Περιοδική συνάρτηση

Περιοδική συνάρτηση με περίοδο $T$.

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση λέγεται περιοδική αν επαναλαμβάνεται ανά τακτικά διαστήματα.

Πιο αυστηρά, μία συνάρτηση $f:A\to B$ με πεδίο ορισμού στους πραγματικούς αριθμούς $A\subseteq \mathbb {R}$ λέγεται περιοδική αν υπάρχει $T>0$, ώστε για κάθε $x\in A$,

• οι δύο αριθμοί $x-T,x+T$ ανήκουν στο πεδίο ορισμού $A$ και
• έχουν την ίδια τιμή $f(x-T)=f(x)=f(x+T)$.

Ο αριθμός $T$ λέγεται περίοδος της συνάρτησης.

Οι περιοδικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται σε αρκετούς κλάδους των θεωρητικών μαθηματικών (όπως η ανάλυση Φουριέ)

Περίοδος

Αν μία συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο $T$, τότε έχει και περίοδο όλα τα θετικά ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου, δηλαδή τα $2T,3T,4T,\ldots$. Αν η συνάρτηση δεν είναι σταθερή, τότε υπάρχει μία ελάχιστη θετική περίοδος για την συνάρτηση.

Παραδείγματα

Η συνάρτηση του ημιτόνου που έχει περίοδο $2\pi$.

Συνάρτηση σφάλματος από στρογγυλοποιηση.

Συνάρτηση $(x-\lfloor x\rfloor )^{2}$.

• Το ημίτονο είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο το $2\pi$, καθώς για κάθε $x\in \mathbb {R}$, ισχύει ότι $\sin(x+2\pi )=\sin(x)$.
• Το συνημίτονο είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο το $2\pi$, καθώς για κάθε $x\in \mathbb {R}$, ισχύει ότι $\cos(x+2\pi )=\cos(x)$.
• Η συνάρτηση $f(x)=x-\lfloor x\rfloor$ είναι περιοδική με περίοδο $1$.
• Η συνάρτηση $f(x)=(x-\lfloor x\rfloor )^{2}$ είναι περιοδική με περίοδο $1$.

• Η συνάρτηση $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {R}$ με $f(n)=n{\bmod {4}}$ είναι περιοδική με περίοδο $4$, όπως φαίνεται και στον πίνακα παρακάτω:

$\ldots$	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	$\ldots$
	3	0	1	2	3	0	1	2	3	0	1

• Η συνάρτηση $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {R}$ με $f(n)=n^{2}{\bmod {4}}$ είναι περιοδική με περίοδο $2$, όπως φαίνεται και στον πίνακα παρακάτω:

$\ldots$	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	$\ldots$
	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Χαρακτηριστικά της περιοδικής συνάρτησης

Λόγω της ιδιότητάς της για τη μελέτη της περιοδικής συνάρτησης αρκεί να μελετηθεί για τιμές στο διάστημα μιας περιόδου. Τα αποτελέσματα μπορούν να γενικευτούν κατάλληλα και για τις υπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης.

Πεδίο ορισμού

Το πεδίο ορισμού της περιοδικής συνάρτησης είτε είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, ή είναι μια απειρία ένωσης όμοιων πεδίων.

Για παράδειγμα, αν το διάστημα $[2,6)$ ανήκει στο πεδίο ορισμού και $T=5$, τότε ανήκει και το διάστημα $[7,11)$ και το διάστημα $[-3,1)$.

Συνέχεια

Μία περιοδική συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη συνεχής, αλλά ισχύει το εξής

• Αν μία περιοδική συνάρτηση με περίοδο $T$ είναι συνεχής στο $x$, τότε είναι συνεχής και στο $x+T$.

Παραγωγισιμότητα

Η περιοδική συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη παραγωγίσιμη.

• Αν μία περιοδική συνάρτηση με περίοδο $T$ είναι παραγωγίσιμη στο $x$, τότε είναι παραγωγίσιμη και στο $x+T$.

