Геометрическое распределение

Геометрическое распределение
Геометрическое распределение
	Функция вероятности
	Функция распределения
Обозначение	Geom(p)
Параметры	n⩾0 — число испытаний до первого появления события; 0<p<1 — вероятность появления события
Носитель	n∈{0,1,2,3,…}
Функция вероятности	p(1−p)n
Функция распределения	1−(1−p)n+1
Математическое ожидание	1−pp
Медиана	неопределена
Мода	0
Дисперсия	1−pp2
Коэффициент асимметрии	2−p1−p
Коэффициент эксцесса	6+p21−p
Дифференциальная энтропия	−log2p−1−pplog2(1−p)
Производящая функция моментов	p1−(1−p)et;t<−ln⁡(1−p)
Характеристическая функция	p1−(1−p)eit

Геометрическое распределение — распределение дискретной случайной величины $X$ , принимающей целые неотрицательные значения с вероятностями $p_{m} = ℙ {X = m} = p (1 - p)^{m}$ , где параметр $p$ — число из интервала от 0 до 1. Таким образом распределена случайная величина, равная числу независимых испытаний в схеме Бернулли до первого появления события, если вероятность события равна $p$ , а непоявления — $1 - p$ . Наименование связано с тем, что вероятности $p_{m}$ убывают в геометрической прогрессии^[1]. В ряде западных источников называется распределением Фёрри (в честь исследовавшего его американского физика Уэнделла Фёрри)^[2]. Обозначение — $X \sim G e o m (p)$ .

Является частным случаем отрицательного биномиального распределения, то есть распределения случайной величины, равной $k$ -му появлению события с заданной вероятностью в схеме Бернулли, при $k = 1$ .

Свойства

Математическое ожидание, дисперсия, производящая функция моментов и характеристическая функция соответственно:

𝔼 [X] = \frac{1 - p}{p}

,

𝔻 [X] = \frac{1 - p}{p^{2}}

,

P (t) = \frac{p}{1 - (1 - p) e^{t}}

,

ϕ_{X} (t) = \frac{p}{1 - (1 - p) e^{i t}}

.

Одно из особенных свойств — отсутствие последствия (англ. memorylessness): для любых целых неотрицательных $m$ и $n$ условная вероятность геометрически распределённой случайная величины $X$ показывает независимость от предыдущих значений:

ℙ {X ⩾ m + n ∣ X ⩾ m} = ℙ {X ⩾ n}

,

иными словами — вероятность появления события в очередном испытании в серии не зависит от количества непоявлений в предыдущих испытаниях. Является единственным дискретным распределением с таким свойством, а поскольку из непрерывных распределений этим свойством обладает лишь показательное распределение, то по этому признаку геометрическое распределение считается дискретным аналогом показательного^[3].

Из всех дискретных распределений с носителем ${1, 2, 3, \dots}$ и фиксированным средним $μ > 1$ геометрическое распределение $G e o m (1 / μ)$ является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.

Геометрическое распределение бесконечно делимо.

Если геометрически распределённые случайные величины $X_{1}, \dots, X_{n}$ независимы, то их минимальная случайная величина геометрически распределена следующим образом^[4]:

min_{i} (X_{i}) \sim G e o m (1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - p_{i}))

.

Примеры и приложения

В игральных костях случайная величина $X$ , соответствующая числу попыток до первого выпадения «шестёрки» в последовательности бросков, распределена геометрически с параметром $p = 1 / 6$ , то есть её математическое ожидание — 5, дисперсия — 30, вероятности первой «шестёрки» на первом, втором, третьем броске — $1 / 6$ , $1 / 6 \cdot 5 / 6$ , $1 / 6 \cdot (5 / 6)^{2}$ соответственно. Другой встречающийся пример — количество выстрелов из орудия до первого попадания в цель — случайная величина с параметром $p$ , равным вероятности попадания при единичном выстреле; например, при $p = 0,6$ вероятность попадания при третьем выстреле равна $0, 4^{2} \cdot 0,6 = 0,096$ ^[5].

Геометрическое распределение характерно для многих наблюдаемых случайных процессов. Геометрическое распределение моделирует дискретные величины, возникающие в процессах, изучаемых в статистической физике (в частности, статистика Бозе — Эйнштейна для одного источника характеризуется геометрическим распределением), и, будучи дискретным вариантом показательного распределения, зачастую возникает для описания дискретного поведения соответствующей категории процессов. В классической системе массового обслуживания M/M/1^[англ.] количество заявок на обслуживание распределено геометрически^[6], и в целом распределение часто встречается в задачах теории массового обслуживания. Другое типичное применение — интервальная характеристика выхода из строя оборудования^[7].

Примечания

↑ ВМСЭ, 1999.
↑ Johnson N. L., Kemp A. W., Kotz S. Univariate Discrete Distributions. — Wiley, 2005. — ISBN 978-0-471-27246-5.
↑ БРЭ.
↑ Ciardo G., Leemis L. M., Nicol D. On the minimum of independent geometrically distributed random variables (англ.) // Statistics & Probability Letters. — 1995. — Vol. 23, iss. 4. — P. 313–326.
↑ Гмурман, 2003, §7. Геометрическое распределение, с. 72—73.
↑ Daskin M. S. Bite-Sized Operations Management. — Springer, 2021. — ISBN 978-3-031-01365-2. — doi:10.1007/978-3-031-02493-1.
↑ Gupta R., Gupta S., Ali I. Some Discrete Parametric Markov–Chain System Models to Analyze Reliability // Advances in Reliability, Failure and Risk Analysis. — Singapore: Springer Nature, 2023. — С. 305–306. — doi:10.1007/978-981-19-9909-3_14.

Литература

Геометрическое распределение / В. Ф. Колчин // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1: А — Г. — Стб. 940. — 1152 стб. : ил. — 150 000 экз.— Перевод на английский: Geometric distribution . Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
А. С. Монин. Геометрическое распределение // Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — С. 140. — 910 с. — ISBN 5-85270-265-X.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — 9-е. — М.: Высшая школа, 2003. — 498 с. — ISBN 5-06-004214-6.

[_a4881dda05e628af-1] ВМСЭ, 1999.

[2] Johnson N. L., Kemp A. W., Kotz S. Univariate Discrete Distributions. — Wiley, 2005. — ISBN 978-0-471-27246-5.

[_9a5025601a02cea5-3] БРЭ.

[4] Ciardo G., Leemis L. M., Nicol D. On the minimum of independent geometrically distributed random variables (англ.) // Statistics & Probability Letters. — 1995. — Vol. 23, iss. 4. — P. 313–326.

[_75a5bd0952f3fe7a-5] Гмурман, 2003, §7. Геометрическое распределение, с. 72—73.

[6] Daskin M. S. Bite-Sized Operations Management. — Springer, 2021. — ISBN 978-3-031-01365-2. — doi:10.1007/978-3-031-02493-1.

[7] Gupta R., Gupta S., Ali I. Some Discrete Parametric Markov–Chain System Models to Analyze Reliability // Advances in Reliability, Failure and Risk Analysis. — Singapore: Springer Nature, 2023. — С. 305–306. — doi:10.1007/978-981-19-9909-3_14.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Ссылки на внешние ресурсы
Тематические сайты	MathWorld
Словари и энциклопедии	Большая российская (научно-образовательный портал)