Kvantlama səviyyəsi

Kvantlaşdırma — riyaziyyatda və rəqəmsal siqnal emalında böyük və ya kəsilməz qiymətlər çoxluğuna aid kəmiyyətlərin daha kiçik, diskret və çox vaxt sonlu sayda səviyyələr çoxluğuna inikası prosesidir.^[1]

Yuvarlaqlaşdırma və kəsmə (ing. truncation) kvantlaşdırma prosesinin ən sadə nümunələridir. Analoq siqnalların rəqəmsal sistemlərdə saxlanması və ötürülməsi üçün amplituda dəyərlərinin məhdud bit uzunluğunda təsvir olunması zəruridir; bu səbəbdən kvantlaşdırma rəqəmsal siqnal emalının və itkili verilən sıxılmasının (məsələn: MP3, JPEG) əsasını təşkil edir.^[2]

Giriş kəmiyyəti ilə onun kvantlaşdırılmış çıxış qiyməti arasındakı fərq kvantlaşdırma xətası adlanır. Bu əməliyyatı həyata keçirən fiziki qurğuya və ya alqoritmə isə kvantlayıcı deyilir.

Əsas riyazi modeli

Kvantlaşdırma çoxlu sayda giriş qiymətini tək bir çıxış səviyyəsinə aid etdiyinə görə mahiyyətcə qeyri-xətti və dönməz (birqiymətli olmayan) prosesdir. Çıxış qiymətinə əsasən ilkin dəqiq giriş siqnalını tam bərpa etmək qeyri-mümkündür.

Riyazi olaraq, birölçülü skalyar kvantlayıcı $Q$ giriş kəsilməz $x$ kəmiyyətini sonlu $L$ sayda ${y_{1}, y_{2}, \dots, y_{L}}$ bərpa səviyyələrindən birinə inikas etdirir:

y = Q (x)

Burada giriş fəzası $k = 1, \dots, L$ üçün qərar hədləri ilə $[t_{k - 1}, t_{k})$ intervallarına bölünür. Əgər $x \in [t_{k - 1}, t_{k})$ şərti ödənirsə, kvantlayıcının çıxışı $y_{k}$ qiymətini alır.

Kvantlaşdırma xətası $e (t)$ belə təyin olunur:

e (t) = Q (x (t)) - x (t)

Bərabərölçülü (bircins) kvantlaşdırıcılar

Kvantlaşdırma addımı ( $Δ$ ) bütün intervallar boyunca sabit olan kvantlayıcılara bərabərölçülü (uniform) kvantlayıcılar deyilir. Əgər giriş siqnalının tam diapazonu $V_{max} - V_{min}$ və səviyyələrin sayı $L$ olarsa, kvantlaşdırma addımı aşağıdakı kimi hesablanır:

Δ = \frac{V_{max} - V_{min}}{L}

Bərabərölçülü kvantlayıcılar sıfır səviyyəsinin mövqeyinə görə iki əsas növə ayrılır:^[1]

Orta pilləli kvantlayıcı (ing. mid-tread): Sıfır nöqtəsi birbaşa bərpa pillələrindən birinə düşür. Bu tip sxemlərdə giriş sıfıra bərabər olduqda çıxış da dəqiq sıfır qiymətini alır. Adətən tək sayda səviyyəyə malik sistemlərdə və ya sıfırın simmetrik saxlanması tələb olunan yerlərdə tətbiq olunur.
Orta keçidli kvantlayıcı (ing. mid-riser): Sıfır nöqtəsi qərar həddinə (keçid qaldırıcısına) düşür. Çıxış heç vaxt sıfır qiyməti almır, $+ \frac{Δ}{2}$ və ya $- \frac{Δ}{2}$ qiymətlərinə yuvarlaqlaşdırılır. Cüt sayda kvantlaşdırma səviyyəsinə malik rəqəmsal sistemlərdə geniş istifadə olunur.
Ölü zonalı kvantlayıcı (ing. dead-zone quantizer): Sıfır ətrafındakı intervalı digər intervallardan daha geniş təyin edilmiş orta pilləli kvantlayıcıdır. Sıfır ətrafındakı zəif küy siqnallarını tam sıfırlamaq (küy kəsmə) məqsədilə video və audio sıxılma standartlarında tətbiq edilir.