Επιπλέον, η παράγωγος, αν υπάρχει είναι περιοδική συνάρτηση με την ίδια περίοδο. Από αυτό προκύπτει και ότι και οι ανώτερες παράγωγοι αν υπάρχουν είναι περιοδικές με την ίδια περίοδο.

Ολοκληρωσιμότητα

Μία περιοδική συνάρτηση με περίοδο $T$ που είναι ολοκληρώσιμη ικανοποιεί για κάθε $x$ στο πεδίο ορισμού ότι

$\int _{0}^{T}f(t)\,dt=\int _{x}^{x+T}f(t)\,dt$.

Μονοτονία

Η μόνη μονότονη περιοδική συνάρτηση είναι σταθερή. Σε υποδιαστήματα του πεδίου ορισμού της, μονοτονία της συνάρτησης, όπου υπάρχει, επαναλαμβάνεται και αυτή με βάση την περίοδο.

Για παράδειγμα,

• αν μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο $T=4$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(-2,-1]$, τότε η ίδια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $(2,3]$ και στο $(-6,-5]$.
• το ημίτονο είναι αύξουσα στο $[-0.5\pi ,0.5\pi ]$, $[1.5\pi ,2.5\pi ]$, $[3.5\pi ,4.5\pi ]$, $\ldots$, διαστήματα που απέχουν μήκος όσο η περίοδος.

Ασύμπτωτες

Η περιοδική συνάρτηση είναι αδύνατον να έχει πλάγιες ή οριζόντιες ασύμπτωτες, γιατί είναι αδύνατον να έχει όριο στο συν ή πλην άπειρο, εκτός αν είναι σταθερή συνάρτηση. Αν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες, τότε αυτές είναι άπειρες και επαναλαμβάνονται κατά την περίοδο της συνάρτησης.

Σύνολο τιμών

Το σύνολο τιμών περιοδικής συνάρτησης ταυτίζεται με το σύνολο τιμών της συνάρτησης σε οποιαδήποτε διάστημα με μήκος ίσο με την περίοδο. Κάθε τιμή την λαμβάνει άπειρες φορές, άρα η περιοδική συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα .

Ρίζες

Μία περιοδική συνάρτηση έχει είτε άπειρες είτε καμία ρίζα είτε άπειρες.

Κοιλοκυρτότητα

Η κοιλοκυρτότητα της συνάρτησης, όπου ορίζεται, επαναλαμβάνεται κατά την περίοδο. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης, αν ορίζεται, είναι και αυτή περιοδική με την ίδια περίοδο.

Συμμετρίες

Η γραφική παράσταση της περιοδικής συνάρτησης επαναλαμβάνεται ακριβώς η ίδια κατά την περίοδο. Για αυτό συνήθως σχεδιάζεται μόνο ένα κομμάτι της, αυτό που αντιστοιχεί σε μία περίοδο που περιλαμβάνει τον άξονα y'y.

Σύνθεση

Για την περιοδική συνάρτηση $f:A\to \mathbb {R}$ ισχύει ότι η αντίθετή της $-f$ και ο πολλαπλασιαστικός της αντίστροφος $(f)^{-1}$. Αν έχουμε επίσης την συνάρτηση $g:A\to \mathbb {R}$ με την ίδια περίοδο $T$ ισχύει ότι το άθροιμα $f+g$, η διαφορά $f-g$, το γινόμενο $f\cdot g$ και το πηλίκο $f/g$ (αν υπάρχει) είναι περιοδική συνάρτηση με την ίδια περίοδο. Όμως η ελάχιστη θετική περίοδος, ενδέχεται να είναι διαφορετική.

Μερικές περιοδικές συναρτήσεις είναι ένα προς ένα σε διάστημα μιας περιόδου, άρα ορίζεται αντίστροφη μόνο σε ένα διάστημα.

Προσθετέοι με περίοδο $T$

Αποτέλεσμα με περίοδο $T/2$.

Παράδειγμα με άθροισμα περιοδικών συναρτήσεων που δεν έχει την ίδια περίοδο.

Ανάλυση περιοδικών συναρτήσεων

Οι περιοδικές συναρτήσεις μπορούν να αναλυθούν με δύο τρόπους: την ανάλυση Φουριέ και την ανάλυση σειράς Taylor.