@@ -4,9 +4,9 @@ weight: 6
 published: true
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-As we repeatedly demonstrate throughout this book, knowing darker corners of the instruction set can be very fruitful, especially in the case of [CISC](/hpc/architecture/isa) platforms like x86, which currently has [somewhere between 1000 and 4000](https://stefanheule.com/blog/how-many-x86-64-instructions-are-there-anyway/) distinct instructions, depending on how you count.
+이 책에서 여러 차례 보여주었듯이, 명령어 집합의 사각지대를 살펴보는 것은 특히 [CISC](/hpc/architecture/isa)플랫폼, 예를 들어 현재 명령어 수가 계산 방식에 따라 [약 1000개에서 4000개](https://stefanheule.com/blog/how-many-x86-64-instructions-are-there-anyway/)에 이르는 x86의 경우 매우 유익할 수 있습니다.
 
-Most of these instructions are related to arithmetic, and using them all efficiently to optimize arithmetic operations requires a great deal of both knowledge, skill, and creativity. Therefore, in this chapter, we will discuss number representations and their use in numerical algorithms.
+이러한 명령어들의 대부분은 산술 연산과 관련이 있으며, 이들을 효율적으로 활용해 산술 연산을 최적화하려면 풍부한 지식은 물론, 높은 수준의 기술과 창의성까지 요구됩니다. 따라서 이번 장에서는 수의 표현 방식과 이를 수치 알고리즘에서 어떻게 활용할 수 있는지를 다루겠습니다.
 
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@@ -3,53 +3,53 @@ title: Newton's Method
 weight: 3
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-Reaching the maximum possible precision is rarely required from a practical algorithm. In real-world data, modeling and measurement errors are usually several orders of magnitude larger than the errors that come from rounding floating-point numbers and such, and we are often perfectly happy with picking an approximate method that trades off precision for speed.
+실용적인 알고리즘에서 가능한 최대 정밀도에 도달해야 하는 경우는 거의 없습니다. 실제 데이터에서는 모델링 오차나 측정 오차가 부동 소수점 반올림 등에서 발생하는 오차보다 훨씬 큰 경우가 대부분이기 때문입니다. 그래서 종종 정밀도를 조금 희생하더라도 속도를 얻을 수 있는 근사적인 방법을 택하는 것에 만족하기도 합니다.
 
-In this section, we introduce one of the most important building blocks in such approximate, numerical algorithms: *Newton's method*.
+여기서는 이러한 근사 수치 알고리즘에서 가장 중요한 구성 요소중 하나인 Newton 기법을 소개하겠습니다.
 
-## Newton's Method
+## Newton 기법
 
-Newton's method is a simple yet very powerful algorithm for finding approximate roots of real-valued functions, that is, the solutions to the following generic equation:
+Newton 기법은 실수값 함수의 근을 근사적으로 찾기 위한 매우 간단하지만 강력한 알고리즘입니다. 즉, 다음과 같은 일반적인 방정식의 해를 구하는 것이 목표입니다.
 
 $$
 f(x) = 0
 $$
 
-The only thing assumed about the function $f$ is that at least one root exists and that $f(x)$ is continuous and differentiable on the search interval. There are also some [boring corner cases](https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method#Failure_analysis), but they almost never occur in practice, so we will just informally say that the function is "good."
+함수 $f$에 대해 가정하는 것은 단 두 가지 입니다. 적어도 하나의 해가 존재하며, 검색 구간 내에서 $f(x)$가 연속이고 미분 가능하다는 것입니다. 물론 몇 가지 [특수한 예외 상황](https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method#Failure_analysis)도 존재하지만 실제에서는 거의 발생하지 않으므로, 우리는 그냥 이 함수가 좋다(good)고 표현하겠습니다.
 
