Multiplicació

Propietat commutativa:
3 × 4 = 12 = 4 × 3
dotze elements poden ser ordenats en tres files de quatre o quatre columnes de tres.

La multiplicació és una operació aritmètica resultat d'un cas particular de la suma.

Quan tots els sumands d'una suma són iguals, es pot simplificar. Així, si el nombre m se suma n vegades, es diu que es multiplica el nombre m pel nombre n. Els nombres que es multipliquen en una multiplicació, s'anomenen factors, i el resultat de la multiplicació s'anomena producte.

La multiplicació s'indica amb una creu, ×, o un punt, ⋅. En computació s'acostuma a utilitzar l'asterisc * (ús originari en el llenguatge FORTRAN). En un monomi, es considera que tots els components del monomi es multipliquen sense necessitat d'indicar cap símbol de multiplicació.

Exemples:

5⋅2 = 5 +5 = 10

2⋅5 = 2 +2 +2 +2 +2 = 10

4⋅3 = 4 +4 +4 = 12

m⋅6 = m +m +m +m +m +m

Igual que la suma, la multiplicació és una operació interna dins els nombres naturals, els enters, els racionals, els reals i els complexos.

També es poden multiplicar altres entitats matemàtiques, com polinomis, vectors o matrius.

Propietats de la multiplicació

• Uniforme: Si als dos membres d'una igualtat se'ls multiplica un mateix nombre, queda una altra igualtat com a resultat.

$a=b\Rightarrow a\cdot c=b\cdot c$

• Monotonia: Si als dos membres d'una desigualtat matemàtica se'ls multiplica un mateix nombre positiu, queda una altra desigualtat del mateix sentit. En el cas que el multiplicant sigui negatiu la desigualtat canvia de sentit.

$a>b\Rightarrow a\cdot c>b\cdot c{\text{ si }}c>0$

$a>b\Rightarrow a\cdot c<b\cdot c{\text{ si }}c<0$

• Associativa: Dos o més factors d'una multiplicació es poden substituir pel seu producte sense afectar el resultat.

$a\cdot b\cdot c\cdot d=(a\cdot b)\cdot c\cdot d=a\cdot (b\cdot c)\cdot d=a\cdot (b\cdot c\cdot d)$

• Commutativa: L'ordre dels factors no afecta el valor del producte.

$a\cdot b=b\cdot a$

• Distributiva: Amb la suma, es compleix la següent igualtat:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

En general:

$a\cdot (b+c+d+e+...)=a\cdot b+a\cdot c+a\cdot d+a\cdot e+...$

En aquesta igualtat a rep el nom de factor comú. A l'acció de fer aquesta operació a l'inrevés s'anomena treure factor comú

Exemples de treure factor comú:

15 +20 -30 = 5⋅(3 +4 -6)

10 +8 -6 = 2⋅(5 +4 -3)

• Element neutre: L'element neutre de la multiplicació és l'1, de manera que:

3⋅1 = 3

• Multiplicació per zero: Qualsevol multiplicació d'un nombre real per zero és igual a zero.

$a\cdot 0=0$

Notació

En aritmètica, la multiplicació s'escriu sovint amb el signe de multiplicació (× o $\times$) entre els factors (és a dir, en notació infixa). Per exemple,v

• $2\times 3=6,$ ("dos per tres és igual a sis")
• $3\times 4=12,$
• $2\times 3\times 5=6\times 5=30,$
• $2\times 2\times 2\times 2\times 2=32.$

El signe de la creu va ser utilitzat per primera vegada per Edward Wright el 1618 . Hi ha altres notacions matemàtiques per a la multiplicació:

• La multiplicació també es denota per un punt de posició mitjana: $5\cdot 2$ El punt mitjà va ser utilitzat per primera vegada per G. W. Leibniz en 1698, perquè el signe de multiplicació × es confon fàcilment amb la variable matemàtica comuna x. La notació de punt mitjà, o operador de punt, és ara estàndard als Estats Units i altres països. Quan el caràcter de l'operador de punt no és accessible, s'utilitza l'interpunct (·). En la majoria dels països europeus i altres que utilitzen una coma com a punt decimal (i un període com a separador de milers), el signe de multiplicació o un punt mitjà s'utilitza per a indicar la multiplicació. Històricament, al Regne Unit i Irlanda, el punt mig es va utilitzar a vegades per al punt decimal per a evitar que desaparegués en la línia reglada, i la parada completa (període) es va utilitzar per a la multiplicació. No obstant això, des que el Ministeri de Tecnologia va dictaminar el 1968 que el període s'utilitzés com a punt decimal, i des de llavors la norma del Sistema Internacional d'Unitats (SI) ha estat àmpliament adoptada, aquest ús es troba ara només en les revistes més tradicionals com The Lancet.
• En àlgebra, la multiplicació que implica variables sovint s'escriu com una juxtaposició (per exemple, per a vegades o per a cinc vegades), també anomenada multiplicació implícita.$xy$$x$$y$$5x$$x$ La notació també es pot usar per a quantitats que estan envoltades de parèntesis (per exemple, o per a cinc vegades dues).$5(2)$$(5)2$$(5)(2)$ Aquest ús implícit de la multiplicació pot causar ambigüitat quan les variables concatenades coincideixen amb el nom d'una altra variable, quan un nom de variable davant d'un parèntesi pot confondre's amb un nom de funció, o en la determinació correcta de l'ordre de les operacions.
• En la multiplicació vectorial, hi ha una distinció entre els símbols de creu i de punt. El símbol d'encreuament generalment denota fer un producte d'encreuament de dos vectors, produint un vector com el seu resultat, mentre que el punt denota fer el producte de punt de dos vectors, donant com a resultat un escalar.

En programació informàtica, l’asterisc (com en 5*2) continua sent la notació més comuna. La raó és que la majoria d'ordinadors històricament estaven limitats a conjunts de caràcters petits (com ara ASCII i EBCDIC) que no tenien un signe de multiplicació (com ara × o ⋅), mentre que l'asterisc apareixia a tots els teclats. Aquest ús es va originar en el llenguatge de programació Fortran. (Ni tan sols els compiladors moderns reconeixen × o ⋅ com a operadors de multiplicació.)

Els nombres que s'han de multiplicar generalment s'anomenen factors (com en la factorització). El nombre que s'ha de multiplicar és el multiplicand, i el nombre pel qual es multiplica és el multiplicador. Normalment, el multiplicador es col·loca primer i el multiplicand en segon; tanmateix, de vegades el primer factor es considera el multiplicand i el segon el multiplicador. A més, com que el resultat de la multiplicació no depèn de l'ordre dels factors, la distinció entre multiplicand i multiplicador només és útil a un nivell molt elemental i en alguns algoritmes de multiplicació, com ara la multiplicació llarga. Per tant, en algunes fonts, el terme multiplicand es considera sinònim de factor. En àlgebra, un nombre que és el multiplicador d'una variable o expressió (per exemple, el 3 a $3xy^{2}$) s'anomena coeficient.

El resultat d'una multiplicació s'anomena producte. Quan un factor és un nombre enter, el producte és un múltiple de l'altre o del producte dels altres. Així, $2\times \pi$ és un múltiple de $\pi$, tal com és $5133\times 486\times \pi$. Un producte d’enters és un múltiple de cada factor; per exemple, 15 és el producte de 3 i 5 i és alhora múltiple de 3 i múltiple de 5.

Definicions

El producte de dos nombres o la multiplicació entre dos nombres es pot definir per a casos especials comuns: nombres naturals, nombres enters, nombres racionals, nombres reals, nombres complexos i quaternions.

Producte de dos nombres naturals

3 per 4 és 12.

El producte de dos nombres naturals $r,s\in \mathbb {N}$ es defineix com:

$$r\cdot s\equiv \sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}\equiv \sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}.$$

Producte de dos nombres enters

Un nombre enter pot ser zero, un nombre natural diferent de zero o menys un nombre natural diferent de zero. El producte de zero i un altre nombre enter sempre és zero. El producte de dos nombres enters diferents de zero es determina pel producte de les seves quantitats positives, combinades amb el signe derivat de la regla següent:

×	+	−
+	+	−
−	−	+

(Aquesta regla és una conseqüència de la distributivitat de la multiplicació respecte a l'addició, i no és una regla addicional.)

En paraules:

• Un nombre positiu multiplicat per un nombre positiu és positiu (producte de nombres naturals),
• Un nombre positiu multiplicat per un nombre negatiu és negatiu,
• Un nombre negatiu multiplicat per un nombre positiu és negatiu,
• Un nombre negatiu multiplicat per un nombre negatiu és positiu.