Kvantlaşdırma küyü və SQNR

Kvantlaşdırma səviyyələrinin sayı böyük və giriş siqnalının dinamik diapazonu geniş olduqda, kvantlaşdırma xətası siqnaldan asılı olmayan, $[- \frac{Δ}{2}, \frac{Δ}{2}]$ intervalında bərabərpaylanmış ağ küy kimi modelləşdirilir.^[2] Bu küyün riyazi gözləməsi sıfır, dispersiyası (küy gücü) isə aşağıdakı kimi təyin olunur:

σ_{e}^{2} = \frac{Δ^{2}}{12}

Əgər siqnal $B$ -bitlik analoq-rəqəm çeviricisində (ADC) emal olunarsa ( $L = 2^{B}$ ), siqnalın gücünün kvantlaşdırma küyünün gücünə nisbəti (SQNR) desibellərlə belə ifadə edilir:

SQNR \approx 6,02 \cdot B + 1,76 dB

Bu bərabərlik texnikada "hər bitə 6 dB" qaydası kimi tanınır: sistemə əlavə olunan hər 1 bit kvantlaşdırma dəqiqliyi siqnal-küy nisbətini təxminən 6 dB yaxşılaşdırır.^[1]

Qeyri-bərabərölçülü kvantlaşdırma

Giriş siqnalının ehtimal paylanması qeyri-bərabər olduqda (məsələn, nitq siqnallarında kiçik amplitudaların rastgəlmə ehtimalı böyük amplitudlardan qat-qat yüksəkdir), sabit addımlı kvantlaşdırma qeyri-effektiv sayılır. Bu zaman qeyri-bərabərölçülü kvantlayıcılardan istifadə olunur:

Loqarifmik kompandasiya: Telekommunikasiyada kiçik amplitudalara daha kiçik addım, böyük amplitudalara isə daha böyük addım ayıran qeyri-xətti qanunlar tətbiq olunur. Şimali Amerikada $μ$ -qanunu, Avropada isə A-qanunu geniş yayılmışdır.
Lloyd-Maks alqoritmi: Verilmiş ehtimal sıxlıq funksiyası üçün orta kvadratik xətanı minimuma endirən optimal qərar hədlərini və bərpa səviyyələrini təyin edən iterativ alqoritmdir.^[3]

Vektor kvantlaşdırması

Giriş verilənlərinin tək-tək yox, qruplar (vektorlar) şəklində kvantlaşdırılması prosesi vektor kvantlaşdırması adlanır. Giriş vektorları çoxölçülü fəzada klasterlərə bölünür və hər bir klaster "kod kitabçası"ndakı (ing. codebook) ən yaxın mərkəz nöqtəsi ilə təmsil olunur. Vektor kvantlaşdırması nitqin və video görüntülərin sıxılmasında Şennonun informasiya nəzəriyyəsinə əsaslanan optimal sıxılma hədlərinə yaxınlaşmağa imkan verir.^[4]

Sürət-təhrif nəzəriyyəsi

İnformasiya nəzəriyyəsində kvantlaşdırma sürət-təhrif optimallaşdırılması (ing. rate-distortion optimization) kontekstində tədqiq edilir. Bu nəzəriyyə verilmiş ötürmə sürəti (bit/saniyə və ya bit/nümunə) çərçivəsində kvantlaşdırmanın səbəb olduğu təhrifin riyazi minimum həddini təyin edir.^[4]

Həmçinin bax

İstinadlar

1 2 3 Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W. Discrete-Time Signal Processing (ingilis) (3rd). Prentice Hall. 2009. 195–210. ISBN 978-0-13-198842-2.
1 2 Proakis, John G.; Manolakis, Dimitris G. Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications (ingilis) (4th). Pearson. 2007. 23–35. ISBN 978-0-13-187374-2.
↑ Gray, Robert M.; Neuhoff, David L. "Quantization". IEEE Transactions on Information Theory (ingilis). 44 (6). 1998: 2325–2383. doi:10.1109/18.720541.
1 2 Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. Elements of Information Theory (ingilis) (2nd). Wiley-Interscience. 2006. 301–335. ISBN 978-0-471-24195-9.

Ədəbiyyat

İmamverdiyev Y.N., Suxostat L.V. "Nitq texnologiyaları üzrə terminlərin izahlı lüğəti", 2015, “İnformasiya Texnologiyaları” nəşriyyatı, 111 səh.
Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W. (2009). Discrete-Time Signal Processing (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-198842-2.
Proakis, John G.; Manolakis, Dimitris G. (2007). Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications (4th ed.). Pearson. ISBN 978-0-13-187374-2.

[oppenheim-1] 1 2 3 Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W. Discrete-Time Signal Processing (ingilis) (3rd). Prentice Hall. 2009. 195–210. ISBN 978-0-13-198842-2.

[proakis-2] 1 2 Proakis, John G.; Manolakis, Dimitris G. Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications (ingilis) (4th). Pearson. 2007. 23–35. ISBN 978-0-13-187374-2.

[gray-3] Gray, Robert M.; Neuhoff, David L. "Quantization". IEEE Transactions on Information Theory (ingilis). 44 (6). 1998: 2325–2383. doi:10.1109/18.720541.

[cover-4] 1 2 Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. Elements of Information Theory (ingilis) (2nd). Wiley-Interscience. 2006. 301–335. ISBN 978-0-471-24195-9.

[1]

[2]

[3]

[4]