:X\longrightarrow Y$

converge puntualmente a una función f si para cada x en X

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).$

Bibliografía

Para ejemplos de teoría del orden:

• T. S. Blyth, Celosías y estructuras algebraicas ordenadas, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5 (081).
• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, Dana Scott: Enrejados y dominios continuos, Cambridge University Press, 2003.

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• Datos: Q122391649