Producte de dues fraccions

Dues fraccions es poden multiplicar multiplicant els seus numeradors i denominadors:

$${\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}},$$ que es defineix quan $n,n'\neq 0$.

Producte de dos nombres reals

Hi ha diverses maneres equivalents de definir formalment els nombres reals; vegeu Construcció dels nombres reals. La definició de multiplicació forma part de totes aquestes definicions.

Un aspecte fonamental d'aquestes definicions és que cada nombre real pot aproximar-se a qualsevol precisió mitjançant nombres racionals. Una forma estàndard d'expressar això és que cada nombre real és el límit menys superior d'un conjunt de nombres racionals. En particular, cada nombre real positiu és el límit inferior superior dels truncaments de la seva representació decimal infinita; per exemple, és el límit inferior superior de$\pi$$\{3,\;3.1,\;3.14,\;3.141,\ldots \}.$

Una propietat fonamental dels nombres reals és que les aproximacions racionals són compatibles amb les operacions aritmètiques i, en particular, amb la multiplicació. Això significa que, si a i b són nombres reals positius tals que $a=\sup _{x\in A}x$ i $b=\sup _{y\in B}y,$ llavors $a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y.$ En particular, el producte de dos nombres reals positius és el límit superior mínim dels productes terme a terme de les seqüències de les seves representacions decimals.

Com que canviar els signes transforma els límits superiors mínims en límits inferiors màxims, la manera més senzilla de tractar una multiplicació que implica un o dos nombres negatius és utilitzar la regla dels signes descrita anteriorment. Sovint es prefereix la construcció dels nombres reals mitjançant seqüències de Cauchy per evitar tenir en compte les quatre possibles configuracions de signe.

Producte de dos nombres complexos

Dos nombres complexos es poden multiplicar per la llei distributiva i el fet que $i^{2}=-1$, de la següent manera: $${\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}$$

Un nombre complex en coordenades polars

El significat geomètric de la multiplicació complexa es pot entendre reescrivint els nombres complexos en coordenades polars:

$$a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }$$

A més, $$c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },$$

del qual s'obté $$(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.$$

El significat geomètric és que les magnituds es multipliquen i els arguments se sumen.

Producte de dos quaternions

El producte de dos quaternions es pot trobar a l'article sobre el suaternió. Tingueu en compte, en aquest cas, que $a\cdot b$ i $b\cdot a$ són en general diferents.

Computació

El mico educat: una joguina de llauna datada el 1918, utilitzada com a calculadora de multiplicacions. Per exemple: configureu els peus del mico a 4 i 9 i aconseguiu el producte (36) a les seves mans.

Molts mètodes habituals per multiplicar nombres amb llapis i paper requereixen una taula de multiplicar de productes memoritzats o consultats de nombres petits (normalment dos nombres qualssevol del 0 al 9). Tanmateix, un mètode, l'algoritme de multiplicació camperol, no ho fa. L'exemple següent il·lustra la multiplicació llarga (l'algoritme estàndard, la multiplicació de primària):

23958233

× 5830

————————————————

00000000 (= 23.958.233 × 0)

71874699 (= 23.958.233 × 30)

191665864 (= 23.958.233 × 800)

+ 119791165 (= 23.958.233 × 5.000)

————————————————

139676498390 (= 139.676.498.390)

En alguns països com Alemanya, la multiplicació anterior es representa de manera similar, però amb el problema original escrit en una sola línia i el càlcul comença amb el primer dígit del multiplicador:

23958233 · 5830

————————————————

119791165

191665864

71874699

00000000

————————————————

139676498390

Multiplicar nombres a mà fins a més d'un parell de decimals és tediós i propens a errors. Els logaritmes comuns es van inventar per simplificar aquests càlculs, ja que sumar logaritmes és equivalent a multiplicar. El regle de càlcul permetia multiplicar els nombres ràpidament amb una precisió d'aproximadament tres posicions. A principis del segle XX, les calculadores mecàniques, com la Marchant, van automatitzar la multiplicació de nombres de fins a 10 dígits. Els ordinadors i les calculadores electròniques modernes han reduït considerablement la necessitat de multiplicar a mà.

Algoritmes històrics

Els mètodes de multiplicació es van documentar en els escrits dels antics egipcis, Greek, Indian, i civilitzacions xineses.