-The main idea of the algorithm is to start with some initial approximation $x_0$ and then iteratively improve it by drawing the tangent to the graph of the function at $x = x_i$ and setting the next approximation $x_{i+1}$ equal to the $x$-coordinate of its intersection with the $x$-axis. The intuition is that if the function $f$ is "[good](https://en.wikipedia.org/wiki/Smoothness)" and $x_i$ is already close enough to the root, then $x_{i+1}$ will be even closer.
+이 알고리즘의 핵심 아이디어는 초기 근사값 $x_0$에서 시작하여 반복적으로 개선해 나가는 것입니다. 각 단계에서는 $x = x_i$에서의 함수 그래프에 접선을 그린 뒤, 그 접선이 $x$축과 만나는 지점의 $x$ 좌표를 다음 근사값 $x_{i+1}$로 설정합니다. 직관적으로, 함수 $f$가 "[좋은](https://en.wikipedia.org/wiki/Smoothness)" 함수이고, $x_i$가 이미 근에 충분히 가까운 값이라면, $x_{i+1}$은 그보다 더 가까워질 것입니다.
 
 ![](../img/newton.png)
 
-To obtain the point of intersection for $x_n$, we need to equal its tangent line function to zero:
+$x_n$에서의 접선이 $x$축과 교차하는 지점을 구하려면, 접선의 식을 0과 같게 만들어야 합니다.
 
 $$
 0 = f(x_i) + (x_{i+1} - x_i) f'(x_i)
 $$
 
-from which we derive
+이로부터 다음과 같은 공식을 얻을 수 있습니다.
 
 $$
 x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}
 $$
 
-Newton's method is very important: it is the basis of a wide range of optimization solvers in science and engineering. 
+Newton 기법은 매우 중요한 기법으로, 과학 및 공학 분야에서 널리 사용되는 다양한 최적화 기법들의 기본이 되는 알고리즘입니다.
 
-### Square Root
+### 제곱근
 
-As a simple example, let's derive the algorithm for the problem of finding square roots:
+간단한 예제로, 제곱근을 찾는 문제에 대해 이 알고리즘이 어떻게 적용되는지 유도해 봅시다.
 
 $$
 x = \sqrt n \iff x^2 = n \iff f(x) = x^2 - n = 0
 $$
 
-If we substitute $f(x) = x^2 - n$ into the generic formula above, we can obtain the following update rule:
+위의 일반적인 공식에 $f(x) = x^2 - n$을 대입하면, 다음과 같은 규칙을 얻을 수 있습니다.
 
 $$
 x_{i+1} = x_i - \frac{x_i^2 - n}{2 x_i} = \frac{x_i + n / x_i}{2}
 $$
 
-In practice we also want to stop it as soon as it is close enough to the right answer, which we can simply check after each iteration:
+실제로는 정답에 충분히 가까워졌을 때 가능한 한 빨리 반복을 종료하고 싶습니다. 이는 각 반복 이후 오차를 간단히 검사함으로써 확인할 수 있습니다.
 
 ```cpp
 const double EPS = 1e-9;
@@ -62,11 +62,11 @@ double sqrt(double n) {
 }
 ```
 
-The algorithm converges for many functions, although it does so reliably and provably only for a certain subset of them (e.g., convex functions). Another question is how fast the convergence is, if it occurs.
+이 알고리즘은 많은 함수에서 수렴하지만, 항상 보장되고 증명가능한 것은 아니며, 일반적으로는 특정 조건을 만족하는 함수들에서만 확실하게 작동합니다. 또 다른 중요한 문제는, 수렴이 일어난다면 얼마나 빠르게 수렴하는지입니다.
 
-### Rate of Convergence
+### 수렴 비율
 
-Let's run a few iterations of Newton's method to find the square root of $2$, starting with $x_0 = 1$, and check how many digits it got correct after each iteration:
+$2$의 제곱근을 구하기 위해 Newton 기법을 몇 차례 반복해 봅시다. 초기값 $x_0=1$에서 시작해서, 각 반복마다 얼마나 많은 자릿수가 정확해지는지 확인해보겠습니다.
 
 <pre class='center-pre'>
 <b>1</b>.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
@@ -79,39 +79,38 @@ Let's run a few iterations of Newton's method to find the square root of $2$, st
 <b>1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766796</b>
 </pre>
 
-Looking carefully, we can see that the number of accurate digits approximately doubles on each iteration. This fantastic convergence rate is not a coincidence.
+자세히 살펴보면, 반복할 때마다 정확한 자릿수가 거의 두 배로 증가함을 알 수 있습니다. 이 놀라운 수렴 속도는 단순한 우연이 아닙니다.
 