Egipcis

El mètode egipci de multiplicació d'enters i fraccions, que està documentat al Papir matemàtic de Rhind, era per sumes i duplicacions successives. Per exemple, per trobar el producte de 13 i 21 s'havia de duplicar 21 tres vegades, obtenint 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168. El producte complet es podria trobar afegint els termes adequats que es troben a la seqüència de duplicació: 13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Babilonis

Els babilonis utilitzaven un sistema de numeració posicional sexagesimal, anàleg al sistema decimal modern. Així doncs, la multiplicació babilònica era molt similar a la multiplicació decimal moderna. A causa de la relativa dificultat de recordar productes diferents 60 × 60, els matemàtics babilonis utilitzaven les taules de multiplicar. Aquestes taules consistien en una llista dels primers vint múltiples d'un cert nombre principal n: n, n,..., 20 n; seguit dels múltiples de 10 n: 30 n 40 n i 50 n. Aleshores, per calcular qualsevol producte sexagesimal, per exemple 53 n, només calia sumar 50 n i 3 n calculats a partir de la taula.

Xinesos

38 × 76 = 2888

En el text matemàtic Zhoubi Suanjing, datat abans del 300 aC, i els Els nou capítols de les arts matemàtiques, els càlculs de multiplicació s'escrivien amb lletres, tot i que els primers matemàtics xinesos utilitzaven el càlcul de Rod que implicava la suma, la resta, la multiplicació i la divisió de valor posicional. Els xinesos ja utilitzaven una taula de multiplicar decimal al final del període dels Regnes Combatents.

Mètodes moderns

Producte de 45 i 256. Tingueu en compte que l'ordre dels numerals del 45 s'inverteix a la columna esquerra. El pas de carry de la multiplicació es pot realitzar a l'etapa final del càlcul (en negreta), retornant el producte final de 45 × 256 = 11520. Aquesta és una variant de la multiplicació en xarxa.

El mètode modern de multiplicació basat en el sistema de numeració Hindú-Àrab va ser descrit per primera vegada per Brahmagupta. Brahmagupta va donar regles per a la suma, la resta, la multiplicació i la divisió. Henry Burchard Fine, aleshores professor de matemàtiques a la Universitat de Princeton, va escriure el següent:

«Els indis són els inventors no només del sistema decimal posicional en si, sinó de la majoria dels processos implicats en el càlcul elemental amb el sistema. La suma i la resta la feien exactament igual que es fan avui dia; la multiplicació la feien de moltes maneres, la nostra entre altres, però la divisió la feien de manera feixuga».

Aquests algorismes aritmètics decimals amb valor posicional van ser introduïts als països àrabs per Al Khwarizmí a principis del segle IX i popularitzats al món occidental per Leonardo de Pisa al segle XIII.

Mètode de quadrícula

La multiplicació amb el mètode de quadrícula, o el mètode de la caixa, s'utilitza a les escoles primàries d'Anglaterra i Gal·les i en algunes zones dels Estats Units per ajudar a ensenyar a comprendre com funciona la multiplicació de diversos dígits. Un exemple de multiplicar 34 per 13 seria disposar els nombres en una quadrícula de la següent manera:

×	30	4
10	300	40
3	90	12

i després afegiu les entrades.

Algoritmes informàtics

El mètode clàssic de multiplicar dos nombres n dígits requereix n2 dígits. S'han dissenyat algorismes de multiplicació que redueixen considerablement el temps de càlcul en multiplicar nombres grans. Els mètodes basats en la transformada discreta de Fourier redueixen la complexitat computacional a O (n log n log log n). El 2016, el factor log log n va ser substituït per una funció que augmenta molt més lentament, tot i que encara no és constant. El març de 2019, David Harvey i Joris van der Hoeven van presentar un article que presentava un algorisme de multiplicació d'enters amb una complexitat de $O(n\log n).$ Es conjectura que l'algorisme, també basat en la transformada ràpida de Fourier, és asimptòticament òptim. L'algorisme no és útil a la pràctica, ja que només es torna més ràpid per multiplicar nombres extremadament grans (que tinguin més de 2¹⁷²⁹¹² bits).

Vegeu també

• Factorització
• Invers multiplicatiu
• Multiplicació de matrius
• Potenciació
• Taula de multiplicar

Enllaços externs

• Multiplicació Arxivat 2006-04-26 a Wayback Machine.

Viccionari