-To analyze convergence rate quantitatively, we need to consider a small relative error $\delta_i$ on the $i$-th iteration and determine how much smaller the error $\delta_{i+1}$ is on the next iteration:
+이 수렴 속도를 정량적으로 분석하기 위해, $i$번째 반복에서의 작은 상대 오차 $\delta_i$를 정의하고, 다음 반복에서의 오차 $\delta_{i+1}$이 얼마나 작아지는지를 살펴봅시다.
 
 $$
 |\delta_i| = \frac{|x_n - x|}{x}
 $$
 
-We can express $x_i$ as $x \cdot (1 + \delta_i)$. Plugging it into the Newton iteration formula and dividing both sides by $x$ we get
+$x_i$를 $x \cdot (1 + \delta_i)$로 표현할 수 있습니다. 이를 Newton 반복 식에 대입하고 양변을 $x$로 나누면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
 
 $$
 1 + \delta_{i+1} = \frac{1}{2} (1 + \delta_i + \frac{1}{1 + \delta_i}) = \frac{1}{2} (1 + \delta_i + 1 - \delta_i + \delta_i^2 + o(\delta_i^2)) = 1 + \frac{\delta_i^2}{2} + o(\delta_i^2)
 $$
 
-Here we have Taylor-expanded $(1 + \delta_i)^{-1}$ at $0$, using the assumption that the error $d_i$ is small (since the sequence converges, $d_i \ll 1$ for sufficiently large $n$).
+여기서는 $(1 + \delta_i)^{-1}$을 $0$ 근처에서 테일러 전개 했고, $d_i$가 매우 작다는 가정을 사용했습니다.(수열이 수렴하므로 충분히 큰 $i$에 대해 $d_i \ll 1$이 보장됩니다.)
 
-Rearranging for $\delta_{i+1}$, we obtain
+$\delta_{i+1}$에 대해 정리하면 다음과 같은 식을 얻습니다.
 
 $$
 \delta_{i+1} = \frac{\delta_i^2}{2} + o(\delta_i^2)
 $$
 
-which means that the error roughly squares (and halves) on each iteration once we are close to the solution. Since the logarithm $(- \log_{10} \delta_i)$ is roughly the number of accurate significant digits in the answer $x_i$, squaring the relative error corresponds precisely to doubling the number of significant
-digits that we had observed.
+이는 해에 충분히 가까워졌을 때 반복할수록 오차가 대략 제곱되고 절반이 된다는 의미입니다. 로그 값 $(- \log_{10} \delta_i)$는 대략적으로 ${x_i}$의 유효 숫자 자릿수이므로, 상대 오차가 제곱된다는 것은 정확한 자릿수가 두 배로 늘어남을 의미합니다.
 
-This is known as *quadratic convergence*, and in fact, this is not limited to finding square roots. With detailed proof being left as an exercise to the reader, it can be shown that, in general
+이러한 현상은 이차 수렴이라고 불리며, 사실 제곱근을 구할 때에만 나타나는 특성은 아닙니다. 세부적인증명은 독자에게 남기지만, 일반적으로 다음과 같은 식이 성립함을 보일 수 있습니다.
 
 $$
 |\delta_{i+1}| = \frac{|f''(x_i)|}{2 \cdot |f'(x_n)|} \cdot \delta_i^2
 $$
 
-which results in at least quadratic convergence under a few additional assumptions, namely $f'(x)$ not being equal to $0$ and $f''(x)$ being continuous.
+이는 몇 가지 조건이 추가로 만족될 때 적어도 이차 수렴을 보장합니다. 그 조건은 $f'(x)$가 $0$이 아니고 $f''(x)$가 연속이라는 것입니다.
 
-## Further Reading
+## 읽을거리
 
 [Introduction to numerical methods at MIT](https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-330-introduction-to-numerical-analysis-spring-2012/lecture-notes/MIT18_330S12_Chapter4.pdf).